Domaine de dérivation d'une fonction

Discussions générales concernant les mathématiques.
[ce forum est modéré par les modérateurs globaux du site]
Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Pour obtenir de l'aide sur un exercice ou un problème, consulter cette section. (ce forum est destiné aux discussions plutôt théoriques)

Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar darkomen » Lundi 06 Juillet 2009, 20:31

Bonsoir à tous,

J'ai un soucis de compréhension quant à l'étude du Domaine de définition de la dérivabilité d'une fonction.
J'ai bien saisi que : "le domaine de dérivabilité, est l'intervalle sur lequel la fonction est dérivable" mais concrètement je ne vois pas bien la chose.

Comment trouve t-on un domaine de dérivabilité?
Comment pourriez-vous m'expliquer cette notion avec d'autres mots ou images ?


Grand merci de votre futur aide.
darkomen
Kilo-utilisateur
 
Messages: 201
Inscription: Mercredi 15 Novembre 2006, 22:35
Localisation: Paris

Publicité

Re: domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar Arnaud » Lundi 06 Juillet 2009, 21:02

Il faut revenir à la définition de la dérivabilité, qui consiste en l'existence de cette limite, et donc la dérivabilité de la fonction en ce point.

Par exemple, la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie et continue sur le domaine $\R_+$.
On choisit une valeur $a$ de ce domaine et on essaye de calculer cette limite ( on choisit une variable $a$ afin d'essayer de calculer en toute généralité ).
On se rend compte qu'une limite est atteinte pour $a \ne 0$, mais qu'elle n'existe pas sinon.
La conclusion est claire : le domaine de dérivabilité est $\R^*_+$.

Afin d'éviter des calculs longs et fastidieux, il faut connaitre les domaines de dérivabilité des focntions classiques, et on en déduit ceux des fonctions plus "compliquées" à l'aide des théorèmes sur les opérations/composition, si c'est possible de les utiliser, d'où l'importance de ces théorèmes.

Pour les autres fonctions, il faut recommencer au cas par cas...
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar darkomen » Lundi 06 Juillet 2009, 21:15

Bonsoir Arnaud et merci de ta réponse.

Je regarde en détails ta réponse demain et completerai mon cours de la sorte quand j'aurai bien compris.
Donc je reviendrai surement pour encore quelques questions.


Sinon sympa le principes de pyromaths...a quand une version pour lycéen ???
darkomen
Kilo-utilisateur
 
Messages: 201
Inscription: Mercredi 15 Novembre 2006, 22:35
Localisation: Paris

Re: domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar Arnaud » Lundi 06 Juillet 2009, 21:31

darkomen a écrit:Sinon sympa le principes de pyromaths...a quand une version pour lycéen ???


Bonne question, il faudrait déjà qu'on termine la version actuelle...
Le problème avec le niveau du lycée, c'est que les exercices sont moins faciles à générer, mais on y réfléchit.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar darkomen » Mardi 07 Juillet 2009, 21:41

En fait j'ai vraiment du mal à saisir t'es explications.

Il faut revenir à la définition de la dérivabilité, qui consiste en l'existence de cette limite, et donc la dérivabilité de la fonction en ce point.


de cette limite ? mais de quel limite exactement ?

quel est la différence entre le domaine de définition de la fonction et celui de la dérivabilité ? J'ai l'impression que c'est la même chose...

On se rend compte qu'une limite est atteinte pour a \ne 0, mais qu'elle n'existe pas sinon.


donc pour a=0 il n'y a pas de limite ? pourtant la racine de 0 est défini et vaut 0.
darkomen
Kilo-utilisateur
 
Messages: 201
Inscription: Mercredi 15 Novembre 2006, 22:35
Localisation: Paris

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar rebouxo » Mardi 07 Juillet 2009, 22:00

Une fonction est dérivable en le nombre $a$ si et seulement si la limite suivante existe :
$ \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$.

Dans le cas ou cette limite existe, alors on appelle nombre dérivée en $a$ la valeur de cette limite. On le note $f'(a)$.

Dans l'exemple d'Arnaud, $a =0$ et $f(x) = \sqrt{x}$. Dans ce cas la limite n'est pas définie (elle vaut $+\infty$).
Le domaine de dérivabilité est donc plus petit que le domaine de définition.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6952
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar François D. » Mercredi 08 Juillet 2009, 08:18

Euh ... si la limite indiqué existe et est finie, si je ne m'abuse ...
Sauf sujets de concours dont le but est précisément d'amener les candidats à examiner la notion de dérivabilité au sens élargi à $\ds \lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\in[-\infty;+\infty]$, il me semble bien que la limite doit non seulement exister, mais être finie ;) .
François D.
Téra-utilisateur
 
Messages: 1370
Inscription: Dimanche 30 Juillet 2006, 09:04
Localisation: Alsace
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar rebouxo » Mercredi 08 Juillet 2009, 09:16

Ouaip, mais pour moi une limite infinie n'existe pas vraiment, on ne peut pas l'atteindre.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6952
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar darkomen » Mercredi 08 Juillet 2009, 12:38

tout d'abord peut t-on travailler avec cette formule de dérivation $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a}$ à la place de celle-ci $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ dans TOUT les cas ? (oui ou non)

Car quand j'utilise cette formule pour savoir la dérivabilité de la fonction $f(x)=\sqrt{x}$ , je tombe sur $\frac{\sqrt{x}}{x}$ qui est bien une forme indéterminé de la forme $\frac{0}{0}$ mais pourquoi vaut-elle $+\infty$


Sinon comment pourriez-vous me définir le domaine de dérivabilité sans utiliser d'équation mathématique?
Peut-être arriverais-je mieux à comprendre.


PS:pour ce qui est de la dérivabilité en un point et son existence ça j'ai bien compris, je parle bien de domaine de dérivabilité générale d'une fonction.
darkomen
Kilo-utilisateur
 
Messages: 201
Inscription: Mercredi 15 Novembre 2006, 22:35
Localisation: Paris

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar Valvino » Mercredi 08 Juillet 2009, 12:48

Un truc qui peut être utile aussi :

Soit $f:[a,b] \to \R$ continue, dérivable sur $]a,b]$. Si $f'(x) \to \ell$ quand $x \to a^+$, alors $f$ est dérivable au point $a$ et $f'(a)=\ell$.


Mais ça doit être HP en TS...
Valvino
Giga-utilisateur
 
Messages: 922
Inscription: Mercredi 21 Mars 2007, 10:59
Statut actuel: Post-bac | Master

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar guiguiche » Mercredi 08 Juillet 2009, 12:49

Pour tout réel $x>0$, on a : $\dfrac{\sqrt x}{x}=\dfrac1{\sqrt x}$. Tu passes ensuite à la limite lorsque $x\to0$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8071
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar guiguiche » Mercredi 08 Juillet 2009, 12:49

darkomen a écrit:tout d'abord peut t-on travailler avec cette formule de dérivation $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a}$ à la place de celle-ci $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ dans TOUT les cas ? (oui ou non)

Oui
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8071
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar darkomen » Mercredi 08 Juillet 2009, 13:33

@guiguiche
Ok pour la formule $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a}$. Malheureusement elle me semblait plus simple que l'autre et finalement je n'arrive pas à retrouver la même limite que quand j'utilise l'autre formule que je comprend maintenant. Il y a une astuce d'utilisation que je n'arrive pas à trouver.
Pense tu pouvoir me donner le détail du calcul de la limite de $f(x)=2x-4$ en 3 avec cette équation $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a}$ ?
La réponse à trouvé est 2 que j'ai trouvé avec l'autre équation.
Cela afin de voir mon erreur.
Pour tout réel $x>0$, on a : $\dfrac{\sqrt x}{x}=\dfrac1{\sqrt x}$. Tu passes ensuite à la limite lorsque $x\to0$.


Ok pour cela j'ai compris merci :)


@rebouxo

Dans l'exemple d'Arnaud, $a=0$ et $f(x) = \sqrt{x}$. Dans ce cas la limite n'est pas définie (elle vaut $+\infty$).
Le domaine de dérivabilité est donc plus petit que le domaine de définition.


Il y a contradiction dans tes propos. Tu dit que la limite n'est pas définie et tu lui donne comme valeur $+\infty$ ????
Et ici tu n'a fait que chercher le domaine de dérivabilité de la fonction pour 1 seule valeur, alors comment fait tu pour en déduire l'ensemble de dérivabilité de la fonction ?
darkomen
Kilo-utilisateur
 
Messages: 201
Inscription: Mercredi 15 Novembre 2006, 22:35
Localisation: Paris

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar guiguiche » Mercredi 08 Juillet 2009, 13:57

darkomen a écrit:Pense tu pouvoir me donner le détail du calcul de la limite de $f(x)=2x-4$ en 3 avec cette équation $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a}$ ?
La réponse à trouvé est 2 que j'ai trouvé avec l'autre équation.
Cela afin de voir mon erreur.

Pour tout réel $x\ne3$, on a : $\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}=\dfrac{2x-6}{x-3}=\dfrac{2(x-3)}{x-3}=2$ d'où le résultat par passage à la limite.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8071
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar darkomen » Mercredi 08 Juillet 2009, 14:31

merci guiguiche j'avais fait une erreur idiote qui m'a induit en erreur. Je fait d'ailleurs beaucoup d'erreur idiote ca commence a m'enervé.

Pour ce qui est du domaine de dérivabilité d'une fonction j'ai trouvé différentes explications qui pourrait bien le définir.

-En fait il faut trouver le tableau des ensembles de dérivabilités des fonctions usuelles, qui d'ailleurs sont toutes égales au domaine de définition de la fonction sauf pour la racine carré.
-Quand on a une fonction complexe qui est décomposable en plusieurs sous fonctions usuelles il faut faire la somme(ou plutôt le lien)entre tous les domaines de dérivabilité usuelles et construire l'intervalle adéquate

suis-je dans le bon ?
darkomen
Kilo-utilisateur
 
Messages: 201
Inscription: Mercredi 15 Novembre 2006, 22:35
Localisation: Paris

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar rebouxo » Mercredi 08 Juillet 2009, 21:03

Darkomen a écrit:l y a contradiction dans tes propos. Tu dit que la limite n'est pas définie et tu lui donne comme valeur +\infty ????
Et ici tu n'a fait que chercher le domaine de dérivabilité de la fonction pour 1 seule valeur, alors comment fait tu pour en déduire l'ensemble de dérivabilité de la fonction ?


Comme je l'ai déjà dis pour moi $\infty$ n'est pas une valeur. C'est une jolie abstraction, mais on ne sait pas vraiment de quoi on parles. Pour moi une limite n'existe que si elle est finie. On peut discuter ce point. Dans la pratique des maths de tous les jours cela ne me gène guère.

Pour le reste le domaine de dérivation de la fonction ne posera de problème pour les valeurs $a>0$, car dans ces cas la limite est bien définie : elle vaut $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$. Le seul problème c'était en $0$. Mais c'est clair que c'est aussi un problème d'expérience : je sais que le problème sera en $0$. Une bonne idée (avec les fonctions pas trop pathologiques, disons celle que l'on peut obtenir en combinant les polynômes, ln, exp et les fonctions trigo) c'est de regarder la courbe et de voir si il y a des tangentes verticales. Si il y a un problème de dérivabilité c'est pour ces valeurs. Disons que c'est un indice.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6952
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar darkomen » Samedi 11 Juillet 2009, 11:33

Comme je l'ai déjà dis pour moi \infty n'est pas une valeur. C'est une jolie abstraction, mais on ne sait pas vraiment de quoi on parles. Pour moi une limite n'existe que si elle est finie. On peut discuter ce point. Dans la pratique des maths de tous les jours cela ne me gène guère.


J'ai effectivement lu ca dans le sujet mais je n'avais pas retenu le nom. Donc tu es cohérent.Ta "philosophie" est bonne je trouve je vais essayer de retenir ce principe même si dans le scolaire on le voit pas ainsi.

Pour le reste le domaine de dérivation de la fonction ne posera de problème pour les valeurs a>0, car dans ces cas la limite est bien définie : elle vaut \dfrac{1}{2\sqrt{a}}. Le seul problème c'était en 0. Mais c'est clair que c'est aussi un problème d'expérience : je sais que le problème sera en 0. Une bonne idée (avec les fonctions pas trop pathologiques, disons celle que l'on peut obtenir en combinant les polynômes, ln, exp et les fonctions trigo) c'est de regarder la courbe et de voir si il y a des tangentes verticales. Si il y a un problème de dérivabilité c'est pour ces valeurs. Disons que c'est un indice.


Ok intéressant l'indice, effectivement pour la fonction racine carré c'est bien le cas. :wink:


Pourrais tu me confirmer mes dires :
-En fait il faut trouver le tableau des ensembles de dérivabilités des fonctions usuelles, qui d'ailleurs sont toutes égales au domaine de définition de la fonction sauf pour la racine carré.
-Quand on a une fonction complexe qui est décomposable en plusieurs sous fonctions usuelles il faut faire la somme(ou plutôt le lien)entre tous les domaines de dérivabilité usuelles et construire l'intervalle adéquate

suis-je dans le bon ?
darkomen
Kilo-utilisateur
 
Messages: 201
Inscription: Mercredi 15 Novembre 2006, 22:35
Localisation: Paris

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar projetmbc » Samedi 11 Juillet 2009, 11:52

rebouxo a écrit:Comme je l'ai déjà dis pour moi $\infty$ n'est pas une valeur. C'est une jolie abstraction, mais on ne sait pas vraiment de quoi on parles.

Désolé mais je vais être un peu technique.

Prenons la projection stéréographique du cercle sur la droite. Dans ce cas on peut parler de l'infini, sans référence au signe, sans que ce soit une pure abstraction, à moins de dire que le Pôle en soit une, mais là le réchauffement climatique nous prouve le contraire... :D
Redevons sérieux. Pour les infinis réels, on peut orienter le cercle et associer ces deux infinis à des valeurs du type Pôle+ et Pôle-.
Donc on ne peut pas parler pour réellement d'abstraction en ce qui concerne ces infinis.

De toute façon, quiconque qui s'est posé la question des fondements des maths pourra indiquer que tout est abstraction.
projetmbc
Péta-utilisateur
 
Messages: 1897
Inscription: Samedi 29 Décembre 2007, 00:58
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar rebouxo » Samedi 11 Juillet 2009, 13:55

Je ne suis pas non plus d'accord. Dans la projection stéréographique, la projection du pôle est ... très loin, si d'ailleurs on définit la projection du pôle, parce que de mémoire la projection stéréographique, il faut faire l'intersection de la droite $PM$ ($P$ pôle, $M$ point à projeter), avec un plan (l'équateur ?). La projection du pôle me paraît poser problème.

On va rapidement être obligé de parler d'infini en acte ou en puissance... Sujet sur lequel mathématiciens et philosophes ont débattu pendant 2 400 ans, jusqu'à la construction des réels. Les mathématiciens grecs ont tous refusé d'utiliser l'infini en acte, dans les démonstrations. Cela ne s'est pas arrangé avec l'apparition du christianisme, ou la seule chose une et infini c'est Dieu (ils sont très fort, en plus cette unité est triple :D ). Une partie des mathématiciens du XXe siècle ont refusé l'infini en acte et on reconstruit les maths sur des bases purement constructivistes (Brouwer). Donc, infini, oupps méfiance sur ce que l'on va dire. Voilà, mon réflexe.

Je ne prétend pas que mon point de vue sur les limites est le nec plus ultra, mais qu'il est pragmatique, dans le cadre scolaire et d'apprentissage de la manipulation des limites. Dans les sections de STI (et dans les BTS qui suivent) on ne définit jamais précisément ce qu'est une limite en l'infini. Et quand on le fait même avec des définitions simples (pouvoir dépasser tout nombre nombre fixé a priori), on en revient très vite à l'intuition. Le symbole $\infty$ reste un moyen de parler de truc que l'on ne connait pas bien. C'était le sens de ma remarque.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6952
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: domaine de dérivation d'une fonction

Messagepar Tonn83 » Vendredi 17 Juillet 2009, 14:45

Arnaud a écrit:
darkomen a écrit:Sinon sympa le principes de pyromaths...a quand une version pour lycéen ???


Bonne question, il faudrait déjà qu'on termine la version actuelle...
Le problème avec le niveau du lycée, c'est que les exercices sont moins faciles à générer, mais on y réfléchit.


Hum ... a quand une version pour universitaire ??? :evil: :arrow: :!:
----------------------------
Tonn83
Tonn83
Giga-utilisateur
 
Messages: 889
Inscription: Mercredi 05 Novembre 2008, 01:19
Localisation: Paris, France
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant


Retourner vers Tribune des mathématiques

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 3 invités