Fonction zéta de riemann

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Fonction zéta de riemann

Messagepar Valvino » Mercredi 16 Mai 2007, 12:30

Voici une démonstration de la conjecture de Riemann:

:D

Non plus sérieusement on dit que les zéros dits triviaux de la fonction zéta sont les $-2p,~p\in \N^*$, or j'obtiens:

$\forall p \in \N^*,~\zeta(-2p)=\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^{-2p}}=\sum_{k=1}^{+\infty}k^{2p}=+\infty$

Soit je suis fatigué et je fais une erreur grossière, soit y'a une subtilité que j'ai pas compris (je suis en début de licence, et comme j'adore les maths j'essaye de m'intéresser à pas mal de trucs qui ne sont pas de mon niveau!) sur ce genre de fonction.

Merci de votre aide!
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Re: Fonction zéta de riemann

Messagepar guiguiche » Mercredi 16 Mai 2007, 12:54

Valvino a écrit:Voici une démonstration de la conjecture de Riemann:

:D

Non plus sérieusement on dit que les zéros dits triviaux de la fonction zéta sont les $-2p,~p\in \N^*$, or j'obtiens:

$\forall p \in \N^*,~\zeta(-2p)=\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^{-2p}}=\sum_{k=1}^{+\infty}k^{2p}=+\infty$

Soit je suis fatigué et je fais une erreur grossière, soit y'a une subtilité que j'ai pas compris (je suis en début de licence, et comme j'adore les maths j'essaye de m'intéresser à pas mal de trucs qui ne sont pas de mon niveau!) sur ce genre de fonction.

Merci de votre aide!

Je me suis lontemps dit la même chose que toi. Mais en fait, cette fonction est définie sur $]1,+\infty[$, elle peut s'écrire autrement et est alors prolongeable analytiquement. Je n'en sais pas plus de tête.
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Messagepar Arnaud » Mercredi 16 Mai 2007, 12:55

La formule que tu utilises n'est pas valable si $s$ est réel négatif.
La fonction $\zeta$ s'écrit sous cette forme seulement pour $Re(s) > 1$.
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Messagepar guiguiche » Mercredi 16 Mai 2007, 13:01

$\zeta(s)=\ds\prod_{p\;\text{premier}}{\dfrac{1}{1-1/p^s}}$
et
$\zeta(s)=\ds\dfrac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=1}^{+\infty}{\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^s}}$
Cette dernière expression est prolongeable à $\R$ et à $\C$.

(source : Merveilleux Nombres Premiers, JP Delahaye, Belin / Pour la Science, 2000, page 217)
Dernière édition par guiguiche le Mercredi 16 Mai 2007, 13:05, édité 2 fois.
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Messagepar Valvino » Mercredi 16 Mai 2007, 13:04

Ha ok merci beaucoup, j'avais pas fait gaffe à cette condition! :oops:
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Messagepar Tryphon » Mercredi 16 Mai 2007, 19:32

guiguiche a écrit:$\zeta(s)=\ds\prod_{p\;\text{premier}}{\dfrac{1}{1-1/p^s}}$
et
$\zeta(s)=\ds\dfrac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=1}^{+\infty}{\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^s}}$
Cette dernière expression est prolongeable à $\R$ et à $\C$.

(source : Merveilleux Nombres Premiers, JP Delahaye, Belin / Pour la Science, 2000, page 217)


Sauf erreur, celle là n'est prolngeable qu'à $\{z\in\C|\Re(z)>0\}$ (privé de $1$ évidemment).

Il faut l'équation fonctionnelle de $\zeta$ pour obtenir le prolongement à $\C\setminus\{1\}$.
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Messagepar guiguiche » Mercredi 16 Mai 2007, 19:51

Oui, je suis allé un peu vite dans le relecture du paragraphe en question : fonction définie sur $\R-\{1\}$ et sur le demi-plan complexe de partie réelle strictement positive privé de 1. Le prolongement à $\C-\{1\}$ se fait encore autrement.
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Messagepar hollowdeadoss » Lundi 28 Mai 2007, 09:22

:D valvino !

En effet tu touches à quelque chose qui n'est pas de ton "niveau" (L1 ça fait un peu juste à mon avis).
Ceci dit puisque tu es interessé, essaye de voir les cours qu'il te manque pour arriver à saisir des subtilités de l'analyse comme on a là.

Beaucoup d'ouvrages sont tres biens ... d'autres ne servent à rien mais j'suis sur qu'ici tu trouveras ton bonheur pour bien te mettre les raisonnements analytiques dans la tete, enfin ne pas ecrire quelque chos epour ecrire quelque chose, juste voir un sens à ce que tu ecris, à ce que tu te demandes, etc ...

D'ailleurs tu m'as redonné envie de me remettre à l'Analyse !

Bon courage Valvino c'est une tres bonne initiative et ça fait plaisir à voir ;)

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Messagepar euzenius » Lundi 28 Mai 2007, 12:57

Bon, un petit rappel tout de même de la conjecture de Riemann, c'est que les zéros non triviaux de la Zêta (et là la fomule donnée par guiguiche suffit), donc de partie réelle positive, sont en fait de partie réelle 1/2, ce qui a déjà fait couler beaucoup d'encre... est-ce que je me trompe ?

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Messagepar Valvino » Lundi 28 Mai 2007, 14:26

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