Démonstration des propriétés de la table de 9

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Démonstration des propriétés de la table de 9

Messagepar M@rion » Lundi 04 Janvier 2010, 21:28

bonjour,

comment prouve-t-on que les différents multiples de 9 jusqu'à 81 sont tous composés des nombres que l'on doit ajouter pour trouver 9 (je ne sais pas comment on appelle ça : compléments réciproques ?)

je pose cette question car ce genre de démonstration est souvent demandé au CRPE

je vous remercie par avance pour votre aide éventuelle
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Re: démonstration des propriétés de la table de 9

Messagepar Arnaud » Lundi 04 Janvier 2010, 21:36

Dans la mesure où cela ne concerne que 9 nombres, il suffit d'écrire les 9 sommes, c'est pas bien long.

Sinon, pour une vraie démo, il faut prouver que la somme des chiffres ( Quersumme en allemand, je ne sais pas comment on dit en français ) d'un multiple de 9 est toujours un multiple de 9. Là, la question est plus intéressante.
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Re: démonstration des propriétés de la table de 9

Messagepar projetmbc » Lundi 04 Janvier 2010, 22:17

Arnaud a écrit:Sinon, pour une vraie démo, il faut prouver que la somme des chiffres ( Quersumme en allemand, je ne sais pas comment on dit en français ) d'un multiple de 9 est toujours un multiple de 9. Là, la question est plus intéressante.

Un peu d'arithmétique modulaire de base donne ce résultat.

10 = 1 modulo 9 permet d'avoir par exemple que 78 = 7 + 8 modulo 10.

Ceci étant dit, avec deux chiffres, on peut faire comme suit. On note xy le nombre 10x+y. On a alors :
xy = (1 + 9)x + y
xy = x + y + 9x
Il est alors facile de voir que xy est divisible par 9 si et seulement si x + y l'est.
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Re: démonstration des propriétés de la table de 9

Messagepar M@rion » Lundi 04 Janvier 2010, 22:33

merci bien, mais pour le CRPE, je pense qu'on attend plutôt une démonstration incluant 9n quelque chose, avec u et d , peut-être en mettant l'accent sur le complément à la dizaine, mais je n'arrive pas à mettre le tout en relation

quoique je pourrais utiliser votre explication avec xy en transposant avec u et 10d , ce qui me gêne c'est pour en déduire une régularité

si de surcroît on me demande d'expliquer que d et u sont permutables, j'ai l'impression que cela n'est pas suffisant
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Re: démonstration des propriétés de la table de 9

Messagepar projetmbc » Lundi 04 Janvier 2010, 22:56

J'ai tout donné pour faire la preuve. Il reste juste à formaliser.
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Re: Démonstration des propriétés de la table de 9

Messagepar M@rion » Mardi 05 Janvier 2010, 20:15

d'accord merci, oui en fait c'est presque exactement pareil j'avais lu trop rapidement

on note du le nombre 10d + u
du = (1 + 9)d + u
du = d + 9 d + u
du est divisible par 9 ssi d + u l'est
avec 5 et 4 par exemple on aura :
54 =( 1 + 9)5 + 4
54 = 5+ 9x5 + 4
54 = 9 + 54
or
9 + 54 = 9(1+5)
= 9n
or un nombre n qui a 9 pour facteur est un multiple de 9.

avec les lettres a et b c'est encore mieux, comme ça je peux les permuter ça ne choque personne puisque ça ne désigne pas par convention les dizaines en particulier ou les unités en particulier :D

merci beaucoup
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Re: Démonstration des propriétés de la table de 9

Messagepar Arnaud » Mardi 05 Janvier 2010, 20:46

M@rion a écrit:on note du le nombre 10d + u
du = (1 + 9)d + u
du = d + 9 d + u
du est divisible par 9 ssi d + u l'est


Oui, c'est ça, sauf que cela ne répond pas complètement à la question que tu poses, si j'ai bien compris.
Il faudrait encore montrer que $d+u=9$ pour $d \leq 8$.
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Re: Démonstration des propriétés de la table de 9

Messagepar M@rion » Mardi 05 Janvier 2010, 22:20

merci
pourquoi cela pose-t-il un problème si u est compris entre 1 et 8 ?
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Re: Démonstration des propriétés de la table de 9

Messagepar Arnaud » Mardi 05 Janvier 2010, 22:37

Cela ne pose aucun problème, je faisais juste remarquer que cette remarque manquait ;)
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Re: Démonstration des propriétés de la table de 9

Messagepar M@rion » Mercredi 06 Janvier 2010, 16:01

:mrgreen: merci, j'aurais dû dire inférieur ou égal à 8 d'ailleurs, pas "compris entre" bidule et machin
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