Dérivation d'une application linéaire

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Dérivation d'une application linéaire

Messagepar renard » Lundi 12 Juin 2006, 17:44

Bonjour,
je rencontre quelques difficultés dans le cadre des équations differentielles linéaires. Je comprend comment l'on obtient la dérivée de t->exp(tA),R->L(E), ou A est une application linéaire de E, qui est t->Aexp(tA)=exp(tA)A.

Mais je ne comprend pas (rigoureusement) comment on obtient alors la dérivée de t->exp(tA)(z), ou z est un élément de E, t->Aexp(tA)(z). C'est censé etre "trivial".

Merci
renard
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Messagepar sotwafits » Lundi 12 Juin 2006, 23:10

Cela résulte simplement de la continuité de l'application linéaire $L(E)\longrightarrow E$, $B\longmapsto B(z)$ ($z$ étant fixé) :

Applique la en remplaçant $B$ par $\dfrac{\exp(tA)-\exp(t_0A)}{t-t_0}$ et fais tendre $t$ vers $t_0$
sotwafits
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Messagepar renard » Mardi 13 Juin 2006, 12:11

Ah d'acc, je forme le forme le taux de variation et j'utilise la continuité. Merci
renard
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Messagepar la main gauche » Mardi 13 Juin 2006, 13:48

Autre façon: pour $t = t_0 + s$

$$
 L(\exp tA)
 = L(\exp t_0 A + s A \exp t_0 A + o(s)) 
 $$


puis

$$
 L(\exp tA) = L(\exp t_0 A) + s L(A \exp t_0 A) + L(o(s)) 
 $$


et pour conclure que la dérivée est ce qu'annoncé, il suffit de prouver que

$$
 L(o(s)) = o(s) \qquad (s\to 0)
 $$


ce qui est le cas lorsque $L$ est un opérateur borné (continu, ce qui est automatique en D.F.).

-- edit --
mauvais code TeX
Quand je mets deux égalités cul à cul, on me dit "possibly dangerous LaTeX code" (!)
la main gauche
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