Fonctions complexes

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Fonctions complexes

Messagepar alekhine » Lundi 29 Octobre 2007, 14:46

Bonjour,

Comment fait-on pour définir la continuité de fonctions complexes ?

Et une deuxième question plus précise :

Soit $F(z)=\exp(-\frac{z}{1-z})$


Peut-on dire que $F$ est continue sur $\C$ privé de $1$ comme composée de fonctions continues ?

Merci pour votre aide.
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Re: Fonctions complexes

Messagepar MB » Lundi 29 Octobre 2007, 14:53

alekhine a écrit:Comment fait-on pour définir la continuité de fonctions complexes ?


Je ne comprends pas vraiment la question.
La continuité est une notion topologique et il existe donc une définition topologique que l'on peut toujours appliquer à partir du moment où l'on considère des fonctions d'un espace topologique dans un autre. $\C$ étant normé, il n'y a pas de problème et on peut utiliser une définition de la continuité liée à cette norme (comme dans $\R$ en fait).
En espérant avoir répondu à ta première question.
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Re: Fonctions complexes

Messagepar alekhine » Lundi 29 Octobre 2007, 16:04

bonjour MB
$f$ continue en $z_0\in\C$ si $f(z)$ tend vers $f(z_0)$ lorsque $z$ tend vers $z_0$, ou autrement dit :
quel que soit le voisinage $V$ de $f(z_0)$, il existe un voisinage $U$ de $z_0$ tel que $f(U)\subset V$.


Ca j'ai compris. Là où c'est plus obscurs pour moi, c'est lorsque je cherche réellement à calculer une limite car en fait on peut approcher $z_0$ de différentes façons. Contrairement aux fonctions réelles où $x$ est coincé dans un intervalle et ne peut emprunter que deux "routes" pour s'approcher de $x_0$. J'ai l'impression que je ne suis pas très clair là :?
En fait la question est la suivante :
$F(z)=\exp(-\frac{z}{1-z})$ pour $z\neq1$ et $F(1)=0$.

Si on restreint $F$ à l'ensemble des complexes de module strictement inférieur à $1$, $F$ possède-t-elle une limite en $1$?
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Re: Fonctions complexes

Messagepar kojak » Lundi 29 Octobre 2007, 16:18

bonjour,
alekhine a écrit:Comment fait-on pour définir la continuité de fonctions complexes ?
ben tu utilises la distance naturelle de $\C$ :$ d(z_1,z_2)=|z_1-z_2|$ comme l'a précisé MB...
$\forall\varepsilon >0, \exists\alpha>0$ tel que $0|z_z_0|<\alpha \Rightarrow |f(z)-f(z_0)|<\varepsilon$

Pour ta limite, ben non car le point à l'infini est un point singulier pour l'exponentielle : $z=\dfrac{1}{u}\rightarrow e^{\frac{1}{u}}$ n'a pas de limite quand $u$ tend vers $0$ : la valeur obtenue dépend du chemin.. C'est un point singulier essentiel... C'est bien le problème des fonctions à variables complexes... :roll:
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Re: Fonctions complexes

Messagepar alekhine » Lundi 29 Octobre 2007, 16:39

Bonjour Kojak,

kojak a écrit:Pour ta limite, ben non car le point à l'infini est un point singulier pour l'exponentielle : $z=\dfrac{1}{u}\rightarrow e^{\frac{1}{u}}$ n'a pas de limite quand u tend vers 0 : la valeur obtenue dépend du chemin..

Même si $|z|<1$ ?
J'ai tracé dans Maxima la courbe de $|F(z)|$ et elle a l'air d'avoir une limite en $1$ lorsque $|z|<1$. Est-ce que ça peut donner une indication pour $F$ ?
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Re: Fonctions complexes

Messagepar kojak » Lundi 29 Octobre 2007, 16:59

alekhine a écrit:J'ai tracé dans Maxima la courbe de $|F(z)|$ et elle a l'air d'avoir une limite en $1$ lorsque $|z|<1$.
c'est une fonction réelle, ce coup ci... :roll:
alekhine a écrit:Est-ce que ça peut donner une indication pour $F$ ?
Ben, là, j'sais pas trop :roll: C'est sur le bord de mon disque de connaissance :lol:
Cependant, grace à la définition de $e^Z$, , tu peux écrire que $F(z)=\ds\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{n!}\left(\dfrac{z}{z-1}\right)^n$, mais je ne sais si ça peut te donner quelque chose....
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Re: Fonctions complexes

Messagepar euzenius » Lundi 29 Octobre 2007, 19:06

Bonsoir,

On démontre que les fonctions fractions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition dans les complexes. L'application exponentielle est également une fonction continue de C dans C donc la composée l'est aussi sur le domaine de définition qui est ici C privé de 1.

Le problème ici n'est pas un problème de continuité mais de limite en z=1. Dans R on a la même chose avec les notions de limite à gauche et de limite à droite et on peut lorsqu'elles sont égales et finies prolonger de manière continue la fonction en ce point. On peut aussi avoir moins l'infini d'un côté et plus l'infini de l'autre (hyperbole équilatère par exemple), voire une limite finie d'un côté et infini de l'autre.

Dans le cas présent en se restreignant au disque ouvert unité la limite de la fonction existe et est bien nulle en 1 ( chercher la bonne majoration de la norme de la fonction...) quel que soit le chemin d'approche...

Bonne réflexion !


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Re: Fonctions complexes

Messagepar alekhine » Lundi 29 Octobre 2007, 20:45

Bonsor Euzénius,

Si je pose $z=re^{it}$ avec $r<1$, $|F(re^{it})|=\exp(\Re(\frac{re^{it}}{1-re^{it}}))$, et il faudrait que je trouve une majoration de $|F(z)|$ qui ne dépende que de $r$.
Est-ce que c'est bien ça ?
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Re: Fonctions complexes

Messagepar euzenius » Lundi 29 Octobre 2007, 22:09

Pas tout à fait...

... ce n'est pas r, qui est le module de z, lequel est majoré par 1, et tend donc vers 1 quand z tend vers 1, qui est intéressant mais celui de 1-z qui tend lui vers 0 donc son inverse vers... Il vaut mieux mettre z sous la forme a+ib me semble-t-il et se torturer un peu les méninges. Ne pas oublier d'introduire le conjugué qu'il faut...


Bonne réflexion


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Re: Fonctions complexes

Messagepar alekhine » Lundi 29 Octobre 2007, 22:40

$|F(z)|=\exp(\frac{x^2+y^2-x}{(1-x)^2+y^2})\leqslant\exp(\frac{2}{(1-x)^2+y^2})$ pour $|z|<1$.
Or $\exp(\frac{2}{(1-x)^2+y^2})$ tend vers $0$ lorsque $z$ tend vers $1$.
Donc la limite de $F(z)$ en $1$ existe et vaut $0$ lorsque $|z|<1$.

Est-ce que cette fois c'est bien ça ?
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Re: Fonctions complexes

Messagepar kojak » Mardi 30 Octobre 2007, 09:24

bonjour,
J'ai quand même un gros doute là dessus :roll:
alekhine a écrit:Or $\exp(\frac{2}{(1-x)^2+y^2})$ tend vers $0$ lorsque $z$ tend vers $1$.

car $\exp\left(\dfrac{2}{(1-x)^2+y^2}\right)=\exp\left(\dfrac{2}{|z-1|^2}\right)$ et donc si $z$ tend vers 1, alors $|z-1|$ tend vers 0 et donc l'exponentielle vers l'infini, donc tu ne pourrais conclure par une majoration... à moins que je ne dises une grosse ânerie :roll:
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Re: Fonctions complexes

Messagepar alekhine » Mardi 30 Octobre 2007, 10:15

kojak a écrit:donc tu ne pourrais conclure par une majoration... à moins que je ne dises une grosse ânerie :roll:

Non, non, la grosse ânerie ça vient de moi. :?
Donc la question reste ouverte.
En tout cas merci Kojak d'avoir réagit suffisamment vite pour m'éviter cette grosse c... dans mon devoir :D
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Re: Fonctions complexes

Messagepar euzenius » Mardi 30 Octobre 2007, 12:40

Bonjour,

Il vaut mieux en général éviter de majorer comme un gros bourrin, désolé de n'avoir pas regardé hier soir ton post.

Si tu commences par écrire le numérateur de l'exposant à savoir -z = (1-z) - 1 les choses devraient se passer un peu mieux ensuite (ou alors voir un cours sur la décomposition des fractions rationnelles si on ne veut pas passer par cette "astuce"), non ? Mais je suis peut-être devenu nul de chez nul...

Allez, bon devoir !

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Re: Fonctions complexes

Messagepar alekhine » Mardi 30 Octobre 2007, 14:29

Encore un essai :?
$F(z)=\exp\left(\dfrac{-z}{1-z}\right)=\exp\left(1-\dfrac{1}{1-z}\right)=e\times\exp\left(\dfrac{1}{z-1}\right)$
Donc $|F(z)|=e\times\exp\left(\Re\left(\dfrac{1}{z-1}\right)\right)=e\times\exp\left(\dfrac{x-1}{(x-1)^2+y^2}\right)\leqslant e\times\exp\left(\dfrac{1}{x-1}\right)\underset{x\rightarrow1^-}{\longrightarrow0}$
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Re: Fonctions complexes

Messagepar kojak » Mardi 30 Octobre 2007, 14:42

Pour moi, ça ne colle toujours pas car pour $x<1$, tu n'as pas $\dfrac{x-1}{(x-1)^2+y^2}\le \dfrac{1}{x-1}$ mais le contraire car $x-1<0$, à moins que je ne saches plus compter :roll:
et je ne vois pas actuellement comment faire :roll:
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Re: Fonctions complexes

Messagepar alekhine » Mardi 30 Octobre 2007, 14:49

Bonjour Kojak

décidément j'ai vraiment du mal avec les inégalités. Donc ça ne marche encore pas.
Pourtant je reste persuadé que qu'il y a une limite. Ca m'énerve ce truc...!
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Re: Fonctions complexes

Messagepar kojak » Mardi 30 Octobre 2007, 15:33

J'aurais peut être quelque chose :roll:
Je pars de ce que tu as fait, mais je passe en notation exponentielle en posant $1-z=re^{i\theta}$ donc $F(z)=\exp\left(1-\dfrac{e^{-i\theta}}{r}\right)=e\times \exp\left(-\dfrac{e^{-i\theta}}{r}\right)$.
Ensuite en prenant le module de cette chose : tu aurais alors $e\times\exp\left(-\dfrac{\cos\theta}{r}\right)$.
comme $z$ tend vers $1$, $\theta$ tend vers $0$ donc le $\cos$ vers $1$ et le $r$ tend vers $0^+$ donc ça serait bon pour ta limite quant $|z|<1$, à moins que j'aie écris une ânerie dans un coin :roll:

PS : tu as ça à faire dans quoi :?: un devoir du CNED :?:
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Re: Fonctions complexes

Messagepar euzenius » Mardi 30 Octobre 2007, 15:47

Bonjour,

et oui, il ne faut pas supprimer le signe "-". On ne majore pas l'exponentielle avec la partie réelle pour exposant lequel est donc négatif et tend vers l'infini donc moins l'infini (comme 1/x quand x tend vers 0 à gauche) si bien que cette exponentielle tend vers 0. Que l'on écriive la partie réelle avec cos(t) ou avec x ne change rien à l'affaire... vous n'allez quand même pas passer une plombe là dessus.

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Re: Fonctions complexes

Messagepar kojak » Mardi 30 Octobre 2007, 16:08

@euzenius,
Je suis désolé mais je ne comprends rien à ce que tu veux dire :roll:
Alors pourrais tu expliquer clairement ce que tu fais pour montrer cette fameuse limite, si elle existe, et en utilisant $\LaTeX$, en particulier avec cette exponentielle complexe :wink:
euzenius a écrit:vous n'allez quand même pas passer une plombe là dessus.
:shock: ben si, car elle ne me parait pas si évidente que ça, ou alors, je n'ai pas mes bonnes lunettes :roll:
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Re: Fonctions complexes

Messagepar alekhine » Mardi 30 Octobre 2007, 16:43

Bon ça y est, cette fois je crois que c'est bon.
En fait je reste avec mes $x$ et $y$, et je reprends le $|F(z)|$ déjà trouvé mais effectivement sans virer le $-$. Ca donne donc :

$$|F(z)|=e\times\exp\left(-\dfrac{1-x}{(1-x)^2+y^2}\right)\leqslant e\times\exp\left(-\dfrac{1-x}{(1-x)^2}\right)\underset{x<1}{=}e\times\exp\left(-\dfrac{1}{1-x}\right)\underset{x\rightarrow1^-}{\longrightarrow}0$$



J'aurais pû le faire comme toi Kojak avec la notation exponentielle, mais comme dans le début du devoir j'étais avec les $x$ et $y$ je continue.
C'est effectivement un devoir du CNED, le devoir 3 d'analyse.
En tout cas un grand merci à vous deux pour votre aide précieuse.
C'est en y passant des plombes qu'on progresse :wink:
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