Distributions, intégrales

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Distributions, intégrales

Messagepar acid24 » Mardi 25 Avril 2006, 11:16

Bonjour à tous,

je suis à la recherche de documents sur le web à propos de la théorie des distributions. Ayant "googolisé" sans trop de succès, trouvant principalement des textes plutôt "physiciens" que "matheux"... je fais donc appel à l'aide des utilisateurs de ce forum :).

je souhaite en particulier répondre à la question suivante: (qui ne vous semblera peut etre pas très claire :? )
la théorie des distributions est-elle forcement liée à la théorie de la mesure et de l'integrale de lesbesgue ?
peut-on "travailler" avec des distributions en n'utilisant que l'integrale de [strike]Riemann [/strike] des fonctions reglées? cf cette précision

merci de tout élément de réponse,
Dernière édition par acid24 le Mardi 09 Mai 2006, 13:03, édité 1 fois.
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Messagepar kilébo » Mardi 25 Avril 2006, 19:05

Je peux d'ore et déjà te répondre que, si ma mémoire est bonne, la théorie de la distribution s'inscrit directement dans la théorie de l'intégration de Lebesgue et notamment les espaces $L^{1}_{loc}$ et $L^{2}$.

Même la notion de presque partout est omnis présente...
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Messagepar acid24 » Mercredi 26 Avril 2006, 15:06

Bonjour,
je précise ma question,
je me suis interessé au cas des fonctions de $\R$ dans $\R$, je résume ce que j'en ai compris:

on appelle $\mc{D}$ l'ev des fonctions $C^\infty(\R)$ à support compact
Une distribution est une forme linéaire continue sur $\mc{D}$
on note $\mc{D}^*$ l'ensemble de de ces formes linéaires.
prémière hésitation : quelle norme prendre sur $\mc{D}$ ? je pense que la norme de la convergence uniforme est interessante: $\psi \in \mc{D} , N(\psi)= \underset{\R}{Sup}~ |\psi | $

ensuite, pour illustrer que les distributions "prolongent" la notion de fonction on peut "plonger", par exemple, $C^0[a,b]$ dans $\mc{D}^*$ par
$\forall f \in C^0[a,b] ~,~ T_f :~ \psi \mapsto \int_{[a,b]} f \cdot \psi  $
On peut se contenter ici de l'integrale [strike]de riemann[/strike] des fonctions reglées (?)
On a $T_f \in \mc{D}^*$

On peut aussi plonger $L_{Loc}^1$ dans $\mc{D}^*$ par
$\forall f \in L_{Loc}^1 ~,~ T_f :~ \psi \mapsto \int f \cdot \psi  $
ici il s'agit de l'integrale de Lebesgue

j'ai conscience qu'on "oublie " (bcp) d' éléments de $\mc{D}^*$ si on n'utilise que l'integrale [strike]de Riemann[/strike] des fonctions reglées ,
Mon objectif est de faire un exercice introductif au distributions niveau MP, donc je doit me limiter à l'integrale [strike]de Riemann[/strike] des fonctions reglées,
par contre je pense pouvoir introduire les distributions telles que le "pic de dirac", même sans l'integrale de Lebesgue, pensez vous que cela va être possible ?

merci de toute réponse :P
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Messagepar sotwafits » Mercredi 26 Avril 2006, 20:15

Mettre une norme sur ${\cal D}$ n'est pas très intéressant, car on ne peut pas en faire un espace complet
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Distributions

Messagepar Duceux » Jeudi 27 Avril 2006, 15:58

Bonjour,

En fait la topologie que l'on prend sur $\cal D$ ne peut être définie par une norme. T étant une distribution et$f_j$ une suite de $\cal D$, pour assurer que $T(f_j) \rightarrow 0$, on doit supposer que les $f_j$ ont leurs supports contenus dans un compact fixe et que la suite converge uniformément vers 0 ainsi que toutes ses dérivées (sinon il sera impossible de définir les dérivées de T d'ordre quelconque). La topologie est en fait une topologie d'espace localement convexe définies par une famille (assez compliquée) de semi-normes. L'espace topologique $\cal D$ ainsi défini est alors un espace complet (espace de Fréchet).
Pour le début, on peut se contenter de poser (pour ce qui concerne la continuité) la condition énoncée plus haut assurant la convergence de $T(f_j)$ vers 0.
Bon courage...
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Messagepar la main gauche » Jeudi 27 Avril 2006, 16:15

Il est certainement utile de consulter le livre de lolo *méthodes mathématiques pour les sciences physiques* (Laurent Schwartz).
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Messagepar acid24 » Vendredi 05 Mai 2006, 15:36

Merci à tous pour vos réponses, j'avais entrevu le problème de ma norme pour prouver que
$ \psi \mapsto  \psi'(a) $ est une forme linéaire continue ...
donc j'ai compris pourquoi on devait introduire la famille de semi norme .. c un peu complexe pour le niveau sup :? non ?

par contre pensez vous qu'on puisse donner un sens à l'application:

$$\psi \in \mc{D} \mapsto \ds\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{Sup |\psi^{(k)}|}{k!}$$

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Messagepar sotwafits » Vendredi 05 Mai 2006, 19:56

Non, cette série n'est pas toujours convergente.
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Messagepar la main gauche » Mardi 09 Mai 2006, 07:18

Dans mes vagues souvenirs, ta tentative est presque bonne, mais on prend l'inf avec 1 des numérateurs de la série; et je crois me rappeler qu'il trâine aussi une affaire d'exhaustion de compacts. Mais je crois bein qu'en pratique on n'utilise pas cette les semi-normes définissant la topologie mais les critères de convergence --- i.e. la topologie fréquentée concrètement --- que donne Schwartz dans le bouquin sus-cité.
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Messagepar acid24 » Mardi 09 Mai 2006, 09:35

merci pour ces réponses , c'est vraiment sympa de pouvoir parler de sujets de math aussi interessants avec des personnes "cultivées" sur ce site :) ...

sotwafits, je reste sur ma fin quand au fait que la serie
$\ds\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{Sup |\psi^{(k)}|}{k!}$ n'est pas toujours convergente. As-tu un contre exemple :shock: ? (sauf si c'est aussi compliqué que les contre exemple de fonctions continues non dérivables :? )
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Messagepar la main gauche » Mardi 09 Mai 2006, 11:52

Un théorème de Borel dit qu'on peut prescrire la série de Taylor d'une fonction en un point. De façon légèrement pédante: si U est un ouvert de R marqué d'un point a; l'application qui à une fonction lisse à support compact contenu dans U associe sa série formelle de Taylor au point a est une application (linéaire) surjective (toute série formelle est atteinte). Elle n'est pas injective (fonctions plateaux; exp(-1/x^2)). Sachant cela, c'est plus facile de montrer l'existence de fonctions pour lesquelles la série diverge vers l'infini ...

Bon appétit
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Messagepar acid24 » Mardi 09 Mai 2006, 13:40

la main gauche,

je n'ai pas tout compris à ton début de contre exemple, peux-tu reessayer en imaginant que tu t'adresses à un élève de prépas ?
merci d'avance :)
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Messagepar sotwafits » Mardi 09 Mai 2006, 20:19

Le théorème de Borel :
Pour toute suite $(a_n)\in\R^\N$, il existe une fonction $f$ de classe ${\cal C}^\infty$ de $\R$ dans $\R$ telle que $\forall n\in\N,\, f^{(n)}(0)=a_n$

Donc en choisissant bien la suite $(a_n)$ on peut s'arranger pour que la série $\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{\sup\left|f^{(n)\right|}}{n!}$ soit divergente
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Messagepar acid24 » Vendredi 12 Mai 2006, 09:36

merci pour toutes ces infos,
on m'a confirmé que les distribution n'etaient pas ne bonne idée d'exo en sup, trop abstrait ...

néanmoins, pensez vous que je puisse trouver des fonctions non triviales dans l'ensemble suivant :
$\ds{ \mc{B}= f \in \mc{C}^{\infty} \textrm{a support compact, tq}~ \exists M>0, \forall k \in \N  ,~  Sup|f^{(k)}| \le M  } $ ?
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Messagepar sotwafits » Lundi 15 Mai 2006, 15:22

Non

En effet, il est facile de montrer qu'une telle fonction $f$ est entière, car ton hypothèse entraîne qu'en tout point, $f$ est la somme de sa série de Taylor (utiliser par exemple la formule de Taylor avec reste intégral entre 0 et $x$ à l'ordre $n$ et faire tendre $n$ vers $+\infty$)

Si on suppose en plus que $f$ est à support compact, alors elle est nulle.
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