Fonctions à plusieurs variables

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Fonctions à plusieurs variables

Messagepar minidiane » Mardi 25 Mars 2008, 18:50

Bonsoir, voilà j'ai une question:

Je sais que si les dp de f existent et sont continues sur U en a alors f est différentiable en a.
J'aimerai savoir si on montre que si les dp de f existent mais ne sont pas continues sur U en a cela monte t-il que f n'est pas différentiable en a?
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Re: Fonctions à plusieurs variables

Messagepar balf » Mardi 25 Mars 2008, 21:28

Du strict point de vue de la logique, non. Cela n'exclut pas qu'il y ait une démonstration du fait que, si les dérivées partielles existent et ne sont pas continues, la fonction n'est pas différentiable. En tout cas, il existe des exemples de fonctions continues par rapport à chaque variable, qui admet des dérivées partielles en chaque point, mais qui n'est pas continue globalement partout.
La seule hypothèse raisonnable pour pouvoir travailler, disent les spécialistes, est de supposer les dérivées partielles continues.

B.A.
balf
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Re: Fonctions à plusieurs variables

Messagepar OG » Mercredi 26 Mars 2008, 10:36

Bonjour

Si on regarde cette question en dimension 1, la question devient, existe-t-il une fonction dérivable en un point dont la dérivée n'est pas continue ?
La réponse est oui (sinon il y aurait un beau théorème qui le prouve donné par le prof)

$$x^2\sin\big(\frac{1}{x}\big)$$



dont la dérivée n'est pas continue en 0.
À partir de là il est possible faire un exemple de $\R^2$ dans $\R$, à moins que je ne dise des âneries

$$f(x,y)=x^2\sin\big(\frac{1}{x}\big)$$



sera différentiable en 0, admettra des dérivées partielles dont l'une est non continue en 0 ?

Cordialement
O.G.
OG
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