Construction de R

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Construction de R

Messagepar projetmbc » Lundi 15 Mars 2010, 12:27

Bonjour,
je cherche différentes constructions de R avec leurs preuves : suites de Cauchy dans Q, coupures de Dedekind, développement décimaux infinis...

Toute info. est la bienvenue.
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Re: Construction de R

Messagepar Valvino » Lundi 15 Mars 2010, 15:27

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Re: Construction de R

Messagepar Tonn83 » Lundi 15 Mars 2010, 15:33

Je te conseille la lecture du livre de Mainzer et Remmert, Les nombres : leur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles. Voir http://www.amazon.fr/nombres-histoire-l ... 2711789012. Le chapitre II est consacré aux nombres réels, et est très bien fait.

Si on admet l'existence de R, toute application additive $f$de N dans Z vérifie $f(n)=nf(1)$. Les réels peuvent donc être vus comme les pentes des applications additives de N dans R. Une application $f$ de N dans R est quasi-additive si $f(n+m)-f(n)-f(m)$ est borné. Dans ce cas, $f(n)/n$ converge dans R et si a est la limite alors $f(n)-an$ est bornée. Les fonctions bornées sont quasi-additives et la somme de deux fonctions quasi-additives est quasi-additive.

Le corps des nombres réels peut être défini comme suit :
  • R est l'ensemble des classes d'applications quasi-additives de N dans Z à application bornée près,
  • + est la loi induite par la somme d'applications quasi-additives,
  • La multiplication est la loi induite par la composition,
  • Etant données deux applications quasi-additives $f$ et $g:\N\rightarrow\Z$, $f< g$ si $g(n)-f(n)$ est positivf pour $n$ suffisamment grand.
  • Si a représente la classe de $f$, la valeur absolue de $a$ est la classe de $n\mapsto |f(n)|$.
Des justifications sont nécessaires. Cette construction est récente. Elle est par exemple présenté dans cet article : http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0405/0405454v1.pdf. Elle a l'avantage de ne pas avoir à introduire les nombres rationnels.
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Re: Construction de R

Messagepar projetmbc » Lundi 15 Mars 2010, 17:32

Sympa cette dernière construction. Va falloir que je regarde cela.

Merci à tous les deux pour vos liens.
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Re: Construction de R

Messagepar rebouxo » Mardi 16 Mars 2010, 08:28

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Re: Construction de R

Messagepar projetmbc » Mercredi 17 Mars 2010, 13:40

Merci.

Pour la construction des réels via des nombres à écritures décimales infinies, si quelqu'un a un doc. je serais preneur même si j'ai une petite idée pour faire cela via des séries formelles.
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