Géometrie hyperbolique

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Géometrie hyperbolique

Messagepar Mar_Hy » Mardi 02 Mai 2006, 18:37

bonjour tous le monde.
je travail sur la géométrie hyperbolique 3d, plus exactement sur l'extension du model de Poincaré (en remplacant le disc unité de poinncaré par la boule unité) ce modèle est conforme.
mon travail consiste à difinir un pavage hyperbolique 3d en utilisant le dodécaèdre comme motif, alors je cherche la représentation matricielle de la symétrie en espace hyperbolique. est ce que quelcun peut m'aider ?
merci d'avance.
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C'est de l'analogie

Messagepar Bruno » Mercredi 03 Mai 2006, 08:52

Dans le disque de Poincaré, les symétrie sont interprétée par les inversions dont le cercle est orthogonal au bord du disque; Pour la boule, je pense qu'il en est de même si ce n'est qu'on a une sphère d'inversion.

Bref, en me fixant un point de l'espace extérieur à la boule unité, je chercherai la matrice de l'inversion dont le centre est le point fixé et la puissance $\sqrt{p(M)}$$p(M)$ désigne la puissance du pôle d'inversion par rapport à la sphère unité.
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Messagepar Mar_Hy » Mercredi 03 Mai 2006, 14:53

Merci bien pour la réponse, mais je ne comprend pas encore bien. si vous pouvez m'aider un peut à mieux comprendre? si par exemple on se met en plan( discpoincaré) et supposons que on à deux droites [AB] et [CD] alors la question est comment trouver la droite symétrique [A'B'] qui la symétrie de [AB] par rapport à la droite [CD]?
ceci reviens à trouver le centre d'un cercle (le cercle support de la droite [A'B'] qui est evidement l'inverse du centre du cercle support de la droite [AB].
alors la question est quoi utiliser comme Pole d'inversion (est ce que c'est le centre de discponcaré?) et puis quoi utiliser comme puisance du pole d'inversion?
j'ai trouver un truc qui dit que la puissance est R^2 (R le rayon de discpoincaré)
merci d'avance de votre aide, je suis vraiment reconnaissant [/code]
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Messagepar Bruno » Mercredi 03 Mai 2006, 17:12

Cherchons simplement le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $\cal D$. C'est tout simplement le symétrique du point $A$ au sens du plan euclidien lorsque la droite $\cal D$ est un diamètre du disque (support du plan) sinon, c'est l'inverse du point $A$ par rapport à l'inversion définie par le cercle support de la droite $\cal D$. Opérer cette inversion sur trois points distincts $A,\ B,\ C$ détermine l'image de la "droite" $(AB)$ comme le montre la pièce jointe.

Quelques explications : le plan, hyperbolique est le disque ouvert de frontière $\Gamma$. J'ai laissé en pointillé la trace du cercle dont l'intersection avec le "plan" est la droite $\cal D$. La "droite" $(A'B')$ est l'image par la "symétrie" d'axe $\cal D$ de la "droite" $(AB)$.
Fichiers joints
Symétrie.gif
Représentation d'une symétrie droite dans un plan hyperbolique.
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Messagepar Mar_Hy » Mercredi 03 Mai 2006, 18:12

merci beaucoup j'ai bien compris cette fois, je suis très reconnaissant, merci une autre fois. :)
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Messagepar Bruno » Mercredi 03 Mai 2006, 18:34

De rien.
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