Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

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Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

Messagepar M@rion » Samedi 07 Mars 2009, 14:45

Tout est dans le titre, est-ce que quelqu'un peut m'expliquer l'algorithme s'il vous plaît ? Je ne comprends pas quand il faut souligner à droite, et quand il ne faut pas souligner. Par exemple sur 100 x 1000 que dois-je faire ?
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Re: Entiers - opérations - multiplication "à la russe"

Messagepar rebouxo » Samedi 07 Mars 2009, 16:56

en troïka, babooshka(1)

Je ne vais pas prendre ton exemple, trop de nombres pairs ! Il faut récupérer les restes des divisions par $2$ du diviseurs. Quand le reste vaut $1$, on souligne.

$87 \times 51 = 87 \times 50 + 87 = 174 \times 25 + 87$. Ici, je souligne $87$ car $51  = 25 \times 2 + 1$,
Donc $87 \times 51 = 87 \times 25 \times 2 + 87 = 87 \times 50 + 87$.

Ici, on aurait écrit : $ \underline{87} \times 51 = 174 \times 25$ (je garde $87$ en mémoire, donc).

Aller, hop, je suis de bonne humeur, je continue :

$\underline{87}  \times 51 \rightarrow \underline{174} \times 25 \rightarrow  \underline{348} \times 12 \rightarrow 696 \times 6 \rightarrow \underline{1392} \times  4  \rightarrow 2784 \times 2 \rightarrow \underline{4568} \times 1$.

Il reste à ajouter nos "restes" : $87 +174 +1392 +2784$.

Et voilà, où comment savoir faire une multiplication uniquement en sachant multiplier et diviser par $2$.

En fait, les Égyptiens utilisaient aussi cette méthode, comme quoi, les bonnes idées... Ça marche super bien avec un boulier, or les russes ont longtemps utiliser des bouliers. Ça marche super bien en base $2$, et c'est normal car en fait on vient de décomposer $51$ en base $2$... Ce fut (c'est ?) utilisé par les ordinateurs pour faire les multiplications.

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Re: Entiers - opérations - multiplication "à la russe"

Messagepar M@rion » Dimanche 08 Mars 2009, 10:17

rebouxo a écrit:
Et voilà, où comment savoir faire une multiplication uniquement en sachant multiplier et diviser par $2$.



Merci pour vos efforts, mais je crois que je ne sais pas diviser par 2... :roll:

Comment passez-vous de 6 à 4 dans la colonne de gauche ?

Pour le reste, je vais essayer avec un exemple pris au hasard :

pour le produit 79 x 35, j'ai dans la colonne de gauche :

79
39 (+1)
19 (+1)
9 (+1)
4(+1)
2
1

à droite, j'ai :
35
70
140
280
560
1120
2240

70 + 140 + 280 + 560 +2240 = 3290 ! or 79 x 35 = 2765
visiblement il fallait souligner 35 et j'ai souligné des nombres en trop (je ne comprends pas pourquoi)

si je décale tout d'une ligne, sauf 2240, j'ai le bon résultat, je dois en déduire que quand le reste est 1, je souligne non pas le nombre de la même ligne, mais celui de la ligne du dessus à droite ? (c'est laborieux tout ça :lol: )
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Re: Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

Messagepar rebouxo » Dimanche 08 Mars 2009, 10:49

Tu as pris des nombres en trop !

Let's go ! (j'allais dire let's go rock'n roll, mais cela serait plutôt back in USSR :D ).

Au passage, je pense qu'il vaudrait mieux faire l'inverse, mais bon, c'est pas catastrophique.

$\underline{35}\qquad79 $ Je garde $35$ car $79 = 2 \times 39 + 1$
$\underline{70}\qquad 39$ je garde $70$ car $39 = 2 \times 19 +1 $
$\underline{140}\qquad 19$ je garde $140$ car $19 = 2 \times 9 +1$
$\underline{280}\qquad 9$ je garde $280$ car $9 = 2 \times 4 + 1$
$560 \qquad 4$
$1120 \qquad 2$
$\underline{2240} \qquad 1$

$35 \times 79 = 35 + 70 + 140 + 280 + 2240 = 2765$. Cool, c'est le bon résultat. Tu as rajouté $560$ en trop ($4$ est paire pas besoin de souligner $560$.

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Re: Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

Messagepar M@rion » Dimanche 08 Mars 2009, 16:04

ça y est j'ai compris ! je peux même expliquer l'algorithme avec les principes de la distributivité et de l'associativité de la multiplication (enfin je crois :lol:)

merci beaucoup
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Re: Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

Messagepar M@rion » Mercredi 15 Avril 2009, 15:59

Je voulais savoir, pour la division selon la technique dite de l'Ancienne Egypte, est-ce que le principe est exactement le même (c'est-à-dire on sélectionne les nombres des deux colonnes quand il y a un reste) ?
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Re: Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

Messagepar rebouxo » Mercredi 15 Avril 2009, 19:00

M@rion a écrit:Je voulais savoir, pour la division selon la technique dite de l'Ancienne Egypte, est-ce que le principe est exactement le même (c'est-à-dire on sélectionne les nombres des deux colonnes quand il y a un reste) ?


Oui, il me semble. Elle est pas mal cette technique, pour le même prix on a deux opérations.

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Re: Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

Messagepar M@rion » Jeudi 16 Avril 2009, 12:49

pourtant, l'algorithme n'est pas le même j'ai l'impression, prenons par exemple 6785 divisé par 43 : à aucun moment je ne vois de reste, donc je ne sais pas comment on sélectionne les termes que l'on doit additionner
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Re: Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

Messagepar rebouxo » Jeudi 16 Avril 2009, 16:01

Dans mes recherches sur la division à la russe (je ne sais plus comment on fait) j'ai trouvé c'est deux liens :
http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/index.php/Calcul

http://webinet.blogspot.com/2008_06_01_archive.html

Le premier est vraiment super ! Je répondrais à ta question plus tard.

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Re: Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

Messagepar M@rion » Vendredi 17 Avril 2009, 10:17

Merci pour les liens, il y a plein de choses intéressantes.

J'ai enfin compris la division égyptienne, notamment grâce à ce lien :
http://www2.ac-toulouse.fr/lyc-arenes-toulouse/site/s'exprimer/TPE/03_egypte/Partie1.html.

Prenons le même exemple : 208/16

Après avoir établi les deux colonnes,

1 > 16
2 > 32
4 > 64
8 > 128 (on s'arrête là car 256>208)

on sélectionne à droite les produits dont la somme permet de recomposer le dividende, autrement dit 16-64-128.
Le quotient est la somme des nombres correspondants dans la colonne de gauche, soit 1+4+8 = 13.

Cela donne :
208 = 128 + 64 + 16
208 = (8x16) + (4x16) + (1x16)
208 = (8 + 4 + 1) x 16
208 = 13 x 16

(dans cet exemple il n'y a pas de reste, mais s'il y en avait un, cela fonctionnerait comme pour la division euclidienne classique)

Donc ici la propriété mathématique qui justifie l'algorithme est la distribubitivé de la multiplication par rapport à l'addition.

C'est bien ça ?
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Re: Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

Messagepar rebouxo » Vendredi 17 Avril 2009, 11:12

Yes. En fait c'est une propriété très importante et qui sert très souvent. On peut quasiment dire que toutes les méthodes de multiplications et de divisions reposent sur cette propriété : sauf, celles qui utilisent les additions réitérées et peut-être d'autres auxquelles je ne pense pas.
Ici, cette technique est indépendantes du systèmes de numération (on peut la faire fonctionner avec des systèmes qui ne sont pas de position) d'autres techniques reposent aussi sur la représentation des nombres (les techniques classiques, par jalousie, ou sur le boulier) ne peuvent pas se faire sans une représentation sous-jacente des nombres dans un système de numération de position.

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Re: Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

Messagepar M@rion » Vendredi 17 Avril 2009, 12:52

rebouxo a écrit:d'autres techniques reposent aussi sur la représentation des nombres (les techniques classiques, par jalousie, ou sur le boulier)
Olivier


Qu'entendez-vous par "représentation" plus précisément ?
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Re: Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

Messagepar rebouxo » Vendredi 17 Avril 2009, 16:30

La façon dont on écrit les nombres. Le système de numération quoi. Il y en a deux principaux : les systèmes par addition (romain, egyptien,...) et les systèmes de numération par position (le systèmes indo-arabes que l'on utilise tous les jours).

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Re: Entiers, opérations et multiplication "à la russe"

Messagepar M@rion » Vendredi 17 Avril 2009, 18:30

Merci :)
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