Ensemble de tous les groupes?

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Ensemble de tous les groupes?

Messagepar Valvino » Vendredi 25 Mai 2007, 10:18

Bonjour à tous,

Une petite phrase anodine dans Algèbre MPSI de J.M. Monier (Dunod, série J'intègre) page : il n'existe pas d'ensemble de tous les groupes.

Je recopie le passage pour plus de clareté (et pour ceux qui n'ont pas le livre):

Un groupe $(G,\oplus)$ est dit isomorphe à un groupe $(G',\otimes)$ si et seulement il existe un isomorphisme de groupe de $(G,\oplus)$ sur $(G',\otimes)$.

Remarque: La relation "être isomorphisme à" est une relation d'équivalence sur tout ensemble de groupes (mais il n'existe pas d'ensemble de tous les groupes).


Je ne comprend pas pourquoi, je dirais de manière intuitive.

Est-ce que une explication serait à ma portée (niveau licence L1/MPSI), ou bien dois-je attendre encore un peu?

Merci de votre aide!
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Messagepar jobherzt » Vendredi 25 Mai 2007, 10:44

en fait, une chose a savoir, c'est qu'il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles.

si on essaie de le construire, on arrive forcement a une contradiction : si le "truc" qui contient tous les ensembles etait lui meme un ensemble, alors il se contiendrait lui meme (puisque il contient tous les ensembles, il se contient lui meme).

or, pour que les maths fonctionnent bien, on a decidé qu'un ensemble ne pouvait pas etre element de lui meme.. tu vois bien pourquoi, sinon ca fait une sorte de recursion infinie, on arrive a des paradoxes du types "menteur" toussa..

apres, essaie de te convaincre que le truc qui contient tous les groupes n'est pas tres loin du truc qui contient tous les ensembles. d'une certaine maniere, on peut toujours transformer un ensemble quelquonque en groupe.

pour les groupes fini c'est facile
pour les ensembles inifinis, je ne suis pas sur de moi, mais je pense qu'on peut faire comme ca :
- $E$ est notre ensemble
- on prend un groupe $G$ qui a le meme cardinal que $E$ (ca peut toujours se trouver, non ?)
- et on transporte la structure de groupe de $G$ sur $E$.

ceci dit, j'aurais tendance a penser qu'il n'existe deja pas d'ensemble de tous les ensembles finis. a mon avis ca coince deja a ce niveau...

voila, je sais pas si j'ai ete clair, mais repose des questions si ca ne l'est pas )
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Messagepar Valvino » Vendredi 25 Mai 2007, 10:54

Ha oui logique cette correspondance est normale vu qu'un groupe n'est rien de plus qu'un ensemble avec une LCI.

C'est plus la partie "il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles" qui pose problème.

As-tu des exemples plus précis sur les contradictions lié à l'existence d'ensembles qui se contiennent eux-mêmes.
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Messagepar jobherzt » Vendredi 25 Mai 2007, 11:02

en fait, pour ecalircir un peu :

dire que 2 groupes sont isomorphes, caveut dire en gros que c'est 2 fois le meme groupe mais qu'on change juste les "etiquettes" qui designet les elements. par exemple, si tu prends $Z_3=\{0,1,2\}$ le groupe cyclique d'ordre 3, cad defini avec l'addition modulo 3 (par exemple 2+1=0, 2+2=1, etc..) rien ne m'empeche de poser $a=0$, $b=1$, $c=2$, et donc de regarder le groupe $G=\{a,b,c\}$, avec $c+b=a$, $c+c=b$, etc.. et a la limite, je peux mettre n'importe quoi a la place de 0,1,2, par exemple $\{\R, carotte,\sqrt{2}\}$, et en posant arbitrairement que $\sqrt{2}+\sqrt{2}=\R$.. je change simplement le sens habituel qu'on donne au signe $+$, mais rien ne m'en empeche.

donc si je veux construire tous les groupes isomorphes a $Z_3$, je peux prendre comme element de ces groupes absolument tout et n'importe quoi, en particulier je peux prendre n'importe quel nombre, n'importe quel objet mathematique, n'importe quel ensemble (en evitant quand meme les paradoxe) . donc finalement, si je veux "remplir" les 3 "cases" de mon groupe, je peux aller piocher mes elements dans un truc enorme, donc l'ensemble des groupes d'ordre 3 serait deja "plus gros" que l'ensemble de tous les ensembles... donc meme sans aller chercher mes explications compliquées la dessus, on voit que ca n'est pas possibile...

en fait, d'une certaine maniere, l'ensemble de tous les groupes d'ordre 1 est exactement egal a l'ensemble de tous les ensembles... qui n'existe pas. donc deja avec les groupes a 1 element ca coince.
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Messagepar jobherzt » Vendredi 25 Mai 2007, 11:08

pardon, croisement de message :

on a posé (logique :) ) que si un ensemble "existe", alors tous ses sous ensembles existent aussi. jusque la pas de probleme.

donc si l'ensemble de tous les ensembles existe, on peut prendre son sous ensemble :

"l'ensemble $A$ de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux meme".

et je te pose la question, est ce que $A$ se contient lui meme ?

- si oui, alors il se contient lui meme. donc par definition il n'appartient pas a $A$ qui ne contient que des ensembles qui ne sontiennent pas eux meme.

- si non, alors il se contient lui meme, par definition de $A$.

donc on arrive au meme genre de contradiction que quand j'ecris :

"cette phrase est fausse"

plus connu sous le nom de "paradoxe du menteur", ou du barbier.
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Messagepar euzenius » Vendredi 25 Mai 2007, 11:58

Sur un plan naïf il y a du vrai dans tout cela. Mais néanmoins il faudrait aller voir un cours de théorie des ensembles un peu moins lié à notre perception naïve des ensembles même si cela demeure "naïf". Un des points basique est l'axiome de l'existence pour tout ensemble de l'ensemble des parties de l' ensemble et cet axiomùe serait contredit par l'existence de l'ensemble de tous les ensembles, voire par l'existence de l'ensemble de tous les groupes... mais on peut tenter de travailler sans et là j'avoue être bien inculte et nul désolé.

Par contre il existe bien une notion générale de groupe, que l'on appelle "catégorie". On parle de la catégorie des ensembles, des groupes, etc... et on développe d'ailleurs la notion de foncteur qui "généralise" celle de fonction ou d'homomorphisme plus exactement, en parlant un peu vite. Il doit bien y avoir un truc là dessus chez wikipedia ou en tout cas dans certains bouquins d'algèbre telle la "bible" "S.LANG" ou un vieux "Mac Lane & Birkhoff". Pour la théorie des ensembles il y a aussi un petit ouvrage (PUF ?) de Jean-Louis Krivine, mais pas tout à fait pour les débutants, on est vite largué mais cela permet d'entrevoir la différence entre une approche naïve et une plus "musclée" (mathématiquement parlant). Donc dans un langage ordinaire si l'ensemble des groupes signifie la catégorie des groupes ce n'est pas faux, sauf si votre interlocuteur tient mordicus à la notion mathématique d'ensemble (ce qu'on ne peut lui reprocher non plus bien entendu).

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