Formules de Taylor

Discussions générales concernant les mathématiques.
[ce forum est modéré par les modérateurs globaux du site]
Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Pour obtenir de l'aide sur un exercice ou un problème, consulter cette section. (ce forum est destiné aux discussions plutôt théoriques)

Formules de Taylor

Messagepar Tetanos » Jeudi 05 Juin 2008, 20:32

Bonsoir,

J'ai été étonné, en relisant un de mes cours, par hasard, de ne pas y voir apparaitre la formule de Taylor d'une fonction à plusieurs variable au delà de l'ordre 2. J'ai donc parcouru un peu le net pour la trouver, mais mes recherches ont été vaines, quelqu'un saurait-il me renseigner ? (Je n'ai peut être pas cherché assez loin également en me limitant à mon 'niveau' ...)
Y a-t-il une raison pour ne pas la voir apparaitre dans mon cours ? (Formule complexe qui ne sert jamais ? ...)

Merci d'avance.

Cordialement,
Tetanos.
Tetanos
Déca-utilisateur
 
Messages: 42
Inscription: Lundi 28 Avril 2008, 21:40
Statut actuel: Post-bac | Licence

Publicité

Re: Formules de Taylor

Messagepar surjay » Jeudi 05 Juin 2008, 20:45

C'est surtout qu'au delà de l'ordre 2 avec une fonction à 2 variables il faut utiliser la matrice jacobienne, l'hessienne...
A mon avis c'est normal que ça ne figure pas dans ton cours au niveau licence.
surjay
Kilo-utilisateur
 
Messages: 153
Inscription: Jeudi 27 Décembre 2007, 16:37
Statut actuel: Post-bac

Re: Formules de Taylor

Messagepar balf » Vendredi 06 Juin 2008, 00:37

Je l'avais eue en prépa, mais ce n'est pas très récent. Pour des fonctions de deux variables, le terme suivant du développement de $f(x+h,y+k)$ serait :

$\dfrac{1}{3 !}\left[\dfrac{\partial^3f}{\partial x^3}h^3   + 3\dfrac{\partial^3f}{\partial x^2 \partial y}h^2 k + 3\dfrac{\partial^3f}{\partial x \partial y^2}hk^2  + \dfrac{\partial^3f}{\partial y^3} k^3  \right] $.

Un moyen mnémotechnique qu'on nous indiquait pour se rappeler cette formule était de considérer ces termes comme le développement d'une puissance symbolique d'un opérateur différentiel à l'aide de la formule du binôme :

$ \dfrac{1}{n!}\left[\dfrac{\partial}{\partial x}\,h  + \dfrac{\partial}{\partial y} \,k \right]^{(n)}\! (f)$.

Évidemment, pour plus de deux variables, il faut utiliser la formule multinomiale, qui n'est pas vraiment d'un maniement simple...

B.A.
balf
Zetta-utilisateur
 
Messages: 3847
Inscription: Mercredi 02 Janvier 2008, 23:18
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: Formules de Taylor

Messagepar rebouxo » Vendredi 06 Juin 2008, 07:48

balf a écrit:Je l'avais eue en prépa, mais ce n'est pas très récent. Pour des fonctions de deux variables, le terme suivant du développement de $f(x+h,y+k)$ serait :

$\dfrac{1}{3 !}\left[\dfrac{\partial^3f}{\partial x^3}h^3   + 3\dfrac{\partial^3f}{\partial x^2 \partial y}h^2 k + 3\dfrac{\partial^3f}{\partial x \partial y^2}hk^2  + \dfrac{\partial^3f}{\partial y^3} k^3  \right] $.

Un moyen mnémotechnique qu'on nous indiquait pour se rappeler cette formule était de considérer ces termes comme le développement d'une puissance symbolique d'un opérateur différentiel à l'aide de la formule du binôme :

$ \dfrac{1}{n!}\left[\dfrac{\partial}{\partial x}\,h  + \dfrac{\partial}{\partial y} \,k \right]^{(n)}\! (f)$.

Évidemment, pour plus de deux variables, il faut utiliser la formule multinomiale, qui n'est pas vraiment d'un maniement simple...

B.A.


Ahhhhh la puissance de l'écriture symbolique.
Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6938
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Formules de Taylor

Messagepar Tetanos » Dimanche 08 Juin 2008, 02:26

Merci pour cette réponse :)
Tetanos
Déca-utilisateur
 
Messages: 42
Inscription: Lundi 28 Avril 2008, 21:40
Statut actuel: Post-bac | Licence

Re: Formules de Taylor

Messagepar jean-marc B » Dimanche 08 Juin 2008, 07:08

Bonjour ,
La formule de Taylor à l'ordre deux pour les fonctions de plusieurs variables semble en effet suffisante . Je cite (Pommelet Agrégation de Mathématiques p279) : On peut généraliser (la formule de Taylor à l'ordre deux pour les fonctions de plusieurs variables ) , en réalité cette généralisation est presque dénuée d'intérêt ; il est en effet possible de prouver que le cas n=2 recouvre la plupart des situations qui se présentent naturellement .
Cordialement .
jean-marc B
Déca-utilisateur
 
Messages: 37
Inscription: Dimanche 04 Mai 2008, 09:21
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Formules de Taylor

Messagepar surjay » Dimanche 08 Juin 2008, 07:59

jean-marc B a écrit:il est en effet possible de prouver que le cas n=2 recouvre la plupart des situations qui se présentent naturellement .

Que veulent ils dire par là ? juste que dans les application on rencontre rarement le cas n=3 ?
surjay
Kilo-utilisateur
 
Messages: 153
Inscription: Jeudi 27 Décembre 2007, 16:37
Statut actuel: Post-bac


Retourner vers Tribune des mathématiques

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 1 invité