Espace euclidien

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Espace euclidien

Messagepar myboo45 » Samedi 06 Mai 2006, 11:33

Bonjour a tous,
soit e un espace euclidien orienté de dimension 3 rapporté à une base orthonormale directe B. Pour tout a réel on considère l'endomorphisme f dont la matrice b est :
A=1/3 ( a 2 -2
2a 1 2
-2a 2 1 )
Démontrer qu'il existe deux valeurs de a pour laquelle f est un endomorphisme orthogonal.
Pour chacune de ces deux vameurs, déterminer la nature géométrique de f.


Je trouve 1 et -1
pour le a=1 j'ai trouvé une symétrie orthogonale par rapport à un plan d'équation -x+y-z=0. Mais je n'arrive pas à trouver pour a= -1.

On obtient la matrice :
B= 1/3 ( -1 2 -2
-2 1 2
2 2 1)

B appartient aux orthogonaux mais n'est pas symétrique. donc après je ne sais pas comment faire; merci de votre aide
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Messagepar kilébo » Samedi 06 Mai 2006, 12:59

J'ai pas vérifier tes calculs mais le principe est de chercher les sous-espaces propres. Ici les v.p. seront de module 1.
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Messagepar kilébo » Samedi 06 Mai 2006, 15:59

Pour a = 1, on trouve effectivement une symétrie orthogonale.

Pour a = -1, on trouve une rotation (les v.p. complexes sont de la forme 1, $e^{i\theta{}}$, $e^{-i\theta{}}$) car si mes calculs sont justes le polynôme caractéristique est $(1-X)(X^{2}-\frac{2}{3}X+1)$
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Messagepar myboo45 » Samedi 06 Mai 2006, 16:29

D'après mon cours je n'ai pas fait comme ca.
tout d'abord j'ai vérifié que c'était une base orthonormale. J'ai trouvé un vecteur u=(0,1,1) et je trouve cos t=-1/3 après il faut que je trouve t et je trouve le signe du sinus pour trouver le signe de l'angle t. et donc c'est le fait de trouver le signe du sinus que je n'arrive pas
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