Ensemble mesurable de R

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Ensemble mesurable de R

Messagepar dhahri » Mercredi 30 Juillet 2008, 12:49

Bonjour, est ce que c'est possible de me répondre à la question suivante:
Est ce que tout borné de $R$ est mesurable (mesure de Lebesgue)?
Merci bien pour votre aide
dhahri
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Re: Ensemble mesurable de R

Messagepar EricK » Mercredi 30 Juillet 2008, 12:59

Non, considère un ensemble de Vitali sur un intervalle borné.

Edit : sauf si bien sûr tu choisis l'axiome de Solovay plutôt que l'axiome de choix.
EricK
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Re: Ensemble mesurable de R

Messagepar rodb » Mercredi 29 Octobre 2008, 23:30

Je ne sais pas ce qu'est un ensemble de Vitali, mais en l'état actuel de mes connaissances je répondrais à la question de dhahri par oui.
En effet:
Si on considère un ouvert borné de $\R$, on l'appelle $O$ par exemple.
$\exists a \in  \R_+$ tel que $O \subset [-a,a]$ (on sait que tout ouvert de $\R$ est une réunion au plus dénombrable d'intervalles ouverts), donc $\lambda(O) \le \lambda([-a,a])\le 2a$$\lambda$ désigne évidemment la mesure de Lebesgue.

correct ?
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Re: Ensemble mesurable de R

Messagepar OG » Jeudi 30 Octobre 2008, 09:38

rodb a écrit:Je ne sais pas ce qu'est un ensemble de Vitali, mais en l'état actuel de mes connaissances je répondrais à la question de dhahri par oui.
En effet:
Si on considère un ouvert borné de $\R$, on l'appelle $O$ par exemple.
$\exists a \in  \R_+$ tel que $O \subset [-a,a]$ (on sait que tout ouvert de $\R$ est une réunion au plus dénombrable d'intervalles ouverts), donc $\lambda(O) \le \lambda([-a,a])\le 2a$$\lambda$ désigne évidemment la mesure de Lebesgue.

correct ?

non ce n'est pas correct. Tu parles ici de la mesure d'un ouvert borné (qui est mesurable),
le problème est qu'avant de considérer la mesure d'un ensemble il faut être sûr qu'il
soit mesurable.
Je confirme ce que dit Erick, il existe des ensembles de $\R$ bornés et non mesurables. La construction de Vitali consiste
à prendre un ensemble $E$ de $[0,1[$, une suite des rationnels de $[0,1[$, $r_n$, avec $r_0=0$ (distincts) et de poser $E_n=E+r_n modulo 1$,
les $E_n$ sont deux à deux disjoints. En choisissant correctement $E$ (un représentant de chaque classe $xRy$ ssi $x-y$ est rationnel)
(c'est là qu'intervient l'axiome du choix) l'union des $E_n$ est $[0,1[$.
Si $E$ est mesurable alors on remarque que $\mu(E)=\mu(E_n)$ et d'autre par $\mu([0,1[)=\sum_n \mu(E_n)$ d'où une
contradiction.

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Re: Ensemble mesurable de R

Messagepar toulousain » Lundi 24 Novembre 2008, 07:03

Henri Lebesgue a fourni un exemple d'ensemble non mesurable en utilisant l'axiome du choix général, ce qui pour lui n'était pas une « vraie » démonstration. Depuis (vers 1970), Solovay a montré que si l'introduction de l'axiome du choix général dans la théorie des ensembles était non contradictoire, alors introduire l'axiome « tous les sous-ensembles de la droite réelle sont mesurables » avec une forme affaiblie de l'axiome du choix est non contradictoire (cf. article « Théorie des ensembles » de Wikipédia).
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Re: Ensemble mesurable de R

Messagepar Tonn83 » Mardi 31 Mars 2009, 18:09

Si on reformule la réponse de Toulousain pour qqn qui n'a pas encore vu de logique au moins une fois dans sa vie:

Une partie dénombrable de R est nécessairement mesurable (= réunion dénombrable de singletons). Si on veut donner un exemple de parties non mesurables il est nécessaire de donner un exemple non dénombrable. Pour donner un exemple explicite, on s'attend à ce que "l'axiome du choix" (ou à défaut un axiome aussi fort) soit utilisé, ce qui est le cas dans la construction de Vitali. L'axiome du choix affirme la chose suivante:

Si $f:X\rightarrow Y$ est surjective, alors il existe une application injective $g:Y\rightarrow X$ telle que $f \circ g= \mathrm{id}$.



Dans la construction de Vitali, on applique l'axiome du choix à l'application surjective $[0,1]\rightarrow R/Q$ et on prend pour X l'image de l'application g. Le raisonnement de OG te montre que X est non dénombrable. Une construction similaire consiste à prendre une base de R comme Q-espace vectoriel (un tel choix utilise aussi l'axiome du choix).

La réponse de Toulousain montre deux choses:

1) L'axiome du choix est indispensable pour construire un exemple explicite !
2) Tant qu'on utilise pas l'axiome du choix (ou un axiome plus fort), tous les ensembles qu'on rencontre sont mesurables.
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Re: Ensemble mesurable de R

Messagepar Arnaud » Mardi 31 Mars 2009, 18:11

Par curiosité : pourquoi faire remonter un topic vieux d'un an ?
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Re: Ensemble mesurable de R

Messagepar stokastik » Vendredi 03 Avril 2009, 15:12

Ben Arnaud.... c'est sympa de la part de Tonn83 d'avoir complété, si quelqu'un fait une recherche sur les ensembles non mesurables, non ?
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Re: Ensemble mesurable de R

Messagepar stokastik » Vendredi 03 Avril 2009, 15:17

rodb a écrit:Je ne sais pas ce qu'est un ensemble de Vitali, mais en l'état actuel de mes connaissances je répondrais à la question de dhahri par oui.
.....



Pour voir que non : On peut facilement remarquer que s'il existe un ensemble E non mesurable et non borné, alors il existe un ensemble non mesurable borné : il suffit d'écrire E comme une union dénombrable d'ensemble bornés ; nécessairement, l'un de ceux-ci n'est pas mesurable.
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Re: Ensemble mesurable de R

Messagepar Arnaud » Vendredi 03 Avril 2009, 15:40

stokastik a écrit:Ben Arnaud.... c'est sympa de la part de Tonn83 d'avoir complété, si quelqu'un fait une recherche sur les ensembles non mesurables, non ?


Moui...
Je ne dis rien contre Tonn83, c'est toujours agréable d'avoir quelqu'un de bénévole et compétent, ce n'est pas le sens de ma remarque.
Et des gens qui font des recherches avant de poster... cela devient super rare.
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Re: Ensemble mesurable de R

Messagepar kukntoast » Mardi 29 Décembre 2009, 14:22

Bonjour,
J'ai trouvé ce topic en faisant une recherche sur ensembles non mesurables.
Je remercie Tonn83 de son post et réponds indirectement à la question d'Arnaud.
Amicalement

kukntoast.
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Re: Ensemble mesurable de R

Messagepar anaglyphe » Samedi 06 Février 2010, 12:19

Bonjour !

Idem pour moi. Je suis tombé sur ce topic en faisant une recherche à ce sujet.
Merci à vous tous pour ces infos :)
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Re: Ensemble mesurable de R

Messagepar Valvino » Samedi 06 Février 2010, 12:59

Lol on pourrait presque croire que Tonn83 se fait des multi-comptes et s'envoie des fleurs :lol:
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