Conjecture en arithmétique

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Conjecture en arithmétique

Messagepar PaulEl » Mardi 01 Décembre 2009, 22:35

Le titre du sujet est faux car en réalité je n'ai pas de conjecture...

Voila mon problème :
Considérons tout d'abord les nombres 2, 5 et 13.
On a :

$2*5-1=9$ carré parfait
$2*13-1=25$ carré parfait
$5*13-1=64$ carré parfait

La question est :
Existe-t-il un quatrième nombre, compatible avec les 3 précédents, c'est à dire

$n_{4}\in N/$
$2*n_{4}-1=(a_{1})^{2}$
$5*n_{4}-1=(a_{2})^{2}$
$13*n_{4}-1=(a_{3})^{2}$

???

Après quelques essais maple, voila mes conclusions :

-S'il y en a un, il est très, très grand
-Il en existe pas mal qui ne vérifient la propriété qu'avec 2 des trois premiers nombres (2 5 et 13) mais la suite de ces nombres grandit très très vite.

Mathématiquement parlant, je n'ai absolument rien réussi à faire.

Je n'ai donc aucune idée même du résultat possible.
Connaissez-vous ce problème ? Ou avez vous des idées ?
Merci en tout cas de votre lecture voire de votre participation ! Bonne chance pour m'aider ^^

Paul-Elliot


PS : ce problème m'as été donné par le père d'un copain. Je lui ais envoyé un mail pour lui demander d'où il le tient. Je post dès que j'ai sa réponse.
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Re: Conjectureen arithmétique

Messagepar PaulEl » Mardi 15 Décembre 2009, 17:59

On suppose donc qu'il existe t tel que 2t-1=a^2,
5t-1=b^2 et 13t-1=c^2, d'ou

2b^2-5a^2=3 (1)

2c^2-13a^2=11 (2)

5c^2-13b^2=8 (3) .

Par (3) b et c ont meme parite, par (1) a est impair.
Modulo 8 le carre d'un impair vaut 1, donc par (1) on a:
2b^2=0 [8] ainsi b est pair (et donc aussi c).
Posons b=2r, c=2s. Par (3): 5s^2-13r^2=2.
Donc modulo 4 on a : s^2-r^2=2 [4]. mais modulo 4 un carre ne peut valoir
que 0 ou 1, c'est donc impossible.

Ainsi le nombre t cherche n'existe pas !

(la solution n'est pas de moi)
PaulEl
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