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Messagepar YETIMOU » Mercredi 31 Octobre 2007, 11:19

Un ensemble est une collection d'objets.

C'est quoi les propriétés d'un objet abstrait en math ?
donnez moi des exemples.

merci
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Re: ENSEMBLE

Messagepar Jean-charles » Mercredi 31 Octobre 2007, 11:30

Bonjour,
Un objet cela peut-être un peu tout et n'importe quoi.
Par exemple: des nombres réels, des suites, des fonctions, des matrices...
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Re: Ensembles

Messagepar MB » Mercredi 31 Octobre 2007, 11:52

Bonjour, j'ai déplacé ton sujet dans la bonne section.

Je ne comprends pas exactement ta question concernant les propriétés des objets mathématiques mais bon.
Un objet mathématique correspond globalement à tout ce que tu peux définir mathématiquement. Donc un objet peut être : une droite, une fonction, etc ...
Un ensemble est lui même un objet mathématique du coup. Tu peux parler d'un ensemble d'ensembles.
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Re: Ensembles

Messagepar YETIMOU » Mercredi 31 Octobre 2007, 14:14

merci beaucoup pour ton mail.

C'est un super site.

Tu expliques mieux que les profs.

La démarche d'un matheux est en fait , si je résume:

1) On a des objets mathématiques ( qui font partie d'un ensemble) que le matheux définit: c'est la définition dans un cours de math. C'est ce que tu me dis pour ces objets: droite, nombre, etc...!

En fait, On donne un mot nouveau donné à des objets déja connus pour en établir d'autres.
Dans une définition, il n' y a que les propriétés essentielles de l'objet. C'est ça ?

2) Puis, le matheux cherche des propriétés (qualités des objets) sur les objets définis et des relations entre eux. C'est ça ?
Le matheux démontre de nouvelles propriétés : on montre qu'elles sont vraies par un raisonnement hypothético-déductif, à l'aide de propositions déjà supposées vraies...
(Je sais qu'une propriété d'un objet a une valeur de vérité (Vrai ou faux)).


4) En math, on cherche aussi à construire des points, à trouver les solutions d'une équation, à déterminer un ensemble, un lieu géométrique de points....
J'ai vu qu'il fallait souvent faire un raisonnement particulier si je cherche à répondre à :

Quel est l'ensemble de points M tels que ''propriété dépendant de M" ?
Quel est le lieu des points I lorsque M décrit une droite (par exemple) ?

Pour ce type d'exercice : on me demande un raisonnement de type double inclusion. Ai je bon si j'écris:
Si on prend un point M quelconque qui a "la propriété dépendant de M" , alors M appartient à l'ensemble cherché.
Puis on doit faire la réciproque:

Si on prend un point M quelconque appartenant l'ensemble cherché, alors il faut être sûr qu'il a la propriété de départ.

Pourquoi dans certains exercices,il faut faire ici une réciproque et d'autres par exemple le raisonnement par équivalence suffit. J'ai observé que si on résout un exercice sur les lieux géométriques avec une transformation (homothétie, translation, rotation), le raisonnement par équivalence suffit. C'est parce que ces tranformations sont bijectives?

Bref, il faut souvent donner les solutions sous forme d'ensembles, je me trompe?

merci de me répondre et dis moi si je raisonne bien.
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Re: Ensembles

Messagepar Jean-charles » Mercredi 31 Octobre 2007, 14:44

Et bien dis moi, tu t'en poses des questions...
Je ne vais pas répondre à tout mais juste 2 choses:
1) Je suis prof de maths aussi et du coup je trouve ta remarque sur les explications des profs un peu déplacée.
Il faut savoir se remettre un peu en question parfois, sans doute du côté prof et aussi du côté élève... :wink:

2) Pour essayer de faire simple et de ne pas dire de bêtises:
On fait effectivement une "réciproque" quand on n'a pas raisonné par équivalence.

Par exemple si on te demande de résoudre l'inéquation $\sqrt{2x^2-5x+3} < 2x+5$
Si tu ne raisonnes pas par équivalence, tu vas trouver que l'ensemble des solutions $S$ est inclus dans mettons $\{ x_1 ;x_2 ;...;x_n \}$
C'est à dire: tu auras prouvé qu'au maximum il y aura $n$ solutions.
Ensuite il faudra faire la réciproque: vérifier si les $n$ valeurs sont bien des solutions: peut-être qu'il faudra en enlever du fait de la racine carrée.

Par contre on peut résoudre cette inéquation par équivalence et là on aura directement les solutions sans avoir besoin de réciproque...
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Re: Ensembles

Messagepar YETIMOU » Mercredi 31 Octobre 2007, 15:45

C'est cool tu as répondu à mon message. merci.

En fait, il faut déterminer, si on résout par la réciproque, un ensemble où il y a un nombre "maximal" d'objets possibles puis éliminer au retour ceux qui ne vérifient pas la propriété imposée.

C'est très clair, merci.

Autre question.

Finalement cet aller-retour, on l'utilise tout le temps:

Si je veux démontrer que :

Soit un losange ABCD de centre O.
Montrer que : "Il existe un unique cercle inscrit dans le losange".

je suppose son existence et je le définis mieux.
Enfin , par réciproque, le cercle ainsi définit doit vérifier " il est inscrit dans le losange donné".

Je crois avoir compris la chose.. :lol:

Dis moi si c'est bon et tu expliques très bien !!!!
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Re: Ensembles

Messagepar Jean-charles » Mercredi 31 Octobre 2007, 16:51

YETIMOU a écrit:Si je veux démontrer que :

Soit un losange ABCD de centre O.
Montrer que : "Il existe un unique cercle inscrit dans le losange".

je suppose son existence et je le définis mieux.
Enfin , par réciproque, le cercle ainsi définit doit vérifier " il est inscrit dans le losange donné".


Oui si je me rappelle bien dans les problèmes d'existence, dans le raisonnement que tu as décrit:
La première partie s'appelle l'analyse et la deuxième partie la synthèse.
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Re: Ensembles

Messagepar MB » Mercredi 31 Octobre 2007, 18:47

YETIMOU a écrit:merci beaucoup pour ton mail.

C'est un super site.

Tu expliques mieux que les profs.


De quel mail tu parles là ?
Je ne comprends pas à qui tu parles là mais bon.

YETIMOU a écrit:En fait, On donne un mot nouveau donné à des objets déja connus pour en établir d'autres.


Pas compris. :|

YETIMOU a écrit:Dans une définition, il n' y a que les propriétés essentielles de l'objet. C'est ça ?


Bah un définition c'est une définition. Ca permet simplement de définir l'objet, de savoir à quoi il correspond. Si on veut parler d'un "nombre rationnel" par exemple, il faut être capable de le définir de manière précise. Il n'est pour l'instant pas question de ses éventuelles propriétés (qu'il faut en général démontrer).
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Re: Ensembles

Messagepar YETIMOU » Jeudi 01 Novembre 2007, 11:00

Merci pour ton message.

Un objet peut-il avoir plusieurs définitions ?

Exemple:

Un plan en géométrie (dans l'espace). Je dirai qu'il peut avoir plusieurs définitions. Est ce vrai?

Un plan est défini par trois points non alignés
ou
Un plan est défini par deux droites sécantes.
ou
Un plan est défini par deux droites strictement parallèles.
ou
Un plan est défini par un point et une droite ne passant pas par ce point et contenue dans ce plan
ou
Un plan est défini par un point et un vecteur normal.

Autrement dit, quand je parle de plan, il faut penser à tout ça ! :roll:

Et encore je n'ai pas encore traiter ses propriétés !!!!

Réponds-moi.
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Re: Ensembles

Messagepar MB » Jeudi 01 Novembre 2007, 11:41

Ce ne sont pas réellement des définitions.
C'est pas parce que tu dis qu'une droite est définie par deux points (ce qui veut dire en fait que par deux points il ne passe qu'une seule droite) que tu as donné une définition à l'objet "droite".
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Messagepar François D. » Jeudi 01 Novembre 2007, 16:15

Effectivement, le mot « défini » est, paradoxalement, un de ceux qui en mathématiques ont gardé une part d'ambiguïté ; un comble, quand on y songe.

Quand on dit que trois points de l'espace définissent un plan, cela signifie bien qu'avec ces trois points, on n'a « plus le choix » : il n'y a qu'un seul plan, identifié par conséquent de manière unique, qui passe par ces trois points.
C'est évidemment autre chose que de définir la notion de plan en général.

Autre cas de figure : dire qu'une fonction est bien définie pour $x \in \mathcal{D}$ signifie pour schématiser que le calcul de $f(x)$ pour $x \in \mathcal{D}$ est licite.
Là aussi, cela n'est pas la même chose que de définir la notion de fonction en elle-même.
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Re: Ensembles

Messagepar YETIMOU » Jeudi 01 Novembre 2007, 19:16

OK j'ai compris.

mais alors quelle est la définition réelle d'un plan en math ?
Je dirai une surface de points illimitée (dans deux directions) ....

Pour une droite: un ensemble de points infini formant une ligne droite.

Je m'aperçois qu'en fait, en cours de math on utilise des objets qui ont été assez mal définis auparavant. :roll:

Merci de me répondre.
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Messagepar Arnaud » Jeudi 01 Novembre 2007, 19:23

YETIMOU a écrit:mais alors quelle est la définition réelle d'un plan en math ?
Je dirai une surface de points illimitée (dans deux directions) ....


Non, avec cette définition un cylindre infini est aussi un plan.
Un plan est un espace vectoriel de dimension 2, càd, en se donnant deux vecteurs ( ou deux directions si tu préfères ), l'ensemble des points que l'on peut atteindre en se déplaçant uniquement le long de ces deux vecteurs.

YETIMOU a écrit:Pour une droite: un ensemble de points infini formant une ligne droite.


Cela n'a pas de sens ( c'est quoi une ligne droite ? ).
Même définition que le plan, sauf avec un unique vecteur ( une unique direction ).

YETIMOU a écrit:Je m'aperçois qu'en fait, en cours de math on utilise des objets qui ont été assez mal définis auparavant. :roll:


Si "auparavant" c'est l'école, alors oui. Mais je me vois mal expliquer à un 6e ce qu'est un espace vectoriel de dimension 1 plutôt que de lui parler de droite.

A mon tour d'être curieux : pourquoi toutes ces questions ?
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Re: Ensembles

Messagepar MB » Jeudi 01 Novembre 2007, 19:26

Les objets les plus simples ne sont pas forcément les plus faciles à définir précisément.
Pour la droite par exemple, tu peux regarder ce sujet.

On peut dire qu'un plan est un espace affine de dimension 2 et qu'une droite est un espace affine de dimension 1.
Il faut cependant avoir déjà défini un espace affine (ce qui n'est pas toujours judicieux pour parler au final d'une droite ou d'un plan).
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Messagepar kojak » Jeudi 01 Novembre 2007, 20:19

bonjour,
Arnaud a écrit:A mon tour d'être curieux : pourquoi toutes ces questions ?

C'est un peu surprenant toutes ces questions de la part d'un élève de Bac Pro, si tu as bien renseigné ton profil :wink: , cependant c'est une bonne chose de se poser des questions :wink:
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Re: Ensembles

Messagepar YETIMOU » Jeudi 01 Novembre 2007, 20:40

Mon prof de math à l'école écrit en classe :

Définition:

"On se place dans un repère (O,i,j,k).

Tout plan P a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0 où a, b, c et d ne sont pas tous nuls.
Dans ces conditions le vecteur n(a,b,c) est normal au plan P.

Réciproquement, si a,b,c,d sont quatre réels quelconques où a, b, c et d ne sont pas tous nuls, l'ensemble des points M(x;y;z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal n(a,b,c)."

il appelle cela une définition mais c'est en fait une propriété d'un plan dans l'espace: son équation cartésienne. Il me fait douter !!!

Dans un devoir, j'ai dû utiliser cela et j'ai écrit que c'était une propriété; il m'a barré pour écrire: c'est une définition! :twisted:

Qui a raison ?
Lui, sans doute mais pourquoi ?

Merci de me répondre.
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Re: Ensembles

Messagepar Arnaud » Jeudi 01 Novembre 2007, 21:22

Bon on aurait gagné du temps si tu nous avais expliqué ça depuis le début.

Tout dépend de la façon dont le cours est construit : il existe plusieurs caractérisations possibles du plan, et il faut en choisir une pour poser une définition, et du coup toutes les autres caractérisations deviennent des propriétés.

Personnellement, la "définition" de ton prof est une propriété, parce que j'ai fait le choix de définir le plan autrement.

J'espère que tu comprends la nuance.
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Re: Ensembles

Messagepar kojak » Vendredi 02 Novembre 2007, 13:08

Bonjour,

Il ne faut pas oublier que c'est un cours de Term Bac Pro, et donc, malheureusement ou heureusement, le prof est bien obligé de partir d'une définition pour ton plan, sachant qu'ici, c'est pour donner une équation cartésienne d'un plan ainsi que le vecteur normal... tout ça pour te dire qu'il ne donne pas ici une définition du plan telle quelle en géométrie dans l'espace, mais plus particulièrement du plan défini par une équation cartésienne : je ne sais pas si tu saisis la nuance :roll:
De plus, en Bac Pro, si je ne m'abuse, la théorie est limitée à son strict minimum :roll:
D'ailleurs, tu es en quelle section de bac Pro, pour information :?:
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