Dérivation sous le signe somme (contre-exemple)

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Dérivation sous le signe somme (contre-exemple)

Messagepar projetmbc » Jeudi 01 Avril 2010, 16:32

Bonjour,
soit une fonction du type suivant :
$\displaystyle g(x)=\int_{a}^{b} f(t,x) dt$

Je cherche un (contre-)exemple (simple) montrant que l'on n'a pas toujours :
$\displaystyle \frac{dg}{dx}(x)=\int_{a}^{b} \frac{\delta f}{\delta x}(t,x) dt$

Toute info. est la bienvenue.
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Re: Dérivation sous le signe somme (contre-exemple)

Messagepar guiguiche » Jeudi 01 Avril 2010, 20:04

Tu cherches quel type de contre-exemple : $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ existe mais pas $g'(x)$ ou bien $g'(x)$ existe mais ne correspond pas à l'intégrale de $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ (je ne sais pas si c'est possible) ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Dérivation sous le signe somme (contre-exemple)

Messagepar projetmbc » Jeudi 01 Avril 2010, 20:18

Les deux mon capitaine... :D
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Re: Dérivation sous le signe somme (contre-exemple)

Messagepar guiguiche » Jeudi 01 Avril 2010, 20:45

Dans le premier cas, avec une fonction qui n'est pas de classe $\mathcal C^2$, ça doit convenir (vu qu'on utilise Taylor Lagrange pour démontrer le résultat en majorant $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$).
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Re: Dérivation sous le signe somme (contre-exemple)

Messagepar OG » Vendredi 02 Avril 2010, 09:56

Il y a tout de même pas mal de cas où ce n'est pas $\mathcal{C}^2$ en $x$ et où le résultat est vrai (vu que $\mathcal{C}^1$
et une hypothèse de domination suffisent).

J'ai regardé dans Rudin :

$\varphi(x,t)=\begin{cases} x & 0\leq x \leq \sqrt{t} \\ -x+2\sqrt{t} & \sqrt{t}\leq x \leq 2\sqrt{t} & 0 & \text{autrement}\end{cases}$
$f(t)=\int_{-1}^1 \varphi(x,t) dt$. On a $\varphi_t(x,0)=0$
Montrer que $f(t)=t$ si $|t|\leq 1/4$. Ainsi $f'(0)=1$.


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Re: Dérivation sous le signe somme (contre-exemple)

Messagepar projetmbc » Vendredi 02 Avril 2010, 13:07

Pas mal cet exemple. Merci.
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