Exponentielle d'une matrice

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Exponentielle d'une matrice

Messagepar mathématicien » Samedi 13 Février 2010, 12:03

Bonjour,
J'ai trouvé sur wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentie ... ne_matrice
un problème sur ce point :

Image

Je ne comprend pas ce point :
Pour quoi $e^{\lambda I+N}= e^{\lambda I}.e^N= e^\lambda(I+N)$ ?
Tel que I est la matrice identité et N est la matrice nilpotente
Merci beaucoup
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Re: exponentielle d'une matrice

Messagepar Tonn83 » Samedi 13 Février 2010, 12:25

Pour tous réels x et y, on a : $e^{x+y}=e^xe^y$. Es-tu d'accord sur ce point ? Si oui, comment le démontres-tu ? Dans la démonstration, tu devras utiliser une propriété fondamentale sur la multiplication de deux nombres réels, laquelle ? :D Une fois que tu auras répondu à ces questions, tu comprendras mieux, je pense, pouquoi $e^{aI+N}=e^ae^N$.

Par ailleurs, comment définis-tu l'exponentielle d'une matrice ? Si N est nilpotente, que peux-tu dire sur $N^k$ pour k suffisamment grand ?
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Re: Exponentielle d'une matrice

Messagepar mathématicien » Samedi 13 Février 2010, 12:43

:evil: C'est ce point la $e^{\lambda I+N} = (e^\lambda ) (I+N)$
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Re: Exponentielle d'une matrice

Messagepar Tonn83 » Samedi 13 Février 2010, 13:45

Essaie de répondre aux questions que je te pose, et tu comprendras sans problème ce point qui te semble mystérieux. :wink:
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Re: Exponentielle d'une matrice

Messagepar Aleph » Samedi 13 Février 2010, 13:50

Bonjour,

il faut étudier les propriétés de ta matrice $N$, comme te le suggère $\textcolor{blue}{\text{Tonn83}}$.
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Re: Exponentielle d'une matrice

Messagepar Aleph » Samedi 13 Février 2010, 14:05

Il me semble qu'il faut également décomposer l'exponentielle en une série convergente (formule classique).
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Re: Exponentielle d'une matrice

Messagepar mathématicien » Samedi 13 Février 2010, 14:15

Ok, merci beaucoup pour les réponses :D
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