Expression d'une fonction

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Expression d'une fonction

Messagepar masiuxus » Samedi 10 Mai 2008, 18:49

Bonjour.

Pour un problème personnel, je cherche une expression possible d'une courbe dont j'ai tracé une courbe (jointe), sachant que l'intervalle n'est pas [0;10] mais [0;20], que f(0)=0 et f(20)=20. Je cherche depuis quelques temps déjà mais en vain ... Quelqu'un aurait une suggestion ?

esquisse.jpg


EDIT : condition supplémentaire : $f(m)=10$$m \in ]0;10[$.
Dernière édition par masiuxus le Dimanche 11 Mai 2008, 15:57, édité 1 fois.
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Re: expression d'une fonction

Messagepar mosmath » Samedi 10 Mai 2008, 19:28

Bonsoir,
Est-ce qu'on doit comprendre qu'il faut chercher l'expression d'une fonction f dont on a aucune information à part son graphe, f(0)=0 et f(20)=20 ? :roll:
Ou bien vous avez l'expression de cette fonction sur l'intervalle [0,10] ( puisque vous l'avez tracez comme vous dites ) et vous voulez
l'agrandir ( tracer une courbe qui RESSEMBLE à celle ci mais sur [0,20]) :?:
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Re: expression d'une fonction

Messagepar masiuxus » Samedi 10 Mai 2008, 19:36

En fait, j'ai tracé "à la main" le graphe (je voulais cette allure) et je me demande s'il existe une fonction dont le graphe est similaire à celui que je veux ... Je cherche donc l'expression de la fonction :D
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Re: expression d'une fonction

Messagepar mosmath » Samedi 10 Mai 2008, 20:15

Essayer la méthode d'interpolation; tu as quelque valeurs exactes de cette fonction (et même dérivé en 0 = 1 et en 20 =0 je pense )
donc c'est possible de l'approcher par un polynôme.
ça dépend de la qualité de l'approximation voulue tu utilise la méthode d'interpolation la mieux adaptée (Lagrange, Hermite, splines
...)! :wink:
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar masiuxus » Dimanche 11 Mai 2008, 15:54

Les interpolations polynomiales ne me conviennent pas. En effet, celle de Lagrange est trop grossière, celle d'Hermite nécessite le même nombre de conditions sur $f$ et $f'$ (ce qui n'est pas le cas dans ma recherche car j'ai besoin que $f(m)=10$$m \in ]0;10[$ sans avoir de condition sur $f'(10)$. Quant aux splines, cela me semble assez fastidieux pour ce que je veux ... et je dois bien avouer que je n'ai pas pratiqué cette interpolation lors de mon cursus universitaire. Qui plus est, je ne souhaite pas un nécessairement un polynôme mais une fonction quelconque.
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar mosmath » Dimanche 11 Mai 2008, 17:31

masiuxus a écrit:
EDIT : condition supplémentaire : $f(m)=10$$m \in ]0;10[$.


Cette condition est toujours vérifiée ,puisque la fonction f est continue (d'après son graphe ) , f(0)=0 et f(20)=20 donc ce m existe toujours.
Essayer de la "fabriquer"! tranche par tranche ...(oui c'est pas une méthode rigoureuse mais bon .... :cry: ).

ahh il me viens à l'esprit par exemple: dans [14,20] là elle ressemble à un bout de cercle, dans [0,15] à un noyau de la loi normale ...(avec quelques changements).
Puis par une rotation de $\pi$/4 ça peut ressembler à cette courbe (la votre).
:oops: ceci c'est pas trop mathématique , à éviter au maxi :oops:
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar bibi6 » Dimanche 11 Mai 2008, 19:11

Bonsoir,

Personnellement, je verrais $f(x) = x + g(x)$ avec $g$ une fonction ayant au minimum pour racines 0 et 20 (et tiens, j'ai envie de rajouter 10).

Je ne sais pas à quoi ressemble le graphe entre 10 et 20 (à moins que ça soit le graphe complet, et qu'il faille changer les unités?)... Quoi qu'il en soit, j'opterais pour $g$ une fonction type $h(x) \sin kx $ avec $k$ bien ajusté et $h(x)$ tendant vers 0 quand $x$ tend vers 0. ($h(x) = x$ ne suffirait-il pas? Ou peut-être à facteur près.)
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar masiuxus » Dimanche 11 Mai 2008, 20:37

mosmath a écrit:Cette condition est toujours vérifiée ,puisque la fonction f est continue (d'après son graphe ) , f(0)=0 et f(20)=20 donc ce m existe toujours.
Essayer de la "fabriquer"! tranche par tranche ...(oui c'est pas une méthode rigoureuse mais bon .... :cry: ).


Je ne cherche pas à montrer l'existence de $m$ ... $m$ étant un réel donné, il faut que $f(m)=10$, donc ce n'est pas toujours le cas.

Ensuite, j'ai bien pensé à faire une rotation de $\frac{\pi}{4}$ d'une courbe $g$ telle que $g(0)=g(20)=0$, c'est juste que je ne voyais pas quel pourrait être le type d'expression de $g(x)$, je vais essayé avec $h(x)\sin kx$.
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar masiuxus » Lundi 12 Mai 2008, 18:26

Bon, j'ai déjà trouvé $f(x)=\frac{\sqrt{20}}{\sin \frac{20}{11}} \sin \frac{x}{11}$ ... Il ne me reste plus qu'à étudier la condition $f(m)=10$.
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar Framboise » Mardi 13 Mai 2008, 11:52

Bonjour,

J'envisagerais les splines pour cela.

Tu graphe la courbe de 0 à 10 , mais qu'en est-il de 10 à 20 ? Est-elle connue ? Ou bien faut-il en trouver la meilleure (!) extrapolation ?
Tu as les points (0,0), (10,10) et (20,20) passages obligés.

Il reste également les méthodes classiques Tchebycheff et autres.
Lagrange a fâcheusement tendance à osciller énormément entre les valeurs imposées.

Ou alors faut-il envisager la cuisine au pifomètre ? Du style y = sin( log(x) ) + x

Sur le morceau présenté, il semble évident de considérer la première étape transformant f(x) = g(x) + x et de se ramener à la recherche de g(x).
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
Framboise
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar masiuxus » Mardi 13 Mai 2008, 16:05

Framboise a écrit:Bonjour,

J'envisagerais les splines pour cela.

Tu graphe la courbe de 0 à 10 , mais qu'en est-il de 10 à 20 ? Est-elle connue ? Ou bien faut-il en trouver la meilleure (!) extrapolation ?
Tu as les points (0,0), (10,10) et (20,20) passages obligés.

Il reste également les méthodes classiques Tchebycheff et autres.
Lagrange a fâcheusement tendance à osciller énormément entre les valeurs imposées.

Ou alors faut-il envisager la cuisine au pifomètre ? Du style y = sin( log(x) ) + x

Sur le morceau présenté, il semble évident de considérer la première étape transformant f(x) = g(x) + x et de se ramener à la recherche de g(x).


Comme expliqué précédemment, l'échelle du graphe n'est pas la bonne ... C'est bien sur [0;20] que la courbe doit faire cela.. De plus, c'est pas f(10)=10 mais f(m)=10. Il faudrait lire les messages précédents ... Merci :D
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar Framboise » Mardi 13 Mai 2008, 19:01

Je n'y comprends plus rien :? :?
À la valeur 10 du graphique, cela correspond à 20 en réel ? Cela pour les abscisses et les ordonnées ?

$f(m)=10$$m \in ]0;10[.$ => cela implique une horizontale pour le graphe ???
Cela ne ressemble plus du tout au croquis.
Le croquis est bien censé représenter grossièrement la courbe ?
Et que fait la courbe aux limites en x= 0 et 10 ?
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar Tetanos » Mardi 13 Mai 2008, 23:55

La même, je pensais à une droite horizontale, mais la, j'comprend plus grand chose ...
Ce serait possible d'avoir un autre schéma grossier de la courbe histoire de ... ?

Au départ j'étais parti sur cette même courbe, en doublant simplement les ordonnées et les abscisses mais il semblerait que ce n'est pas ça ?

masiuxus a écrit:Bon, j'ai déjà trouvé $f(x)=\frac{\sqrt{20}}{\sin \frac{20}{11}} \sin \frac{x}{11}$ ... Il ne me reste plus qu'à étudier la condition $f(m)=10$.


J'avoue avoir encore moins compris une fois avoir tracé celle ci ...

Sauf erreur de syntaxte, sur [0;20] :
Image

Je trouve le résultat assez différent.

A moins que ce ne soit que pour la courbure avec une rotation comme semblait l'indiquer mosmath ?


Sinon avec des splines, y'a pas mal de points relativement distinct sur ton schéma pour en tirer quelque chose non ?
M'fin, tiens nous au courant \o_

Cordialement,
Tetanos.
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar Framboise » Mercredi 14 Mai 2008, 08:39

Un problème bien compris est un problème à moitié résolu... :wink:
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar masiuxus » Mercredi 14 Mai 2008, 13:57

Il me semblait avoir été assez clair mais bon ... je reprends :

L'allure de la courbe est celle que j'ai donné, mais les points sont bien entendu inconnus ... seules les conditions f(0)=0 et f(20)=20, et pour un seul m, f(m)=10.
Je me suis trompé dans le coefficient de mon expression , mais la courbure est bonne. Il suffit effectivement de changer le coefficient devant le sinus pour avoir ce que je veux sauf que je cherche le coefficient tel que f(m)=10 (coefficient dépendant de m donc).
Pour ce qui est des splines, c'est impossible car on ne connait pas d'autres points que les 3 donnés par les conditions. Il me semble que c'était clair quand même ... j'avais bien précisé que mon graphique était sur [0;20] et non sur [0;10] donc ce que j'ai donné est une réduction à l'échelle 1/2.

En clair, ça donne quoi ?

On cherche $f(x)=k_m\sin(ax)$ telle que $f(0)=0$ (ça, c'est immédiat si k_m ne pose pas de problème), $f(m)=10$ donc $k_m=\frac{10}{\sin 10a}$ et $f(20)=20$ soit $a=\frac{1}{20}arcsin(2\sin 10a))$ si mes calculs sont exacts. Il me faut donc trouver $a$ pour que cette dernière égalité soit vraie ..., ce qui revient à trouver $a$ tel que $\sin 2A=2\sin A$ avec $A=10a$, ce qui est impossible dans notre contexte. Donc l'expression n'est pas de la forme $f(x)=k_m\sin ax$.

EDIT : on peut donc supposer que $f(x)=x+k_m\sin ax$. Ainsi, $f(0)=0$ ne pose pas de problème, $f(20)=20$ donne $a=\frac{k\pi}{10}$, où $k \in \mathbb{Z}$, et $f(m)=10$ donne $k_m=\frac{10-m}{\sin \frac{k\pi}{10}m}$, en prenant soin que $k_m$ existe bien entendu.

Le problème, c'est que l'on n'obtient pas une fonction strictement croissante ...
Dernière édition par masiuxus le Mercredi 14 Mai 2008, 14:19, édité 1 fois.
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar kojak » Mercredi 14 Mai 2008, 14:19

masiuxus a écrit:Il me semblait avoir été assez clair mais bon ...
la notion de clarté est très subjective :wink:

D'ailleurs, pourquoi ta fonction serait strictement croissante sur $[0,20]$ :?:

masiuxus a écrit:L'allure de la courbe est celle que j'ai donné, mais les points sont bien entendu inconnus
D'où ma question précédente..
masiuxus a écrit: ... seules les conditions f(0)=0 et f(20)=20, et pour un seul m, f(m)=10.
Why not :wink:

masiuxus a écrit: Il me semble que c'était clair quand même ... j'avais bien précisé que mon graphique était sur [0;20] et non sur [0;10] donc ce que j'ai donné est une réduction à l'échelle 1/2.
Il serait alors préférable de changer la figure jointe dans ton premier post afin d'éviter les confusions :wink:
pas d'aide par MP
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar masiuxus » Mercredi 14 Mai 2008, 14:23

Je modifie le schéma voir expliquer un peu mieux.

Le fait qu'elle soit croissante est primordiale pour ce que je veux faire :D
Fichiers joints
allure.png
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar mosmath » Mercredi 14 Mai 2008, 19:54

Bonsoir,

Voici le tracer d'une fonction qui a le meme allure que ce que tu veux (je pense) dans $\approx $[0,16] Puis tu la termine avec une autre fonction (une droite, un bout de cercle,un bout de parabole ...):

(excusez moi je sais meme pas comment joidre un fichier,image ... :oops: )

en tout cas voici l'expression: $f(x)=5*exp((-(x-12).^2)./40)+x$
est ce que ca te va? (tu change les constantes ...)
ah oui $f(0) \approx 0$ mais pas exact (c est facile de la ramener à 0...).
est ce que cette allure que tu veux ?(au moins sur [0,16])

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Re: Expression d'une fonction

Messagepar Tetanos » Mercredi 14 Mai 2008, 20:50

mosmath a écrit:en tout cas voici l'expression: $f(x)=5*exp((-(x-12).^2)./40)+x$


Image
:P



--------------
Pour mosmath :
mosmath a écrit:(excusez moi je sais meme pas comment joidre un fichier,image ... :oops: )

Tu peux simplement la sauvegarder sur ton disque dur et passer par des sites du genre : http://imageshack.us/ (Il y en a d'autres, évidemment).
Ou bien l'héberger sur ton FTP.
Ou encore plus simple : a-propos-de-mathematex-f11/le-groupe-options-upload-t67.html




Cordialement,
Tetanos.
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Re: Expression d'une fonction

Messagepar mosmath » Mercredi 14 Mai 2008, 21:25

Merci Tetanos :D

Image

l'expression de cette fonction pour la ramener a f(0)=0:

$f(x)=x+5*exp((-(x-12).^2)./40)-5*exp(-12^2/40)$

est ce que ca ressemble à ce que vous voulez?
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