Conjecture d'Algibri

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Conjecture d'Algibri

Messagepar Algibri » Lundi 25 Juin 2007, 21:54

Prenez un entier quelconque n.
Si n est divisible par 3, divisez-le par 3
Si n n'est pas divisible par 3, multipliez-le par 4 et ajoutez 1

Le calcul sera long mais vous aboutirez à 1.

n= 10

10 non divisible par 3

donc (4*10) +1 =41

41 pas divisible par 3

donc (41*4)+1 = 165

165 divisible par 3

donc 165/3=55

etc....

La suite convergera vers 1 après de longs calculs.

Vérifiez!
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Messagepar jobherzt » Lundi 25 Juin 2007, 23:23

ya comme une vague ressemblance avec la conjecture de Syracuse.....
jobherzt
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Messagepar Framboise » Mardi 26 Juin 2007, 00:16

ya comme une vague ressemblance avec la conjecture de Syracuse.....


Que l'on appelle parfois les suites d'Ulam :

http://perso.orange.fr/jean-paul.davala ... index.html
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A
http://mathworld.wolfram.com/UlamSequence.html

Il y a la Spirale d'Ulam, mais c'est tout autre chose:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Spirale_d'Ulam
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
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Messagepar Algibri » Mardi 26 Juin 2007, 01:52

jobherzt a écrit:ya comme une vague ressemblance avec la conjecture de Syracuse.....


C'est une extension de la conjecture de Syracuse et cela n'a rien à voir avec les séquences d'Ulam.

La conjecture de Syracuse fonctionne aussi avec (3*n)-1 car :

2^k= (3*n)+ ou - 1 (équation1)

Il existera toujours un nombre n tel que l'équation 1 soit vérifiée

2= 3 -1
4= 3+1
8= 9 - 1
16=15+1
32=33-1
64=63+1

etc....

2^k=(3*n)+((-1)^n)

Ce qui explique la conjecture de Syracuse.
On finit par tomber inéluctablement sur un n tel que (3*n)+1 égal à (2^k)
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Re: Conjecture d'Algibri

Messagepar bibi6 » Jeudi 28 Juin 2007, 21:28

Bonsoir,

Algibri a écrit:Prenez un entier quelconque n.
OK, posons n=1.
Si n est divisible par 3, divisez-le par 3
Si n n'est pas divisible par 3, multipliez-le par 4 et ajoutez 1
4n+1 = 5.
Le calcul sera long mais vous aboutirez à 1.

n= 10

10 non divisible par 3

donc (4*10) +1 =41

41 pas divisible par 3

donc (41*4)+1 = 165

165 divisible par 3

donc 165/3=55

etc....

La suite convergera vers 1 après de longs calculs.

Vérifiez!


Mais puisque 1 est envoyé sur 5, ça ne peut mal de converger vers 1...
Voilà la suite générée au départ de 1 (les > indiquant une itération):

1 > 5 > 21 > 7 > 29 > 117 > 39 > 157 > 629 > 2517 > 839 > 3357 > 1119 > 373 > 1493 > 5973 > 1991 > 7965 > 2655 > 885 > 295 > 1181 > 4725 > 1575 > 525 > 175 > 701 > 2805 > 935 > 3741 > 1247 > 4989 > 1663 > 6653 > 26613 > 8871 > 2957 > 11829 > 3943 > 15773 > ....

(je vois mal qu'on redescende sur 1, peut-être bien plus loin...)

Peut-être peux-tu dire que tu obtiens un 1 après un certain nombre d'itérations, mais pas de convergence.
bibi6
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Re: Conjecture d'Algibri

Messagepar Algibri » Vendredi 29 Juin 2007, 05:00

bibi6 a écrit:Bonsoir,

Algibri a écrit:Prenez un entier quelconque n.
OK, posons n=1.
1 > 5 > 21 > 7 > 29 > 117 > 39 > 157 > 629 > 2517 > 839 > 3357 > 1119 > 373 > 1493 > 5973 > 1991 > 7965 > 2655 > 885 > 295 > 1181 > 4725 > 1575 > 525 > 175 > 701 > 2805 > 935 > 3741 > 1247 > 4989 > 1663 > 6653 > 26613 > 8871 > 2957 > 11829 > 3943 > 15773 > ....

(je vois mal qu'on redescende sur 1, peut-être bien plus loin...)

Peut-être peux-tu dire que tu obtiens un 1 après un certain nombre d'itérations, mais pas de convergence.


Il y a une erreur dans ta séquence 39 est divisible par 3.
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Messagepar bibi6 » Dimanche 01 Juillet 2007, 15:19

Bonjour,

Petit plantage en effet: c'est pas pratique de le faire à la main!!!
Donc j'ai programmé la fonction. Lancée sur 1 (300 itérations) ça donne:
Code: Tout sélectionner
5
21
7
29
117
39
13
53
213
71
285
95
381
127
509
2037
679
2717
10869
3623
14493
4831
19325
77301
25767
8589
2863
11453
45813
15271
61085
244341
81447
27149
108597
36199
144797
579189
193063
772253
3089013
1029671
4118685
1372895
5491581
1830527
7322109
2440703
9762813
3254271
1084757
4339029
1446343
5785373
23141493
7713831
2571277
10285109
41140437
13713479
54853917
18284639
73138557
24379519
97518077
390072309
130024103
520096413
173365471
693461885
2773847541
924615847
3698463389
14793853557
4931284519
19725138077
78900552309
26300184103
105200736413
420802945653
140267648551
561070594205
2244282376821
748094125607
2992376502429
997458834143
3989835336573
1329945112191
443315037397
1773260149589
7093040598357
2364346866119
9457387464477
3152462488159
12609849952637
50439399810549
16813133270183
67252533080733
22417511026911

7472503675637
29890014702549
9963338234183
39853352936733
13284450978911
53137803915645
17712601305215
70850405220861
23616801740287
94467206961149
377868827844597
125956275948199
503825103792797
2015300415171189
671766805057063
2687067220228253
10748268880913013
3582756293637671
14331025174550685
4777008391516895
19108033566067581
6369344522022527
25477378088090109
8492459362696703
33969837450786813
11323279150262271
3774426383420757
1258142127806919
419380709268973
1677522837075893
6710091348303573
2236697116101191
8946788464404765
2982262821468255
994087607156085
331362535718695
1325450142874781
5301800571499125
1767266857166375
7069067428665501
2356355809555167
785451936518389
3141807746073557
12567230984294229
4189076994764743
16756307979058973
67025231916235893
22341743972078631
7447247990692877
29788991962771509
9929663987590503
3309887995863501
1103295998621167
4413183994484669
17652735977938677
5884245325979559
1961415108659853
653805036219951
217935012073317
72645004024439
290580016097757
96860005365919
387440021463677
1549760085854709
516586695284903
2066346781139613
688782260379871
2755129041519485
11020516166077941
3673505388692647
14694021554770589
58776086219082357
19592028739694119
78368114958776477
313472459835105909
104490819945035303
417963279780141213
139321093260047071
557284373040188285
2229137492160753141
743045830720251047
2972183322881004189
990727774293668063
3962911097174672253
1320970365724890751
5283881462899563005
21135525851598252021
7045175283866084007
2348391761288694669
782797253762898223
3131189015051592893
12524756060206371573
4174918686735457191
1391639562245152397
5566558248980609589
1855519416326869863
618506472108956621
2474025888435826485
824675296145275495
3298701184581101981

13194804738324407925
4398268246108135975
17593072984432543901
70372291937730175605
23457430645910058535
93829722583640234141
375318890334560936565
125106296778186978855
41702098926062326285
166808395704249305141
667233582816997220565
222411194272332406855
889644777089329627421
3558579108357318509685
1186193036119106169895
4744772144476424679581
18979088577905698718325
6326362859301899572775
25305451437207598291101
8435150479069199430367
33740601916276797721469
134962407665107190885877
44987469221702396961959
179949876886809587847837
59983292295603195949279
239933169182412783797117
959732676729651135188469
319910892243217045062823
1279643568972868180251293
5118574275891472721005173
1706191425297157573668391
6824765701188630294673565
27299062804754521178694261
9099687601584840392898087
3033229200528280130966029
12132916802113120523864117
48531667208452482095456469
16177222402817494031818823
64708889611269976127275293
21569629870423325375758431
7189876623474441791919477
2396625541158147263973159
798875180386049087991053
3195500721544196351964213
1065166907181398783988071
4260667628725595135952285
1420222542908531711984095
5680890171634126847936381
22723560686536507391745525
7574520228845502463915175
30298080915382009855660701
10099360305127336618553567
40397441220509346474214269
13465813740169782158071423
53863254960679128632285693
215453019842716514529142773
71817673280905504843047591
23939224426968501614349197
95756897707874006457396789
31918965902624668819132263
10639655300874889606377421
42558621203499558425509685
170234484813998233702038741
56744828271332744567346247
226979313085330978269384989
907917252341323913077539957
302639084113774637692513319
1210556336455098550770053277
403518778818366183590017759
1614075115273464734360071037
6456300461093858937440284149
2152100153697952979146761383
8608400614791811916587045533
2869466871597270638862348511
11477867486389082555449394045
45911469945556330221797576181
15303823315185443407265858727
5101274438395147802421952909
20405097753580591209687811637
81620391014322364838751246549
27206797004774121612917082183
9068932334924707204305694061
36275729339698828817222776245
12091909779899609605740925415
48367639119598438422963701661
16122546373199479474321233887
64490185492797917897284935549
21496728497599305965761645183
85986913990397223863046580733
343947655961588895452186322933
114649218653862965150728774311
38216406217954321716909591437
152865624871817286867638365749
50955208290605762289212788583
203820833162423049156851154333
67940277720807683052283718111
271761110883230732209134872445
90587036961076910736378290815
362348147844307642945513163261
1449392591377230571782052653045


La suite n'est guère mieux: les nombres explosent!


Et même avec 10, ton exemple de départ... après 300 itérations, on a droit au nombre... 171954339577256790645. Et ça explose encore après (des nombres à 80 chiffres au-delà de la 1200e itération...)

Donc là, désolé pour le coup, la conjecture semble fausse. (A moins qu'une preuve rigoureuse ne trompe les résultats?)
bibi6
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Messagepar Algibri » Dimanche 01 Juillet 2007, 18:15

Tu as raison.
J'ai commis une erreur c'est un moins au lieu d'un plus

4n-1 et non 4n+1

En fait ce fut une intuition au départ ....

3^k est soit égal à 4n+1 ou 4n-1

Il y a un effet "boomerang" qui fait que l'on retourne à la séquence

3^k
3^(k-1)
3^(k-2)
.....
9
3
1

On peut faire le même raisonnement avec 5^k ou 7^k etc...p^k
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Messagepar bibi6 » Lundi 02 Juillet 2007, 12:41

Ben même, c'est râpé.
J'ai modifié le + en - (enfin, comme j'ai gardé les BigInteger de java, j'ai remplacé add() par subtract()...); ben pour certains nombres il n'y a pas "convergence" (je vais plutôt dire 'descente vers 1' car à nouveau, 1 n'est pas envoyé sur 1, mais sur 3 qui lui-même renvoie sur 1.)

Pour 1 et 2, pas de problème: 2 > 7 > 27 >...
Pour 3... c'est OK.
Pour 4: KO. Voilà la suite lancée:
Code: Tout sélectionner
15
5
19
75
25
99
33
11
43
171
57
19
[...]
75
25
99
33
11
43
171
57
19

Même phénomène pour 5, et 8, et même boucle.
6 est envoyé sur 2; 7 sur 27; 9 est une puissance de 3.
Pour 10:
Code: Tout sélectionner
39
13
51
17
67
267
89
355
1419
473
1891
7563
2521
10083
3361
13443
4481
17923
71691
23897
95587
382347
127449
42483
14161
56643
18881
75523
302091
100697
402787
1611147
537049
2148195
716065
2864259
954753
318251
1273003
5092011
1697337
565779
188593
754371
251457
83819
335275
1341099
447033
149011
596043
198681
66227
264907
1059627
353209
1412835
470945
1883779
7535115
2511705
837235
3348939
1116313
4465251
1488417
496139
1984555
7938219
2646073
10584291
3528097
14112387
4704129
1568043
522681
174227
696907
2787627
929209
3716835
1238945
4955779
19823115
6607705
26430819
8810273
35241091
140964363
46988121
15662707
62650827
20883609
6961203
2320401
773467
3093867
1031289
343763

ça explose moins vite que l'ancienne formule, mais ça garde la tendance (nombre à 80 chiffres atteint vers la 1415e itération).

De manière globale, ça a encore tendance à exploser. Peut-être faut-il raffiner la formule (et mieux voir le lien avec le conjecture de Syracuse).
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Messagepar Algibri » Lundi 02 Juillet 2007, 14:13

Merci pour toutes les remarques et vérifications.
La conjecture de Syracuse est probablement un cas particulier d'une loi plus générale.
Comme tu dis, il faudrait penser à trouver une formule qui serait valable pour 3^k, 5^k, 7^k,....p^k

Cet effet boomerang où l'on part de n'importe quel nombre pour retourner à la valeur 1 ne se limite pas au cas unique de Syracuse.

Par quel biais ou formule peut-on à partir d'un nombre quelconque tomber sur une puissance k?
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