[MP] Différentiabilité en 0 d'une norme

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[MP] Différentiabilité en 0 d'une norme

Messagepar themoskito » Vendredi 31 Août 2007, 15:51

Bonjour,

J'ai lu au cours d'un exercice que toute norme définie sur un espace vectoriel de dimension finie n'était pas différentiable en $0$.

J'ai essayé de démontrer ce résultat en raisonnant par l'absurde :
J'ai considérée $||.||$ une norme sur un espace vetoriel de dimension finie, et j'ai supposé qu'elle était différentiable en $0$, de différentielle en $0$ notée $L$. Alors, pour $a=0$ et $h \ne 0$ on a $\dfrac{||a+h||-||a||-L(h)}{||h||}=\dfrac{||h||-L(h)}{||h||}$ qui tend vers $0$ lorsque $h$ tend vers $0$ donc :

$$ \ds\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{L(h)}{||h||} =1 $$



Et après je ne vois pas comment terminer par cette méthode ...
Pouvez m'indiquer comment conclure, ou alors me proposer une autre démarche ?

Merci
themoskito
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Re: [MP] Différentiabilité en 0 d'une norme

Messagepar MB » Vendredi 31 Août 2007, 16:30

J'ai déplacé le sujet qui n'est pas réellement un exercice.

Tu peux peut être regarder ce que donne :

$$\ds\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{L(-h)}{||h||}$$

MB (Pas d'aide en Message Privé)
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Re: [MP] Différentiabilité en 0 d'une norme

Messagepar themoskito » Samedi 01 Septembre 2007, 10:04

$\dfrac{L(-h)}{||h||} = -\dfrac{L(h)}{||h||}$ donc on en déduit que $\lim_{h \rightarrow 0}$ $\dfrac{L(-h)}{||h||} = -1$
C'est impossible puisque $\lim_{h \rightarrow 0}$ $\dfrac{L(h)}{||h||} = 1$ donc $||.||$ n'est pas différentiable en $0$

Merci
themoskito
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Re: [MP] Différentiabilité en 0 d'une norme

Messagepar François D. » Samedi 01 Septembre 2007, 10:36

Plus précisément je crois : si la norme était différentiable en 0, les limites $\ds \lim_{h \to 0} \dfrac{L(h)}{\| h \|}$ et $\ds \lim_{h \to 0} \dfrac{L(-h)}{\| -h \|}=\lim_{h \to 0} \dfrac{-L(h)}{\| h \|}$ devraient commencer par être égales ...
François D.
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