Groupe orthogonal et spécial orthogonal

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Groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar paspythagore » Dimanche 20 Janvier 2013, 12:30

Bonjour.

Je n'arrive pas à "maîtriser" ces groupes.

Le groupe orthogonal $\mathcal{O}_n$ est le groupe des isométries ?
Le groupe spécial orthogonal $\mathcal{SO}_n$ est le groupe des isométries directes ?
$\mathcal{SO}_n$ est d'indice 2 dans $\mathcal{O}_n$, il est donc distingué.

Le déterminant de $\mathcal{O}_n$ est $1$ ou $-1$, celui de $\mathcal{SO}_n$ $1$.

$\mathcal{O}_n$ est l'ensemble des matrices carrées telles que $^tMM=Id$ ?
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Re: groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar balf » Dimanche 20 Janvier 2013, 14:21

Oₙ n'est pas le groupe des isométries Is(n), parce que les isométries opèrent sur l'espace affine euclidien de dimension n ; elles forment un sous-groupe du groupe affine GA(n), et contiennent en particulier les translations, alors que Oₙ opère sur l'espace vectoriel sous-jacent (c'est un sous-groupe du groupe linéaire GL(n).

En fait Is(n) est isomorphe au produit semi-direct R$\rtimes$ Oₙ, de même que le groupe affine est isomorphe au produit semi-direct R$\rtimes$ GL(n).

Voilà. J'espère avoir éclairci les relations entre ces différents objets. J'ai simplifié en me plaçant sur Rⁿ, comme votre question semblait y inviter, et non sur un corps K et une forme quadratique sur un K-espace vectoriel quelconques.

B.A.
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Re: groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar kojak » Dimanche 20 Janvier 2013, 15:43

Bonjour,

paspythagore a écrit:Le groupe orthogonal $\mathcal{O}_n$ est le groupe des isométries ?
Le groupe spécial orthogonal $\mathcal{SO}_n$ est le groupe des isométries directes ?
$\mathcal{SO}_n$ est d'indice 2 dans $\mathcal{O}_n$, il est donc distingué.

Le déterminant de $\mathcal{O}_n$ est $1$ ou $-1$, celui de $\mathcal{SO}_n$ $1$.

$\mathcal{O}_n$ est l'ensemble des matrices carrées telles que $^tMM=Id$ ?


Tout à fait, en précisant bien qu'on a des isométries vectorielles, c'est à dire pour des vecteurs, et non des isoméries affines, pour des points.
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Re: groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar paspythagore » Dimanche 20 Janvier 2013, 19:42

Merci.
Oui je me situais dans $\R^n$.

Oₙ n'est pas le groupe des isométries Is(n)

Le groupe des matrices orthogonales alors ?

Je n'ai pas compris, non plus, le lien entre les isométries et les valeurs propres.
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Re: groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar kojak » Dimanche 20 Janvier 2013, 20:18

$O_n$ est bien le groupe orthogonal, ensemble des matrices orthogonales, mais ces matrices orthogonales représentent un automorphisme orthogonal, c'est à dire une isométrie vectorielle.

paspythagore a écrit:Je n'ai pas compris, non plus, le lien entre les isométries et les valeurs propres.
En dimension 2 ou 3 ou autre ?
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Re: groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar balf » Dimanche 20 Janvier 2013, 20:24

Plus exactement, le groupe des matrices orthogonales est canoniquement isomorphe au groupe des isométries vectorielles (= automorphismes orthogonaux), de même que le groupe des matrices carrées inversibles est canoniquement isomorphe, une base de l'espace vectoriel E étant choisie, au groupe des automorphismes de E.

Le lien avec les valeurs propres est simplement que, puisqu'une isométrie f conserve les normes, ‖f(x)‖=‖x‖. Mais, si x est un vecteur propre de f, ‖f(x)‖ = ‖λx‖ = |λ|‖x‖, et comme ‖x‖ ≠ 0, il en résulte que |λ| = 1.

B.A.
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Re: groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar Tonn83 » Lundi 21 Janvier 2013, 07:06

Que valent les groupes $\mathcal{O}_1$, $\mathcal{O}_2$ et $\mathcal{O}_3$ ?
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Re: groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar paspythagore » Lundi 21 Janvier 2013, 21:39

Bonsoir Tonn, je ne suis pas sûr de savoir ce que veut dire "que vaut un groupe" ?
Au moins, ça me permettra de voir ce que j'ai pas compris...
Les éléments d'$\mathcal{O}_2$ sont :

$\begin{pmatrix}\cos&\sin\\-\sin&\cos\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}\cos&-\sin\\\sin&\cos\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}\sin&\cos\\-\cos&\sin\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}\sin&-\cos\\\cos&\sin\end{pmatrix}$,
$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$.
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Re: groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar balf » Mardi 22 Janvier 2013, 00:01

Il y en a beaucoup trop, et puis il manque l'argument des fonctions circulaires. En fait, les éléments de O(2) sont de deux types, selon la valeur du déterminant.

B.A.
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Re: groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar paspythagore » Mardi 22 Janvier 2013, 22:28

On peut enlever les 4 dernières, elles correspondent à des valeurs particulières de l'argument. Si le déterminant est positif,on est dans $\mathcal{SO}_2$. L'argument peut être positif ou négatif.

$\begin{pmatrix}\cos&\sin\\-\sin&\cos\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}\sin&-\cos\\\cos&\sin\end{pmatrix}$ sont les mêmes il suffit d'ajouter $\pi/2$ à l'argument initial.

Il ne reste que $\begin{pmatrix}\cos&\sin\\-\sin&\cos\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}\cos&-\sin\\\sin&\cos\end{pmatrix}$
au signe de l'argument prés, soient 4 éléments.
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Re: groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar balf » Mardi 22 Janvier 2013, 22:55

En fait, ça n'en fait qu'un, puisque, vous le dites vous-même, c'est au signe de l'argument près (et à π/2 près). Vous avez donc la description matricielle du groupe spécial orthogonal. Et les autres matrices orthogonales ?

B.A.
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Re: Groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar paspythagore » Mercredi 23 Janvier 2013, 20:28

Bonsoir.

J'ai du mal avec ces deux là parce que dans les cours, il y a toujours les 2 :

$\begin{pmatrix}\cos&\sin\\-\sin&\cos\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}\cos&-\sin\\\sin&\cos\end{pmatrix}$

Pour le reste on veut un déterminant égal à $-1$ :

$\begin{pmatrix}-\cos&\sin\\\sin&\cos\end{pmatrix}$
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Re: Groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar kojak » Jeudi 24 Janvier 2013, 07:50

Bonjour,

paspythagore a écrit:
J'ai du mal avec ces deux là parce que dans les cours, il y a toujours les 2 :

$\begin{pmatrix}\cos&\sin\\-\sin&\cos\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}\cos&-\sin\\\sin&\cos\end{pmatrix}$
c'est la même chose, car la première matrice est la matrice de la rotation d'angle $\theta$ et la seconde, matrice de rotation d'angle $-\theta$, donc c'est toujours une matrice de rotation.


paspythagore a écrit:Pour le reste on veut un déterminant égal à $-1$ :

$\begin{pmatrix}-\cos&\sin\\\sin&\cos\end{pmatrix}$
oui si tu veux. Mais en fait, on préfère se placer dans une "bonne" base dans le plan. C'est la matrice d'une réflexion, c'est à dire la matrice d'une symétrie orthogonale par rapport à une droite dont la matrice s'écrit
$\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1\end{pmatrix}$

Donc comme dit précédemment, dans $O_2$ tu n'as que 2 sortes de matrices : celles de rotation $\begin{pmatrix}\cos&\sin\\-\sin&\cos\end{pmatrix}$ et les réflexions $\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1\end{pmatrix}$.

Après, si tu veux en plus les valeurs propres, dans les rotations, il y a 3 cas : si $\theta\neq 0 $ et $\theta\neq \pi$, pas de valeur propre réelle, si $\theta=0$, c'est l'identité, donc $1$ valeur propre double, et si $\theta=\pi$, tu as $-$ l'identité, donc $-1$ valeur propre double. Pour la réflexion, tu as $1$ et $-1$ comme valeur propre au vu de la matrice.

Maintenant, il faut passer dans l'espace.
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Re: Groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar balf » Jeudi 24 Janvier 2013, 10:45

Les matrices de réflexion sont de la forme $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos &\sin \\ \sin& -\cos \end{pmatrix} $, plutôt, non ? Il y a d'autres réflexions que par rapport à l'axe des abscisses…

Aussi, concernant les matrices de rotation, mieux vaut mettre —sin sur la première ligne, pour des raisons d'interprétation géométrique plus simple.

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Re: Groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar kojak » Jeudi 24 Janvier 2013, 18:32

balf a écrit:Les matrices de réflexion sont de la forme $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos &\sin \\ \sin& -\cos \end{pmatrix} $, plutôt, non ? Il y a d'autres réflexions que par rapport à l'axe des abscisses…
Ce sont les mêmes : il suffit de se placer dans la bonne base : axe et direction. Ces 2 matrices sont semblables.

balf a écrit:Aussi, concernant les matrices de rotation, mieux vaut mettre —sin sur la première ligne, pour des raisons d'interprétation géométrique plus simple.
Oui, tout à fait. C'est un mauvais copier coller de ma part : $\begin{pmatrix}\cos&-\sin\\\sin&\cos\end{pmatrix}$
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Re: Groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar balf » Jeudi 24 Janvier 2013, 20:39

kojak a écrit:
balf a écrit:Les matrices de réflexion sont de la forme $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos &\sin \\ \sin& -\cos \end{pmatrix} $, plutôt, non ? Il y a d'autres réflexions que par rapport à l'axe des abscisses…
Ce sont les mêmes : il suffit de se placer dans la bonne base : axe et direction. Ces 2 matrices sont semblables.

Ce que je voulais dire, c'est qu'à elle toute seule, la matrice $\displaystyle\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\right)$ ne suffit pas à représenter toutes les matrices de réflexion dans une base donnée.

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Re: Groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar paspythagore » Jeudi 24 Janvier 2013, 21:10

Bonsoir.

Pour tenter de finir de répondre aux questions de tonn

$O_1$ : $(-1)$, la symétrie par rapport à l'origine et l'identité et $SO_1$ : $(1)$.

$O_3$ : $\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&\cos&-\sin\\0&\sin&\cos\end{pmatrix}$ et $SO_3$ : $\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&\cos&-\sin\\0&\sin&\cos\end{pmatrix}$
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Re: Groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar balf » Vendredi 25 Janvier 2013, 00:13

C'est « presque » cela, c'est-à-dire que, si SO(n) désigne bien les transformations orthogonales de déterminant 1, O(n) ne désigne pas celles de déterminant —1, mais celles de déterminant ±1, de sorte que SO(n) est un sous-groupe de O(n), alors que les transformations de déterminant —1 ne constituent pas un sous-groupe.

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Re: Groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar kojak » Vendredi 25 Janvier 2013, 12:57

balf a écrit:Ce que je voulais dire, c'est qu'à elle toute seule, la matrice $\displaystyle\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\right)$ ne suffit pas à représenter toutes les matrices de réflexion dans une base donnée.


OK, mais la classification avec tes formes n'est pas la plus judicieuse à mon sens, du moins ce n'est pas comme ceci que je préfère l'enseigner, mais en donnant les matrices dans des " bonnes bases", que ce soit en dimension 2 et 3. Car au moins, en sachant ce qu'on a, on retrouve très rapidement les différentes formes de matrices. En prime, j'aime les valeurs propres des matrices. De plus, cela permet de faire le chemin inverse, c'est à dire en donnant une symétrie - vectorielle - orthogonale par rapport à un plan dans l'espace, il est très facile de déterminer sa matrice dans la base canonique par un simple changement de bases.
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Re: Groupe orthogonal et spécial orthogonal

Messagepar Tonn83 » Vendredi 25 Janvier 2013, 15:50

Une remise au point s'impose.

@ Kojak :
Un cours sur la classification des isométries d'un espace euclidien orienté $E$ de dimension 3 contient un passage sur la réduction des rotations. On doit expliquer comment choisir une base orthonormée directe $(u_1,u_2,u_3)$ de $E$ dans laquelle la rotation $r$ admet une représentation matricielle simple. Quand le premier vecteur $u_1$ de la base est un des deux vecteurs unitaires dirigeant l'axe de rotation, si toutefois la rotation $r$ n'est pas l'identité, alors il existe $\theta$ tel que
$M=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ 0 & \sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix} $

Mais il est important de signaler que l'écriture matricielle dans une base quelconque n'est pas de cette forme. Vous écrivez : "il est très facile de déterminer sa matrice dans la base canonique par un simple changement de bases". Oui, mais ce ne l'est pas pour un étudiant y compris en classes préparatoires. Quand on change $u_1$ en $-u_1$, peu d'étudiants ne remarque que la matrice devient :
$M=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&\cos(-\theta)&-\sin(-\theta)\\ 0 & \sin(-\theta)&\cos(-\theta)\end{pmatrix} $

Certains ne comprennent pas que deux matrices différentes peuvent représenter le même isomorphisme vectoriel dans deux bases différentes. Donc non, il ne suffit pas de présenter les formes réduites mais bien d'expliquer comment les obtenir effectivement.

@ Paspythagore :

$\mathcal{O}(1)=\{(+1),(-1)\}$ et est isomorphe à $\Z/2\Z$. A isomorphisme près, il n'y a qu'un seul groupe à deux éléments.

$\mathcal{SO}(2)=\left\{\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\  \sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix} |\theta\in\R\right\}$
C'est bien un groupe puisque notamment, d'après les relations trigonométriques usuelles :
$\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\  \sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos(\mu)&-\sin(\mu)\\  \sin(\mu)&\cos(\mu)\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}\cos(\theta+\mu)&-\sin(\theta+\mu)\\  \sin(\theta+\mu)&\cos(\theta+\mu)\end{pmatrix}$

On peut reformuler en disant que
$\theta\mapsto \begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\  \sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}$

est un morphisme surjectif de groupes de $\R$ sur $\mathcal{SO}(2)$. Son noyau vaut $2\pi\Z$. En conséquence, $\mathcal{SO}(2)$ est un groupe commutatif.

La matrice $\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\  \sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}$ représente la rotation d'angle $\theta$.

$\mathcal{O}(2)=\mathcal{SO}(2)\cup\left\{\begin{pmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)\\  \sin(\theta)&-\cos(\theta)\end{pmatrix} |\theta\in\R\right\}$
En utilisant les formules trigonométriques usuelles on note que
$\begin{pmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)\\  \sin(\theta)&-\cos(\theta)\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}\cos(\theta/2)\\ \sin(\theta/2)\end{pmatrix} $ $=\begin{pmatrix}\cos(\theta)\cos(\theta/2)+\sin(\theta)\sin(\theta/2)\\  \sin(\theta)\cos(\theta/2)-\cos(\theta)\sin(\theta/2)\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}\cos(\theta/2)\\  \sin(\theta/2)\end{pmatrix}$

et
$\begin{pmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)\\  \sin(\theta)&-\cos(\theta)\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}-\sin(\theta/2)\\ \cos(\theta/2)\end{pmatrix} $ $=\begin{pmatrix}-\cos(\theta)\sin(\theta/2)+\sin(\theta)\cos(\theta/2)\\ - \sin(\theta)\sin(\theta/2)-\cos(\theta)\cos(\theta/2)\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}\sin(\theta/2)\\ - \cos(\theta/2)\end{pmatrix}$

Ainsi, $\begin{pmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)\\  \sin(\theta)&-\cos(\theta)\end{pmatrix}$ représente la symétrie par rapport à la droite $\R u$ parallèlement à la droite $\R v$ où les vecteurs u et v sont donnés par :
$u= \begin{pmatrix}\cos(\theta/2)\\ \sin(\theta/2)\end{pmatrix} $ et $v=\begin{pmatrix}-\sin(\theta/2)\\ \cos(\theta/2)\end{pmatrix} $.
Les vecteurs $u$ et $v$ sont unitaires et orthogonaux et cette matrice représente donc bien une symétrie orthogonale. Quand $\theta$ verie de $2\pi$, les vecteurs $u$ et $v$ sont changés en $-u$ et $-v$ mais cela ne change pas la symétrie.

En outre, le produit de deux matrices de symétrie
$\begin{pmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)\\  \sin(\theta)&-\cos(\theta)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos(\mu)&\sin(\mu)\\  \sin(\mu)&-\cos(\mu)\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}\cos(\theta-\mu)&-\sin(\theta-\mu)\\ \sin(\theta-\mu)&\cos(\theta-\mu)\end{pmatrix}$
est une matrice de rotation.

Le produit de la matrice de rotation d'angle $\theta$ par la matrice de symétrie de paramètre $\mu$ vaut
$\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\  \sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos(\mu)&\sin(\mu)\\  \sin(\mu)&-\cos(\mu)\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}\cos(\mu+\theta)&\sin(\mu+\theta)\\ \sin(\mu+\theta)&-\cos(\mu+\theta)\end{pmatrix}$
la matrice de symétrie de paramètre $\mu+\theta$.

Le produit de la matrice de symétrie d'angle $\mu$ par la matrice de rotation de paramètre $\theta$ vaut
$\begin{pmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)\\  \sin(\theta)&-\cos(\theta)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos(\mu)&-\sin(\mu)\\  \sin(\mu)&\cos(\mu)\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}\cos(\theta-\mu)&\sin(\theta-\mu)\\  \sin(\theta-\mu)&-\cos(\theta-\mu)\end{pmatrix}$
la matrice de symétrie de paramètre $\mu-\theta$.

Veuillez vérifier ces calculs ! :mrgreen:
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