Définition des mathématiques

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Définition des mathématiques

Messagepar YETIMOU » Dimanche 17 Octobre 2010, 13:59

Bonjour,

J'ai lu dans un dictionnaire la définition des mathématiques:

"Science qui étudie par le raisonnement déductif les propriétés des objets "abstraits" et des relations qui s'établissent entre eux "

Cette définition me semble bonne. En auriez-vous une autre ?

J'essaye de comprendre cette définition :

Si je dis : la fonction carré est croissante sur R+* : je qualifie l'objet : fonction carré, d'être croissante (sur R+*)
Si je dis : 3>2 j'utilise une relation entre deux objets : deux et trois (relation d'ordre)

Il y a dans le le monde mathématique des objets que je peux pas voir et ils ont
des propriétés et des relations (liens entre eux).

J'utilise alors le langage (mots, signes, symboles comme dans "soit n un entier") pour les représenter.
Pour les propriétés et les relations : j'utilise des prédicats comme : "être pair" ou "être situé sur"

Et je dois démontrer des faits mathématiques à l'aide des règles de déduction.

Est-ce bien la bonne vision des maths ?

merci de me répondre.
Yétimou.
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Re: Définition des "maths"

Messagepar evariste_G » Dimanche 17 Octobre 2010, 14:07

Bonjour.
Il me semble difficile de donner une définition exacte de ce que sont les mathématiques, mais il est une phrase que je trouve simple et juste à la fois :

Les mathématiques n'existent pas pour dire la vérité, mais pour dire des choses qui ne rentrent pas en contradiction les unes avec les autres.


Il n'existe donc pas, en mathématiques, UNE vérité mais DES vérités. Cela rejoint la définition que tu as donné.
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Re: Définition des "maths"

Messagepar YETIMOU » Dimanche 17 Octobre 2010, 15:06

Merci pour votre réponse.

L'analyse de ma définition est-elle bonne ?

J'ai des objets que je crée par des définitions.
Je dis, non je démontre des vérités à leurs sujets (relations et propriétés) qui ne sont pas contradictoires.
C'est difficile de manipuler des objets que l'on ne voit pas (comme les objets physiques) en leur donnant des affirmations.
La logique est donc la seule garantie qui me permet d'afffirmer la cohérence de mon propos ?

Yétimou
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Re: Définition des "maths"

Messagepar evariste_G » Dimanche 17 Octobre 2010, 17:50

A en juger par tes questions, j'ai l'impression que tu souhaites construire une nouvelle mathématique ? Est-ce cela ? Si tel est le cas, il me semble qu'il faut toujours partir d'axiomes (affirmations non démontrées que l'on estime vraies). Ensuite, tout doit découler de ces axiomes.
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Re: Définition des "maths"

Messagepar YETIMOU » Jeudi 21 Octobre 2010, 16:04

Mon prof de maths en BTS m'a dit qu'il y a avait deux types de "phrases techniques" en maths:

les définitions/ notations (d'objets ou de propriétés d'objets)
les assertions mathématiques admises ou à démontrer

Il dit aussi que pour les premières, il faut utiliser un jargon particulier:
soit, posons , on note, on désigne, on appelle....
pour les secondes, il s'agit de relations ou de qualités données à des objets mathématiques

Donnez moi des exemples simples donnant ces deux types de phrases clairement.

merci
Yétimou
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Re: Définition des "maths"

Messagepar evariste_G » Jeudi 21 Octobre 2010, 16:59

Ton professeur souhaite être pédagogue sans doute, mais il a oublié les axiomes (qui ne sont, à mes yeux, pas des définitions ni des propriétés). Mais peu importe.

Pour avoir des exemples de vocabulaire concrets, il suffit de lire n'importe quel cours, y compris ceux de collège.
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Re: Définition des "maths"

Messagepar YETIMOU » Jeudi 21 Octobre 2010, 18:14

Pour ce qui est de démontrer, le prof nous a donné un fiche pour "bien démontrer" :

il y est écrit pour démontrer il faut non seulement faire des pas de démonstration (proposition(s) d'entrée; théorème/définition; conclusion)

mais aussi "rajouter" si besoin des données au problème posé : c'est ce qu'il appelle des démarches globales (introduction de noms d'objets, hypothèse auxiliaire,
introduction d'un cas....) .

C'est vrai que quand j'étais au collège, on ne faisait que des pas de démonstration. Là il prétend qu'il ya souvent deux parties dans la démonstration : des propositions rajoutées et des pas.

Que pensez-vous de cette méthode ?
Yétimou.
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Re: Définition des "maths"

Messagepar rebouxo » Jeudi 21 Octobre 2010, 21:13

Pour complexifier les choses je dirais qu'il n'y a pas une mais des maths.
Le côté non contradictoire est certainement un côté important, mais loin d'être le seul (enfin àmha).

Prenons deux exemples :
[*] Les équations différentielles du deuxième ordre sont caractéristiques des mouvements vibratoires : que cela soit des systèmes mécaniques (amortisseurs, perceuse à percussion,...) ou des systèmes électroniques (RLC et autres). Pourtant du point de vue mathématiques (l'objet ici ce sont les équations différentielles) il n'y a pas de différences.
[*] La moyenne et le centre de gravité sont des objets identiques mais qui s'appliquent dans des domaines différents. Mais là aussi il y a des analogies (et pas simplement au niveau de la moyenne, le moment d'inertie et la variance, itou... Et là dedans je pourrais parler des valeurs efficaces en électricité).

On peut voir là un autre point de vue sur ce que sont les maths : une relation entre des situations qui a priori n'ont rien en commun ou une abstraction qui présente une certaine régularité. Au passage ce point de vue est complémentaire et ne s'oppose pas au point de vue sur la non contradiction (par contre, il me semble qu'il explique un peu pourquoi les maths sont aussi efficaces pour prédire les phénomènes naturels). Il me semble que c'est le point de vue de Poincaré et de Bachelard (pour Bachelard j'en suis sur).

Dans les deux cas on a besoin d'un moyen pour manipuler les abstractions mathématiques. Cela passe par un langage, mais je ne suis persuadé que cela ne réduit pas à ce langage. Puisque je parle de langage, je ne suis pas certain qu'il y ait une bonne manière de rédiger. Enfin, moi je n'ai pas ce processus de démonstration et j'aurais beaucoup de mal à détailler en petites étapes comme cela. Mais bon, je ne suis peut-être pas un modèle.

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Re: Définition des "maths"

Messagepar YETIMOU » Vendredi 22 Octobre 2010, 10:42

Existe-t-il un diagramme ou un schéma qui illustre un peu finalement
la démarche mathématique (démonstration, rédaction,...)
l'ensembles des objets étudiés (les plus importants) etc...?

Sinon, donnez-moi la démarche que vous faites quand vous
voulez étudié un nouvel objet mathématique:
- vous apprenez la définition précise et vous le
rattachez à d'autres objets..

J'ai toujours l'impression en maths que lorsqu'on étudie un chapitre,
on ne voit jamais le lien avec les suivants ou les précédents.

mon prof dit qu'il a toujours une vision d'ensemble de cette matière
(sans le dire aux élèves). Alors vous comment faites-vous pour faire ces liens ?
Vous avez dans la tête des schémas, des images etc.. pour finalement emmaganiser
des connaissances ?
Je fais plus facilement des liens avec des objets physiques que des objets abstraits
car eux je peux les immaginer ou les voir concrêtement.

Les liens entre fonctions, courbes, équations, points, etc...., c'est plus dur pour moi.
Comment faut-il faire ?

merci de me répondre
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Re: Définition des "maths"

Messagepar evariste_G » Vendredi 22 Octobre 2010, 11:02

Pour commencer, je dirais que pour comprendre la base de la démonstration, tu pourrais t'interroger sur les déductogrammes (voir mon site pour des exemples). Je les utilise en 5ème et en 4ème parce qu'à ce niveau, les élèves ne sont pas encore à l'aise avec le français et les démonstrations avec des mots donnent souvent n'importe quoi. Pour leur faire comprendre la logique de la démonstration (j'ai fait mon mémoire sur ce sujet), je fais appel à des méthodes (celles d'Oudet entre autres) basiques pour qu'ils comprennent la structure générale : on part d'un fait (les "données") et on se sert de ce que l'on sait (les propriétés ou théorèmes) pour en déduire quelque chose de nouveau.

Sinon, donnez-moi la démarche que vous faites quand vous voulez étudié un nouvel objet mathématique:


Petite parenthèse : ce n'est pas la première fois que tu t'exprimes ainsi ... et c'est fort désagréable ... Il serait plus judicieux de dire :

Pouuriez-vous me donner la démarche ...


N'oublions pas la politesse et le respect (comme disait ma mère, il n'y a que le roi qui exige ...).

Cette parenthèse étant faite, "étudier un nouvel objet mathématique" est trop flou et il n'existe pas qu'une démarche pour aborder un problème.

J'ai toujours l'impression en maths que lorsqu'on étudie un chapitre, on ne voit jamais le lien avec les suivants ou les précédents.


C'est le problème de l'Educ. Nat. à mes yeux, mais c'est aussi un bon moyen d'apprendre ... On ne peut pas aborder un thème en le connectant à d'autres sans embrouiller les élèves. Par contre, on peut faire appel à une notion déjà vue avant quand on aborde une nouvelle notion.

Ton prof a raison quand il dit qu'il a une vision d'ensemble : c'est le résultat de ses études et sans connaissances "poussées", on ne peut pas aborder les mathématiques comme si on en avait ; c'est la raison pour laquelle, avant de se lancer dans une réflexion sur un sujet donné, il faut prendre garde d'avoir assez de connaissances (enfin, il y en a qui y arrive ... ou qui disent qu'ils y arrivent ... Je fais référence notamment aux étudiants de première année de fac qui donnent des cours particuliers et qui ne maîtrisent pas du tout certains sujets ; du coup, ils abordent mal ces sujets et ne font que du "technique" pour résoudre des problèmes basiques, mais bon ... je m'égare !).

Pour finir, je dirais que je ne sais pas du tout où tu veux en arriver avec tes questions. Cela pourrait nous aider de savoir quel est ton but final parce que là, tu parles dans le flou. On peut te dire plein de choses mais si on ne cerne pas ce que tu veux en faire, notre discours peut ne pas te servir. La pédagogie, c'est aussi s'adapter aux besoins de son interlocuteur. Alors, si toutes ces questions ont un but, explique-nous le s'il te plaît.

PS : tu poses aussi des questions qui ne peuvent avoir de réponse. Par exemple :

Les liens entre fonctions, courbes, équations, points, etc...., c'est plus dur pour moi.
Comment faut-il faire ?


Personnellement, je ne vois pas quoi répondre. Pour qu'il y ait une réponse limpide, il faut que la question le soit aussi :wink:
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Re: Définition des "maths"

Messagepar rebouxo » Vendredi 22 Octobre 2010, 12:12

les élèves ne sont pas encore à l'aise avec le français et les démonstrations avec des mots donnent souvent n'importe quoi.


Et là il y a certainement un problème que l'éducation nationale ne veux pas prendre en charge, et donc nous mettons un cautère sur une jambe de bois. Ils comprennent peut-être la démonstration, mais sont incapables de communiquer dessus...

Je partage le reste de ton message.


Par contre quand je rencontre un nouvel objet mathématique, je pars d'exemples et non de la définition. Une fois que j'ai bien étudié ces objets, je peux ensuite étudier théoriquement.

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Re: Définition des "maths"

Messagepar evariste_G » Vendredi 22 Octobre 2010, 12:15

rebouxo a écrit:Par contre quand je rencontre un nouvel objet mathématique, je pars d'exemples et non de la définition. Une fois que j'ai bien étudié ces objets, je peux ensuite étudier théoriquement.


Ah oui, mais là, moi, je parlais de la démarche mathématique hors contexte éducatif. Je me mets à la place de la personne qui souhaite étudier un objet mathématique, pas du professeur qui souhaite enseigner l'objet :wink: Sinon, effectivement, en cours, il vaut mieux voir des choses "concrètes" pour les élèves afin qu'ils sentent intuitivement ce qui va se passer (d'où les activités introductives des chapitres).
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Re: Définition des "maths"

Messagepar YETIMOU » Vendredi 22 Octobre 2010, 12:55

Personnellement, je trouve que les activités mathématiques "préparatoires" qui présentent les
notions sont très mal faites.
On ne les comprend que lorsqu'on a étudié les notions et lorqu'on a fait les exercies ou problèmes du
chapitre....

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Re: Définition des "maths"

Messagepar YETIMOU » Vendredi 22 Octobre 2010, 12:58

Il semble fort malheureux que l'on ne puisse pas
expliquer la démonstration clairement à nous les élèves
sachant que les maths sont essentiellement du raisonnement.

Il semble donc fort regrettable que les maths ne restent que des recettes
de cuisine sans contenu...

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Re: Définition des "maths"

Messagepar rebouxo » Vendredi 22 Octobre 2010, 15:03

evariste_G a écrit:
rebouxo a écrit:Par contre quand je rencontre un nouvel objet mathématique, je pars d'exemples et non de la définition. Une fois que j'ai bien étudié ces objets, je peux ensuite étudier théoriquement.


Ah oui, mais là, moi, je parlais de la démarche mathématique hors contexte éducatif. Je me mets à la place de la personne qui souhaite étudier un objet mathématique, pas du professeur qui souhaite enseigner l'objet :wink: Sinon, effectivement, en cours, il vaut mieux voir des choses "concrètes" pour les élèves afin qu'ils sentent intuitivement ce qui va se passer (d'où les activités introductives des chapitres).


Pourquoi y aurait-il deux démarches une scolaire et une autre ? Et j'ai presque l'impression que tu mets un ordre entre ces deux démarches, comme si l'une était dévalorisée !!!! ? ! ?
C'est bizarre ta remarque parce que j'ai bien parlé de moi (la phrase est à la première personne du singulier) et pas d'un contexte scolaire ... Je vais même aller un peu plus loin : il y a des choses que j'ai comprise en maths après avoir été enseignant parce que j'ai du les réétudier à partir d'exemples ! Je pense aux proba, j'en ai fait très peu et essentiellement d'un côté très théorique et d'une construction mathématiques. C'est pas super génial pour enseigner après (comme tu le fais très bien remarqué avec ton exemple sur les cours particuliers) je encore manque de recul.

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Re: Définition des "maths"

Messagepar evariste_G » Vendredi 22 Octobre 2010, 15:25

rebouxo a écrit:Pourquoi y aurait-il deux démarches une scolaire et une autre ? Et j'ai presque l'impression que tu mets un ordre entre ces deux démarches, comme si l'une était dévalorisée !!!! ? ! ?


Dans un premier temps, je tiens à mettre l'accent sur le fait qu'il n'y a dans mon esprit aucune dévalorisation de quelle que démarche que ce soit. L'important, c'est qu'à la fin, on comprenne de quoi l'on parle.

Pur moi, il y a bien plusieurs démarches effectivement. Quand un enseignant aborde une notion avec ses élèves, il sait où il va et les exercices, les activités et le cours doivent, à mon avis, être faits de sorte à mener l'élève là où il veut (bon, j'avoue que c'est théorique ...).
Le mathématicien, quand il aborde un nouvel objet mathématique, ne saura pas nécessairement où il va (cela dépend du contexte sans doute) et sa démarche sera plus hasardeuse.
Maintenant, à chacun sa façon de procéder : personnellement, quand je travaille sur les suites numériques, il me faut toujours des exemples concrets donc je suis comme toi Olivier :wink: Ma démarche est plus "scolaire" car c'est une habitude de prof ... Mais je me doute que les chercheurs doivent travailler différemment. A confirmer car je n'en connais pas.

Je pense qu'il y a eu quiproquo : j'ai distingué la façon dont on expose une notion en cours et la recherche mathématique, pas la démarche que l'on peut avoir pour aborder un problème ... C'est donc moi qui me suis mal exprimé sans doute.

YETIMOU a écrit:Il semble fort malheureux que l'on ne puisse pas expliquer la démonstration clairement à nous les élèves


A certains niveaux, on ne peut pas tout démontrer, sinon, comment démontrer en collège que le volume d'une boule de rayon $r$ est $\frac{4}{3}\pi r^3$ ? La notion d'intégrale n'étant vue qu'en terminale ... ça semble difficile ! Certains résultats sont démontrés avec des outils bien plus sophistiqués que ceux vu au niveau où on le voit ... D'où quelques fois le manque d'explications. C'est frustrant, mais on ne peut pas faire grand-chose ... enfin, je crois :D

YETIMOU a écrit:Personnellement, je trouve que les activités mathématiques "préparatoires" qui présentent les notions sont très mal faites.


Hum ... je ne répondrais pas à cela ... :D
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Re: Définition des "maths"

Messagepar YETIMOU » Vendredi 22 Octobre 2010, 19:02

Je ne comprends pas vraiment votre explication... Elle est très très floue.....

En maths , on ne fait pas que découvrir des notions.
On cherche aussi des exercices : c'est bien de la recherche mathématique, non ?

Quand on est devant un nouveau problème, il me semble que il y a toute une démarche
de réflexion pour atteindre le but recherché....

Votre explication me semble très vague...

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