Dérivation intégrale

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Dérivation intégrale

Messagepar nirosis » Mercredi 19 Décembre 2007, 09:49

Je me suis rendu compte que je n'avais jamais vu ça... alors je vous demande.

Existe-t-il une "formule" pour dériver une fonction du style (en admettant la fonction est gentille).

$$F(t)=\ds \int^{t}_{0} f(t,x) dx$$



Ce n'est pas traité dans les cours que j'ai regardé. Il n'y a qu'une dépendance sur les 2 en générale dans ce qu'on apprend. Evidemment si $f(t,x)=g(t) \times h(x)$ c'est facile... Mais en général, j'ai pas vraiment d'idée!
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Re: Dérivation intégrale

Messagepar guiguiche » Mercredi 19 Décembre 2007, 13:50

Les exemples que je connais se séparent bien.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Dérivation intégrale

Messagepar OG » Mercredi 19 Décembre 2007, 14:10

Bonjour

A priori la dérivation de ce genre de fonction est un corolaire des résultats précédents. Ça peut se faire à la main (le taux d'accroissement) ou dans le Monier par un changement de variable adéquate on remplace la borne variable par une borne fixe (d'où un paramètre dans le $f(.,.)$.

J'ai du le faire à mes étudiants de L2 la semaine dernière (c'était leur cadeau de Noël !) (que je doublerai cette semaine avec la version intégrale généralisée histoire de réchauffer l'amphi).

Ici $F'(t)=f(t,t)+\int_0^t \frac{\partial f}{\partial t}(t,x) dx$.

Cordialement
O.G.
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Re: Dérivation intégrale

Messagepar P.Fradin » Mercredi 19 Décembre 2007, 16:31

Bonjour,

Habituellement dans ce genre de situation on se ramène à une fonction de 2 variables:

$$g(x,y)=\int_0^y f(x,u)\,du$$



On a alors $F(t)=g(t,t)$ d'où $F'(t)=\frac{\partial g}{\partial x}(t,t)+\frac{\partial g}{\partial y}(t,t)$, ce qui donne le résultat annoncé par OG (avec des hypothèse suffisantes sur $f$).
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Re: Dérivation intégrale

Messagepar nirosis » Mercredi 19 Décembre 2007, 19:06

Merci beaucoup. La méthode de Patrick est assez explicite aussi.

J'avais essayé la bonne vieille méthode du taux d'accroisement, mais bien qu'ayant le $\ds \int^{t}_{0} \dfrac{\partial f(t,x)}{\partial t}$ je n'arrivais pas à avoir le reste...
je tombais sur $\ds \int^{t+\varepsilon}_{t} \dfrac{f(t+\varepsilon,x)}{\varepsilon} dx$ qui en fait donne $f(t,t)$ à la limite.

Pour la méthode du chgt de variable, n'ayant pas le livre, je reste curieux malgré tout! ;)
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Re: Dérivation intégrale

Messagepar OG » Mercredi 19 Décembre 2007, 20:56

bonsoir

je regarderai demain (ou après-demain) mais en fait c'est pour $\int_0^{u(t)} f(u(t),x) dx$ et la méthode de P. Fradin fonctionne aussi.

Cordialement
O.G.
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Re: Dérivation intégrale

Messagepar bibi6 » Mercredi 19 Décembre 2007, 21:20

Bonsoir,

Pour te répondre j'ai dû un peu fouiner dans mon cours d'analyse de l'an passé...
pour dégotter le "dernier" théorème de l'année (même pas prouvé... quelle honte pour un cours de maths... :| )

Toujours est-il qu'il dit:

Théorème de dérivabilité sous le signe somme
Soit $X \subset \R^n$ un ouvert et $I \subset \R$ un intervalle ouvert. Soit $f : X \times I \to \R$ une fonction qu'on suppose dérivable sur $X$, et telle qu'il existe $g: I \to \R$ intégrable vérifiant $\forall x \in X, |\partial_x f(x, .) | \leq g$.
Alors la fonction $F: X \to \R; x \mapsto \int_I f(x,t) dt$ est dérivable; et $F'(t) = \int_I \partial_x f(x,t) dt$.


("l'avant-dernier" théorème dit pareil en remplaçant dérivable par continue; la majoration se fait alors sur $f$ et plus sur sa dérivée 'première').
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Re: Dérivation intégrale

Messagepar nirosis » Mercredi 19 Décembre 2007, 23:44

Ok mais c'est pas de ce théorème dont je parlais. L'intervalle $I$ de ton théorème dépend du temps dans mon cas.

@OG, merci, si tu regardes, n'hésite pas à me renseigner ici. :wink:
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Re: Dérivation intégrale

Messagepar OG » Jeudi 20 Décembre 2007, 11:40

Bonjour

Je me suis planté... dans mes notes de cours je fais comme P. Fradin l'a indiqué, "c'est juste une application des théorèmes de composition des fonctions ${\mathcal C}^1$".
En fait cette histoire de changement de variable est utilisée pour démontrer la continuité de

$$\varphi(x,u,v)=\int_u^v f(x,t)dt$$



à la main ce n'est pas bien difficile et par changement de variable ça donne (on oublie le $v$)

$$(u-a)\int_0^1 f(x,a+s(u-a))ds$$



(éventuellement ceci peut être aussi utilisé pour retrouver la formule de dérivation).

Cordialement
O.G. qui a besoin de vacances.
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Re: Dérivation intégrale

Messagepar Tryphon » Jeudi 20 Décembre 2007, 15:27

En posant $u = \frac xt$ dans l'intégrale ?
Pas de questions en MP
La calculatrice, c'est comme Linux, c'est de la merde !
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Re: Dérivation intégrale

Messagepar dark_forest » Lundi 31 Décembre 2007, 13:13

Bonjour,

Si on suppose $f$ bien régulière (continue par rapport à sa seconde variable, continuement dérivable par rapport à sa première), alors le calcul diff marche bien:


On définit $h :  I \longrightarrow C(X, \mathbb{R}) \times I  $ par $h(t)=(f(.,t);t)$ puis $\Psi : C(X, \mathbb{R}) \times I \longrightarrow \mathbb{R}$ par $\psi(g,t)=\int_0^t g(s) ds$.

On a $F=\Psi \circ h$.

$h$ est de classe $C^1$, $\Psi$ aussi car elle est continuement dérivable par rapport à chacune de ses variables, donc $F$ est de classe $C^1$

Il reste alors à conclure : $F^{'}(t)=D\Psi(t).h^{'}(t)=D_1 \Psi (h(t),t). \partial_t f(.,t) + D_2 \Psi (h(t),t).1= \Psi ( \partial_t f(.,t),t) + f(t,t) $ car $\Psi$ est linéaire par rapport à sa première variable.

Donc : $\ds{F^{'}(t)=\int_0^t} \partial_t f(x,t) dx + f(t,t)} $.
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