Fonction définie sur un cercle !

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Fonction définie sur un cercle !

Messagepar Pedro » Lundi 26 Mai 2008, 20:59

Bonsoir :
Est ce que vous pouvez me donner un exemple d'application continue definie sur un cercle : $\ \varphi : S^{1} \longrightarrow S^{1} $ ...
Que signifie un groupe modulaire ... ?
Merci d'avance ... !
Pedro
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Re: Fonction definie sur un cercle !

Messagepar Pedro » Lundi 26 Mai 2008, 21:11

Je cherche une fonction definie uniquement sur un cercle et non prolongeable à tout l'espace contenant ce cercle ... !
Merci infiniment !
Pedro
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Re: Fonction definie sur un cercle !

Messagepar MC » Lundi 26 Mai 2008, 21:21

Bonsoir,

Pourquoi tous ces points d'exclamation ?

Sinon, l'exemple que tu demandes est un peu difficile à trouver, vu que toute fonction continue du cercle dans lui-même se prolonge continûment en une fonction du plan dans le plan préservant la distance à l'origine (avec cette dernière indication, tu devrais voir comment fabriquer cette extension).

Pour ta deuxième question (sur le groupe modulaire) : quel rapport avec la première? Dans quel contexte te poses-tu cette question?

Cordialement,

MC
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Re: Fonction definie sur un cercle !

Messagepar Pedro » Lundi 26 Mai 2008, 22:13

Salut :
J'ai l'habitude de mettre les exlamations à la fin de chaque phrase depuis longtemps ... ! 8)
Poor les groopes modulaires, j'a trouvé quelques ecritures comme ça sur certains liens : $\ PSL_{2}(\mathbb{R}) $ ... et, on dit que ce sont des groupes modulaires ... !
Par contre, il y'a certains ensembles quotients qui decrivent le cercle et donc, je me demande que peut être au moyen de ces ensembles quotients, on peut definir des applications definies uniquement sur un cercle ... Mais, le seul inconvenient, c'est que les elements de ses quotients sont, en fait, des classes et pas des points ... sinon, est ce que tu peux me construire un tel quotient avec tous ces critères là que j't'ai decrit depuis le premier message ... ?
Merci infiniment ... !
Pedro
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Re: Fonction définie sur un cercle !

Messagepar balf » Lundi 26 Mai 2008, 22:45

Le groupe modulaire est isomorphe à $\mathrm{PSL}_2(\mathbf Z)$, qui est un sous-groupe discret de $\mathrm{PSL}_2(\mathbf R)$. Il est défini comme l'ensemble des transformations du demi-plan de Poincaré $\mathrm{Im} z >0$ de la forme
$z\mapsto \dfrac{az+b}{cz+d}$$a,b,c,d \in\mathbf Z$ et $ad-bc=1$. Il intervient dans des questions profondes d'arithmétique (théorème de Fermat, par exemple).

B.A.
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Re: Fonction définie sur un cercle !

Messagepar Pedro » Lundi 26 Mai 2008, 23:22

Merci balf !
Maintenant, je comrpends ce qu'est cette notation :
En fait, $\ \mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{R}) $ est le groupe projectif special relative au groupe speciale lineaire : $\ \mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R}) $ ... Maintenant, je comprends ce que celà signifie : Bref, $\ \mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{R}) = \mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R}) / \sim $ avec : $\ \sim $ la relation d'equivalence sur : $\ \mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R}) $ definie par : $\ A \sim B \Longleftrightarrow \quad \exists \lambda \in \mathbb{R}^{*} \quad A.B^{-1} = \lambda . \mathrm{I}_{2} $ ... c'est ça .. n'est pas .. ?
Sinon, balf, je sais encore par ce qu'est la definition d'un groupe modulaire à part le fait d'etre isomorphe au groupe projectif linéaire discret ... Merci pour tout autre detail possible sur ce sujet là ... !
Merci d'avance ... !
Pedro
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Re: Fonction définie sur un cercle !

Messagepar Pedro » Lundi 26 Mai 2008, 23:58

Ah d'accord, tu ecris aussi que c'est l'ensemble des transformations ( Homographies ) : $\ \psi : \mathrm{SL}_{2} \times \{ z \in \mathbb{C} \quad / \quad \Im (z) > 0 \} \longrightarrow \mathbb{D}^{2} $ telles que : $\ \psi ( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} , z ) = \frac{a.z+b}{c.z+d} $ ...
Merci beaucoup ... !
Pedro
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Re: Fonction definie sur un cercle !

Messagepar MC » Mardi 27 Mai 2008, 08:41

Pedro a écrit:Salut :
Par contre, il y'a certains ensembles quotients qui decrivent le cercle et donc, je me demande que peut être au moyen de ces ensembles quotients, on peut definir des applications definies uniquement sur un cercle ... Mais, le seul inconvenient, c'est que les elements de ses quotients sont, en fait, des classes et pas des points ... sinon, est ce que tu peux me construire un tel quotient avec tous ces critères là que j't'ai decrit depuis le premier message ... ?


Désolé Pedro, je ne comprends pas ce que tu cherches à propos du cercle. Et je ne comprends pas non plus le rapport avec le groupe modulaire. Balf t'a déjà dit que c'était $PSL_2(\mathbb{Z})$ (pas $PSL_2(\mathbb{R})$ qui est le groupe des automorphismes du demi-plan de Poincaré, celui des complexes avec partie imaginaire strictement positive). Pour compléter un peu le groupe modulaire intervient pour la classification des courbes elliptiques, qui sont les quotients de $\mathbb{C}$ par un réseau $\mathbb{Z}+ \tau \mathbb{Z}$ avec $\tau$ dans le demi-plan de Poincaré (on identifie les complexes $z$ et $z'$ s'il existe des entiers $a$ et $b$ tels que $z-z'=a+\tau \,b$ - topologiquement, on trouve un tore après identification). Deux éléments $\tau$ et $\tau'$ du demi-plan de Poincaré donnent des courbes elliptiques isomorphes si et seulement s'il existe $\gamma \in PSL_2(\mathbb{Z})$ tel que $\tau'=\gamma(\tau)$.
Le passage au quotient du demi-plan de Poincaré par l'action de $PSL_2(\mathbb{Z})$ permet d'obtenir ce qu'on appelle classiquement le module d'une courbe elliptique : c'est un nombre complexe qui classifie les courbes elliptiques à isomorphisme près. D'où le nom de groupe modulaire pour $PSL_2(\mathbb{Z})$.

Cordialement,

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Re: Fonction définie sur un cercle !

Messagepar Pedro » Mercredi 28 Mai 2008, 14:20

Merci "MC" !
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