Egalité au sens de distribution

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Egalité au sens de distribution

Messagepar brahim121985 » Dimanche 10 Janvier 2010, 18:26

Bonjour,
si on $f$=$g$ au sens de distribution, cad $\int_\Omega f \phi=\int_\Omega g \phi $, pour toute $\phi$ dans $D(\Omega)$, et si $g \in L^2(\Omega)$, est ce qu'on a aussi $f \in L^2(\Omega)$ ? si oui comment le montrer.
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Re: égalité au sens de distribution

Messagepar Valvino » Dimanche 10 Janvier 2010, 18:45

Je ne comprends pas ta question? Si $f=g$, et si $g \in L^2$, alors $f \in L^2$...
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Re: égalité au sens de distribution

Messagepar OG » Dimanche 10 Janvier 2010, 20:05

Bonsoir

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions mesurables égales au sens des distributions avec $g$ dans $L^2$
alors oui $f=g$ a.e. et bien sûr $f$ dans $L^2$. Cela vient d'un résultat de densité.
Si $\Omega$ est borné, alors ${\mathcal D}(\Omega)$ est dense dans $L^2(\Omega)$
(si $\Omega$ n'est pas borné cela doit être vrai aussi, mais je me méfie de ce que j'écris).


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Re: Egalité au sens de distribution

Messagepar Aleph » Dimanche 14 Février 2010, 20:14

Bonjour,

l'application $(\cdot,\cdot):\L^2(\Omega)\times L^2(\Omega)\mapsto \int_\Omega f(x)g(x)dx$ est un produit scalaire.
On suppose $(f,\phi)=(g,\phi)$ pour tout $\phi\in \mathcal{D}(\Omega)$.
Si $f\in \mathcal{D}(\Omega)$, alors on a $(f,f)=(g,f)$ en prenant $\phi=f$.
Or, $\mathcal{D}(\Omega)$ est dense dans $L^2(\Omega)$ donc on peut aussi choisir $\phi=g$.
Dans ce cas, on trouve $(f,g)=(g,g)$.
Puisque $g\in L^2(\Omega)$, $(g,g)<\infty$.
D'où $(f,f)=(g,f)=(f,g)=(g,g)<\infty$, i.e., $f\in L^2(\Omega)$.

Est-ce que cela répond à ta question? L'hypothèse sur $f$ est-elle trop forte?
Aleph
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