Définition de la mesure d'angle sur une sphère

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Définition de la mesure d'angle sur une sphère

Messagepar loïc67 » Vendredi 27 Mai 2016, 02:10

Bonjour,
Comment est-il possible de définir la mesure d'un angle sur une sphère de manière intrinsèque (sans passer par les tangentes des côtés(géodésiques) de cet angle) ?
Est-ce possible avec l'aire et la courbure ?

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Re: définition de la mesure d'angle sur une sphère

Messagepar bibi6 » Samedi 28 Mai 2016, 08:22

Bonjour,

De mes vagues rappels de mécanique, je t'invite à explorer la piste d'angle solide... dont je ne me rappelle plus très bien la définition :|
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Re: définition de la mesure d'angle sur une sphère

Messagepar loïc67 » Lundi 30 Mai 2016, 22:44

Bonjour,
Merci pour votre réponse, mais j'aimerais avoir une définition intrinsèque qui ne fasse pas appel à un espace dans lequel serait plongée la sphère.
Bon voilà où j'en suis :
$\alpha = \frac{A}{2} C^2$ avec A l'aire de mon angle et C la courbure de la sphère. J'ai trouvé ça en montrant que A est proportionnelle a l'angle.
En ce qui concerne la courbure de la sphère, je pensais utiliser la somme des mesures des angles d'un triangle $A \times C^2 = \left ( \sum_{i=1}^{3} \widehat{A_i} \right ) - \pi$, mais j'ai bien l'impression de tourner en rond.
En effet, pour obtenir ma courbure, il me faut pouvoir mesurer mes angles. En plus, comment faire pour obtenir l'aire sans passer par la courbure ?
Je résume la situation :
En géométrie euclidienne dans le plan on peut :
1. définir le radian juste avec des longueurs.
2. montrer que la somme des angles vaut $\pi$ radians.
3. trouver la courbure de l'espace dans lequel on est en train de travailler (le plan) : avec $C^2 = \frac{\left ( \sum_{i=1}^{3} \widehat{A_i} \right ) - \pi}{A}$ on obtient C= 0.

J'aurais aimé faire à peu près (car sur une sphère la somme des mesures des angles n'est pas constante, mais $\frac{\left ( \sum_{i=1}^{3} \widehat{A_i} \right ) - \pi}{A}$ l'est) la même chose dans $S_2$, c'est-à-dire sans faire appel à $\mathbb{R}^3$.

Loïc
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