[Sobolev] Fonction lipschitzienne

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[Sobolev] Fonction lipschitzienne

Messagepar Tonn83 » Mercredi 17 Février 2010, 10:22

Bonjour,

Une fonction C-lipschitzienne d'un ouvert $U$ de $\R^n$ à valeurs dans $\R$ est-elle localement de classe $W^{1,p}$ ? J'aurais tendance à penser que oui, car $du$ est défini presque partout et est bornée. Mais est-ce vrai ? Et une telle affirmation suffit-elle ?
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Re: [Sobolev] Fonction lipschitzienne

Messagepar OG » Mercredi 17 Février 2010, 18:03

Tonn83 a écrit:Bonjour,

Une fonction C-lipschitzienne d'un ouvert $U$ de $\R^n$ à valeurs dans $\R$ est-elle localement de classe $W^{1,p}$ ? J'aurais tendance à penser que oui, car $du$ est défini presque partout et est bornée. Mais est-ce vrai ? Et une telle affirmation suffit-elle ?

Je dis oui aussi (tu as aussi la "chain rules" $f\circ u$ avec $f$ lipschitzienne et $u$ dans $W^{1,p}_0$).
Il faudrait aller voir dans les classiques (Ziemer, Adams, etc, ou Brézis encore), histoire de voir comment on approche
correctement une fonction lipschitzienne.

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Re: [Sobolev] Fonction lipschitzienne

Messagepar Aleph » Mercredi 17 Février 2010, 19:41

Bonsoir,

pour $n=1$, $W^{1,+\infty}(U)$ est formé des fonctions lipschitziennes sur $U$.
Peut-être faudrait-il commencer par là et voir si on peut étendre à tout $n$ d'une part, et à $p<+\infty$ d'autre part.
Je vais jeter un oeil dans mes bouquins pour voir si je trouve quelque chose là-dessus.
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Re: [Sobolev] Fonction lipschitzienne

Messagepar Tonn83 » Jeudi 18 Février 2010, 17:44

Par le theoreme 2,1,6 dans Ziemer, une application f définie sur un ouvert U de $\R^n$ est dans $W^{1,p}$ quand f est dans $L^p$ et
$\|f(.+h)-f(.)\|_{L^p}=O(|h|)$

C'est une jolie maniere de définir les espaces de Sobolev sans avoir a introduire des distributions ou des notions qui s'y apparentent. Donc, en particulier une fonction lipschitzienne est dans $W^{1,p}$

Ce fil est donc résolu. :D Mais une autre question se pose. Si $\alpha=1-n/p$, on sait que les fonctions $W^{1,p}$ sont presque pqrtout egales a une fonction $C^{\alpha}$. Si f est une fonction $\beta$-holdérienne avec $\beta>\alpha$, est-elle $W^{1,p}$ ? :roll:
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