Formules trigonométriques (démonstrations)

Discussions générales concernant les mathématiques.
[ce forum est modéré par les modérateurs globaux du site]
Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Pour obtenir de l'aide sur un exercice ou un problème, consulter cette section. (ce forum est destiné aux discussions plutôt théoriques)

Formules trigonométriques (démonstrations)

Messagepar Naurlane » Mercredi 25 Août 2010, 10:11

Bonjour :)

Un ami de MPSI m'a donné un formulaire de trigo. Etant donné que je rentre en PCSI, j'ai regardé ce dont il m'a donné et j'ai essayé de retrouver quelques formules mais je n'y arrive pas totalement, et je crois qu'en ayant juste quelques éclaircissements, je pourrai y arriver.
Je vous joins ici les formules qui me posent problème :

On part de :

$$\cos ( a +b ) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) \quad (1)$$


$$\sin ( a +b ) = \sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a) \quad (2)$$




De (1) et (2) viennent ( avec a = b = x ) et $\cos(x)^2+\sin(x)^2 = 1$.

$$ cos ( 2x ) = cos^2x - sin ^2 x = 2 cos^2 x -1 = 1 - 2sin ^2 x $$

c'est ici que je ne comprends pas :| .


Comment passe t-on de $cos^2x - sin ^2 x$ à $2 cos^2 x -1$ et de $2 cos^2 x -1$ à $ =1 - 2sin ^2 x$ :?:

Par la suite, il est écrit que :

$$ cos^2x = \dfrac{1+cox(2x)}{2}$$

( ça ok )
et

$$ sin^2x  =  \dfrac{1 - cos (2x)}{2}$$

( ok aussi )

et il est écrit que :


donc,

$$1 + cos(x) = 2cos^2(x/2)$$


$$ 1 - cos(x) = 2 sin^2(x/2)$$



ici aussi, je ne comprends pas le cheminement


si vous pouviez m'éclairez un petit peu :D merci d'avance :!: :mrgreen:
Seven, c'est comme Vista, mais en mieux en bien.
Naurlane
Hecto-utilisateur
 
Messages: 63
Inscription: Samedi 07 Novembre 2009, 18:43
Localisation: Charente-Maritime ( La Rochelle )
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Publicité

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

Messagepar Minibob59 » Mercredi 25 Août 2010, 10:32

Bonjour !

Pour ce qui est de la première relation qui te pose problème :
On dispose de deux relations, à savoir :

$$ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$$


et

$$ \cos{(2x)} = \cos^2(x) - \sin^2(x) $$


On obtient les deux autres égalités en feintant un peu ^^ :

$$ \cos{(2x)} = \cos^2(x) + \cos^2(x) - \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - (\cos^2(x) + \sin^2(x)) = 2\cos^2(x) - 1 $$


et pour l'autre :

$$ \cos{(2x)} = \cos^2(x) + \sin^2(x) - \sin^2(x) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x) $$



Pour le deuxième type de relations trigonométriques, on part de ce résultat :

$$ \cos^2(x) = \frac{1+ \cos{(2x)}}{2} \iff 2\cos^2(x) = 1 + \cos{(2x)} $$


On pose par exemple : $X = 2x$, d'où :

$$ 2\cos^2\left( \frac{X}{2} \right) = 1 + \cos{(X)} $$



Et voià ! :)

Par contre, après il y a d'autres formules de trigo un peu plus chaudes à démontrer je trouve (en tout cas je n'ai pas encore réussi à les redémontrer, mais je n'ai pas beaucoup cherché non plus ^^), du genre :

$$ \cos{(p)} + \cos{(q)} = 2\cos{\left( \frac{p+q}{2} \right)}\cos{\left( \frac{p-q}{2} \right)} $$



sans oublier la trigonométrie hyperbolique ! ^^
Minibob59 !
Minibob59
Kilo-utilisateur
 
Messages: 234
Inscription: Dimanche 24 Janvier 2010, 11:14
Localisation: Palaiseau
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

Messagepar Noah » Mercredi 25 Août 2010, 12:51

Du complexe, toujours du complexe, encore du complexe ! (y'a que ça de vrai pour retrouver les identités trigo).

$\cos a + \cos b =$

$=\dfrac{e^{ia}+e^{-ia}}{2} + \dfrac{e^{ib}+e^{-ib}}{2}$

$=\dfrac{e^{ia}+e^{ib}}{2} + \dfrac{e^{-ia}+e^{-ib}}{2}$

$=e^{\frac{i(a+b)}{2}} \dfrac{e^{i(a-b)/2}+e^{i(b-a)/2}}{2} + e^{\frac{-i(a+b)}{2}} \dfrac{e^{-i(a-b)/2}+e^{-i(b-a)/2}}{2}$

$=\dfrac{e^{i(b-a)/2}}{2}(e^{\frac{i(a+b)}{2}} + e^{\frac{-i(a+b)}{2}}) + \dfrac{e^{i(a-b)/2}}{2}(e^{\frac{i(a+b)}{2}} + e^{\frac{-i(a+b)}{2}}) $

$=2 \dfrac{e^{i(b-a)/2}+e^{i(a-b)/2}}{2}\dfrac{e^{i(a+b)/2} + e^{-i(a+b)/2}}{2}$

$=2 \cos ( \dfrac{a-b}{2}) \cos (\dfrac{a+b}{2})$

Bon, effectivement, c'est pas simple simple, mais il suffit de se souvenir de deux trois arnaques, comme : vaut-il mieux utiliser $\cos a = Re(e^{ia})$ ou $\cos a = \dfrac{e^{ia}+e^{-ia}}{2}$ (en l'occurrence, il vaut mieux utiliser la première quand on a des produits de cos ou de sin, ou bien des expressions de la forme $\cos (nx)$, donc pour les problèmes de linéarisation ou de développement trigo ; et la deuxième quand on a des sommes), et le fameux "coup de l'angle moitié" de la troisième ligne, qui permet de faire apparaître des expressions symétriques. Avec un peu d'entraînement, il devient beaucoup plus facile (et rapide et moins sujet aux erreurs) de retrouver rapidement toutes les identités trigo, et également les identités hyperboliques, les dérivées de arcsin, argth etc... que d'essayer de les retenir. Je sais pas pour vous mais moi j'ai jamais réussi à en retenir une seule (à part peut-être $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ ) .
Noah
Déca-utilisateur
 
Messages: 43
Inscription: Jeudi 05 Août 2010, 17:30
Statut actuel: Post-bac

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

Messagepar Naurlane » Mercredi 25 Août 2010, 17:07

Merci à vous, j'ai tout de suite compris :) ! Oui, j'ai aussi celle des tangentes sur la fiche que mon ami m'a donné. Mais pour le coup j'attends d'y être parce que je n'y comprends pas grand chose...j'essaye de comprendre un peu mais je les reverrai très surement quand un professeur me donnera le même style de fiche récapitulative ! ( du moins, je l'espère...!) merci encore en tout cas ! :)
Seven, c'est comme Vista, mais en mieux en bien.
Naurlane
Hecto-utilisateur
 
Messages: 63
Inscription: Samedi 07 Novembre 2009, 18:43
Localisation: Charente-Maritime ( La Rochelle )
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

Messagepar kojak » Jeudi 26 Août 2010, 07:08

Bonjour Naurlane, :D

C'est une excellente idée de se plonger dans ces charmantes formules de trigo avant la rentrée :lol:

bonne fin de vacances et bonne chance pour la suite :wink:

A bientôt
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10380
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

Messagepar Framboise » Jeudi 26 Août 2010, 07:41

Bonjour,

>Noah

+1, Le passage par les complexes est la voie royale pour bon nombre de relations trigo.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
Framboise
Téra-utilisateur
 
Messages: 1154
Inscription: Lundi 21 Mai 2007, 12:57
Localisation: Dordogne
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

Messagepar Naurlane » Jeudi 26 Août 2010, 11:19

kojak a écrit:C'est une excellente idée de se plonger dans ces charmantes formules de trigo avant la rentrée :lol:


J'avoue que c'est tout de même très difficile de s'y remettre. J'ai beaucoup de mal à faire 3h de maths en une journée pour le moment ! ( vacances... quand tu nous tiens...) Mais le rythme va revenir progressivement ( de toute manière, il faudra bien ! )

A bientôt !
Seven, c'est comme Vista, mais en mieux en bien.
Naurlane
Hecto-utilisateur
 
Messages: 63
Inscription: Samedi 07 Novembre 2009, 18:43
Localisation: Charente-Maritime ( La Rochelle )
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

Messagepar kojak » Jeudi 26 Août 2010, 16:05

Ehhhh... 3h de maths : alors là, chapeau bas :D

Si tu arrives à faire environ 2h par jour maths et physique, c'est déjà bien :wink:

bonne révision :D
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10380
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant


Retourner vers Tribune des mathématiques

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 2 invités