Formule de Stirling

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Formule de Stirling

Messagepar moumni » Samedi 29 Avril 2006, 10:19

Bonjour, quelqu'un a une indication sur le preuve de l'encadrement suivant de $n!$ ?

$$\sqrt{2\pi n}n^n.e^{-n}\le n! \le \sqrt{2\pi n}n^n.e^{-n}.(1+\frac1{12n})$$



Et si possible s'il y a un autre encadrement plus précis.

Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
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Messagepar jobherzt » Samedi 29 Avril 2006, 11:50

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Messagepar moumni » Samedi 29 Avril 2006, 11:57

J'ai regardé le lien proposé mais j'ai pas trouvé ni l'encadrement que j'ai posté ni un autre?
Comment fairais-je?
Un coup de pouce et merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
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Messagepar jobherzt » Samedi 29 Avril 2006, 12:23

euh... je te rappelle que $n^n\cdot e^{-n}=(\frac{n}{e})^n$.. donc si, c'est bien la meme formule.. et regarde la rubrique "nota" qui donne un developpement plus precis de la formule et qui fait apparaitre ton $\frac{1}{12n}$.. et il y a des indications sur la maniere de demontrer tout ca...
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Messagepar la main gauche » Mardi 02 Mai 2006, 11:57

Je ne l'ai pas sous la main, mais il me semble que le livre de Demailly _analyse numérique des edp_ parle de la formule d'Euler-MacLaurin et du rapport avec la formule de Sterling. A ce propose il me semble qu'on peut recommander la lecture du chapitre de Knuth _the art of computer programming_ sur les dénombrements, qui met l'accent sur ce petit miracle: on sait calculer la constante de Stirling ($\sqrt{2\pi}$) mais pas la constante d'Euler (quand on utilise la formule d'Euler-MacLaurin). Le chapitre sur la formule d'Euler Mac Laurin dans le cours d'analyse de Godement est très éclairant (dans le tome deux, je crois).
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