Merci beaucoup à vous deux.
Tunaki, effectivement, le document est relativement court et bien fait. Mes souvenir de maîtrise de maths pures (ça remonte à qq années) me sont revenus assez bien ! Mais ça ne m'apporte pas beaucoup d'aide sur mon problème.
Sinon OG :
OG a écrit:oui mais pour le 1) f différentiable ne suffit pas, dérivées partielles continues, pour le 2) f un peu plus régulière
encore. Bon évidemment on peut affaiblir la classe des fonctions pour
lesquelles ce genre d'égalité est vraie (les Sobolev) voir Ziemer (weakly differentiable function).
Effectivement, cela dit, je limiterai mon masochisme à prendre f de classe

ou

. Pour les Sobolev, je te crois sur parole (je n'ai jamais réussi à comprendre le fonctionnement/l'intérêt de ces espaces) !
Pour ta question 1) : non car sinon la limite serait continue (limite uniforme d'une suite de fonction continue).
Oui, bien sûr. En fait, on se fiche que la limite soit uniforme. D'ailleurs on se fiche de passer par une limite, OK.
Comme en dimension 1, on peut s'amuser à définir les dérivées partielles au sens des distributions
de ta fonction H et cela coïncide pour la classe des fonctions régulières avec le sens usuel de
dérivation.
Bonne nouvelle, mais on fait comment alors pour

?
Tu peux approcher ta fonction

via la convolution et un noyau régularisant.
Ah cool

Bon, je vais essayer de voir ça.
Pourquoi la question 2) et pourquoi faire ?
Alors à la base de tout ça, c'est un problème qui n'a rien à voir avec la théorie des distributions. Je vais essayer d'expliquer très brièvement :
Je travaille sur les indices de pouvoir pour jeux de votes. Mathématiquement, on a

un ensemble fini de votants de cardinal

. Un jeu de vote sur

est une application

définie sur l'ensemble des parties (les coalitions) de

, à valeurs dans

, tel que

et

, et

monotone (

).
On dit que la coalition

est gagnante si

(et perdante sinon). L'indice de Shapley-Shubik

est une application définie sur l'ensemble des jeux de votes (

fixé), à valeurs dans

définit comme suit :

représente la proportion des « chaînes augmentantes » de votants (correspondant aux

permutations des votants) pour lesquelles c'est le votant

qui est décisif. C'est-à-dire pour une chaîne (ou permutation) fixée, on part de la coalition vide, les votants arrivent l'un après l'autre selon la permutation, le joueur décisif étant celui qui en arrivant fait gagner la coalition. Plus explicitement, avec un peu de dénombrement, on a :
![$$ \forall i\in N,\quad \phi_i(v)=\sum_{S\subseteq N:i\in S}\dfrac{(|S|-1)!(n-|S|)!}{n!}[v(S)-v(S\setminus\{i\})]. $$ $$ \forall i\in N,\quad \phi_i(v)=\sum_{S\subseteq N:i\in S}\dfrac{(|S|-1)!(n-|S|)!}{n!}[v(S)-v(S\setminus\{i\})]. $$](http://forum.mathematex.net/renders/tex_sav/1b36b534922accb1f1768d7d1c2a2155.svg)
Mon problème (mais je suis peut-être un peu naïf d'espérer y trouver une solution élégante) est de généraliser l'indice de Shapley-Shubik (en particulier) pour des jeux flous : cette fois, les votant peuvent avoir un taux de participation graduel dans une coalition. C'est-à-dire qu'une coalition, floue donc, sera représentée par un vecteur
![$x\in[0,1]^{n}$ $x\in[0,1]^{n}$](http://forum.mathematex.net/renders/tex_sav/3bb29cb595b935275b5a8f82d469aa03.svg)
, où

représente le taux de participation (ou la probabilité de présence) de

dans la coalition. Un jeu flou est donc défini sur
![$[0,1]^n$ $[0,1]^n$](http://forum.mathematex.net/renders/tex_sav/7d2aa55b3865cc0aa522a24a0b85263e.svg)
, et toujours monotone, à valeurs dans

.
Alors bien sûr, inutile d'espérer représenter convenablement l'ensemble des chaînes augmentantes de
![$[0,1]^n$ $[0,1]^n$](http://forum.mathematex.net/renders/tex_sav/7d2aa55b3865cc0aa522a24a0b85263e.svg)
, enfin moi je n'ose pas y penser. Par-contre, il existe une formule, dans le cas classique, qui donne l'indice de Sh-Sh en fonction de la transformée de Möbius de

, qui est une sorte de dérivation discrète.
Précisément, pour tout jeu de vote

donné, il existe une unique application notée

définie sur

, aussi, telle que :

(La formulation explicite de

n'est pas très compliquée :

Et l'indice de Sh-Sh peut alors s'écrire :

Or, cette formule me paraît bien plus indiquée pour l'extension du discret au continu. Mais avant ça, il me faudrait donc donner un sens à

lorsque

est jeu flou. Ce qui m'amène donc à considérer que je devrais avoir
![$$ v(x)=\int_{[0,1]^n}m^v(t) dt. $$ $$ v(x)=\int_{[0,1]^n}m^v(t) dt. $$](http://forum.mathematex.net/renders/tex_sav/38c481caff7f8613b579332f2e9f3f50.svg)
Et Heaviside là-dedans ? Et bien, le point commun évident est d'abord que

est aussi à valeurs dans

. Ensuite, dans le cas classique, il existe une classe particulière de jeux de vote : les jeux pondérés, où chaque votant possède un poids positif, et où la coalition sera gagnante si la somme des poids des votants la constituant est supérieure à un certain seuil fixé d'avance pour le jeu (par exemple, pour un jeu majoritaire, le seuil sera la moitié de la somme de tous les poids). Et ce qui est rigolo là-dedans, c'est qu'on peut associer à tout jeu de vote pondéré un hyperplan de

qui sépare les éléments de

correspondants aux coalitions gagnantes, des autres (les coalitions perdantes).
Et bien entendu, la généralisation des jeux de votes pondérés au cas flou, va donner ces fonctions de Heaviside généralisées. Par exemple, avec

, un jeu de vote pondéré, dont le joueur

a la fonction de poids

(son poids est proportionnel à son de degré de participation (ou probabilité de présence)

), le joueur

a la fonction de poids

, et le seuil exigé pour avoir une coalition floue gagnante est, admettons, de

. Ici, le jeu

est donc l'application définie sur
![$[0,1]^2$ $[0,1]^2$](http://forum.mathematex.net/renders/tex_sav/dc57f6bfd8136c079167ca9dfde2e2be.svg)
, qui à

associe

si

, et

sinon.
Donc apriori,

serait ici la dérivée partielle (dans un certain sens)

.
Bon, y a des gens intéressés pour être co-auteur d'un papier là-dessus ?
