[CRPE] Combinatoire

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[CRPE] Combinatoire

Messagepar M@rion » Vendredi 11 Avril 2008, 19:58

Bonjour,

Quelle est la formule pour calculer le nombre de combinaisons possibles de tous les éléments d'un ensemble E composé de n éléments ?

C'est sans doute assez facile mais je me perds à chaque fois :oops:

Merci d'avance (je dois savoir le faire pour le concours)
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Re: [CRPE] combinatoire

Messagepar Valvino » Vendredi 11 Avril 2008, 20:56

Pour ton premier élément, combien as-tu de choix?

Une fois le premier choisi, combien de choix pour le deuxième?

Une fois le $k$-ième choisi (pour $k\in\{1,\ldots,n-1\}$), combien de choix pour le $k+1$-ième?

Donc en tout, combien de choix?
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Re: [CRPE] combinatoire

Messagepar M@rion » Vendredi 11 Avril 2008, 21:16

Merci.
Je crois comprendre le principe mais n'y-a-t-il pas une formule générique pour n'importe quel nombre d'éléments ?
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Re: [CRPE] combinatoire

Messagepar Valvino » Vendredi 11 Avril 2008, 21:21

Bah alors tu n'as pas compris le truc, parce que ma démarche te donne justement la formule générique!

Le premier, j'ai $n$ choix. Le deuxième $n-1$ choix. Le $k$-ième j'ai $n-k+1$ choix.

Donc en tout combien de choix?
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar M@rion » Samedi 12 Avril 2008, 08:52

Bonjour,

Tout d'abord merci. Oui j'avais bien compris qu'il s'agissait d'une formule, et non, car il doit bien y avoir autre chose dans le cas où l'ensemble est composé d'un très grand nombre d'éléments et que je ne peux pas reproduire et adapter cette formule un nombre de fois identique à n dans le cas où il y aurait mettons 1000 éléments, et là cette formule ne me semble pas adaptée parce que j'ai sans doute mal compris son emploi possible (en plus je ne maîtrise pas les termes donc c'est difficile à expliquer).
En fait ma question est simple, comment dois-je procéder quand je ne peux matériellement pas détailler toutes les possibilités ?
On me dit que
- la formule est : C(n,k) = n!/[k!(n-k)! ou k! = 1x2x3x...xk avec 0! = 1 et 1! = 1
1) qu'est ce que "0!"? que symbolise le "!" ?
2) puis-je avoir un exemple ?
- à distinguer de : 2^n = C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) (ce qui ressemble au "binôme de Newton" dont on m'a parlé également)
Quel est le cas qui correspond à l'ensemble de tous les cas possibles comprenant tous les éléments possibles d'un ensemble donné ?
J'ai besoin que tout cela soit un peu clarifié, un grand merci.
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar kojak » Samedi 12 Avril 2008, 12:05

bonjour,
M@rion a écrit:1) qu'est ce que "0!"? que symbolise le "!" ?
2) puis-je avoir un exemple ?
ben tu l'as écrit $k!=1\times 2\times 3 \times\ldots\times (k-1)\times k$. Le $!$ se lit factorielle, et par exemple factorielle 6 s'écrit $6!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6 = 720$.
Par convention tu as $0!=1$ :wink:
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar M@rion » Samedi 12 Avril 2008, 14:30

Bonjour,

Merci pour cette explication. Je ne voudrais abuser de la gentillesse de personne, mais pourrait-on me donner un exemple concret en lui appliquant les différentes formules possibles ? Pour l'instant c'est trop abstrait pour moi.

Merci d'avance
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar M@rion » Samedi 12 Avril 2008, 16:56

Re-bonjour,

Je viens d'aller faire un tour sur google et de consulter l'article de Wikipédia consacré à la question (http://fr.wikipedia.org/wiki/Combinatoire), il y a tout un tas de formules qui sont pour moi aussi osbcures les unes que les autres :oops: , est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer comment elles doivent se lire ? :roll:

Merci beaucoup c'est important
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar Arnaud » Samedi 12 Avril 2008, 17:08

Il faut commencer par le début :

Tu as 10 places alignées devant toi, et 10 personnes qui veulent s'y installer.
De combien de manières différentes peuvent s'assoir ces personnes ?
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar M@rion » Samedi 12 Avril 2008, 17:43

Bonjour,

Si vous y tenez vraiment, je me lance, mais le résultat n'est pas garanti...
Alors tout d'abord je serais tentée de dire qu'il s'agit d'un problème de combinaisons sans répétition (et là j'ai un doute parce que la formule que je vois dans l'article me semble plus complexe).
Ensuite, je serais tentée de faire un arbre, mais rien qu'avec 10 éléments, c'est matériellement impossible, je suis donc obligée d'appliquer une formule...
Et si j'applique la formule qu'on m'a gracieusement donnée au début de ce post, je fais le calcul suivant (à moins que je ne sache pas l'appliquer) :

Nommons N le nombre de combinaisons possibles :
N = 10*(10-1)*(10-2)*(10-3)*(10-4)*(10*5)*(10-6)*(10-7)*(10-8)*(10-9)
N = (10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1)
N = 3628800 ???
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar Arnaud » Samedi 12 Avril 2008, 17:48

Exact, c'est précisément 10! ( ça s'appelle une permutation )
Tu comprends maintenant bien que si on doit travailler avec 200 personnes, mieux vaut introduire une notation pratique que de remplir des pages de calculs évidents.

On change le problème : les 10 chaises sont toujours là, mais seulement 4 personnes veulent s'assoir. Combien de possibilités différentes ?
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar M@rion » Samedi 12 Avril 2008, 18:01

Pardon j'avais mal compris. Pour la deuxième question, je dirais 40.
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar Arnaud » Samedi 12 Avril 2008, 18:08

Pourquoi ?
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar M@rion » Samedi 12 Avril 2008, 18:15

Parce que chaque personne peut prendre soit la place n°1, soit la place n°2, soit la place n°3, et ainsi de suite ? C'est vrai qu'il faudrait exclure trois éléments à chaque fois, ce que je n'ai pas fait dans mon calcul, mais cela n'empêche pas que chaque personne a dix possibilités au total (je suis très maladroite, il faut être indulgent). Comment puis-je formaliser le problème ?
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar Arnaud » Samedi 12 Avril 2008, 18:18

La première personne qui vient s'assoir a combien de choix possibles ?
Et ensuite, la 2ème personne ?
Etc...
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar M@rion » Samedi 12 Avril 2008, 18:24

La première personne a dix possibilités, ce qui en laisse 9 à la seconde, 8 à la troisième, et 7 à la quatrième, donc pour les quatre réunies, 10+ 9 + 8 + 7 = 34
Mais chaque personne peut choisir une des dix places, donc on multiplie par 10, ce qui fait 340 ?
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar Arnaud » Samedi 12 Avril 2008, 18:36

Non, une personne ne peut en même temps avoir le choix de 8 places ( par exemple ) et de 10 places, ça ne tient pas debout.
On a par contre bien la suite de choix 10 - 9 - 8 - 7, mais ce n'est pas une addition qui va te donner le nombre total de possibilités ( de même, si tu as le choix entre 5 entrées et 4 plats, le nombre de menus possibles n'est pas 9 ).
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar M@rion » Samedi 12 Avril 2008, 20:10

Donc 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 ?
Je ne maîtrise pas du tout ce genre de problèmes. Je viens de trouver un site avec exercices corrigés qui m'a l'air intéressant :
http://mathscyr.free.fr/themes/combinatoire/combinatoireEXOSCORRIGES/denombrementsEXOSCORRIGES.pdf.
Je reviendrai sans doute vers vous pour des questions plus ciblées, et notamment parce que je crains de ne pas avoir les outils mathématiques pour la lecture des formules.
Merci pour votre aide.
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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar Arnaud » Dimanche 13 Avril 2008, 11:35

M@rion a écrit:Donc 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 ?


Oui.
Pour simplifier l'écriture, on a :

$$10 \times 9 \times 8 \times 7 = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \dots \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times \dots \times 1}=\dfrac{10!}{6!}=\dfrac{10!}{(10-4)!}=A^4_{10}$$



C'est encore une situation qu'on rencontre très couramment, donc on a introduit une notation : c'est ce qu'on appelle un arrangement ( choisir 4 places parmi 10 avec ordre ).

Si 15 chevaux sont au départ d'une course, tu devrais pouvoir maintenant calculer rapidement le nombre de tiercés/quartés possibles.
Arnaud

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Re: [CRPE] Combinatoire

Messagepar M@rion » Lundi 14 Avril 2008, 09:54

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Alors pour répondre à la question posée, je dirais que, sauf erreur de ma part, il s'agit d'un arrangement (avec ordre), et que :
- pour le tiercé, on a :
15 x 14 x 13 = 2730
- pour le quarté, on a :
15 x 14 x 13 x 12 = 32760
Ce qui décourage un peu d'y jouer, mais qui est déjà plus stimulant que le loto...

Posons les calculs :
Tiercé :15 x 14 x 13 = 15 x 14 x 13 ... x 1 / 12 x 11 x 10 ... x 1 = 15! /12! = 15! / (15-3)!
= A 3
15
Quarté :15x 14 x 13 x 12 = 15 x 14 x 13 x 12 ... x 1 / 11 x 10 x 9 ... x 1 = 15!/11! = 15! / (15-4)!
= A 4
15

Comme vous aurez pu le constater je ne sais pas poser les barres de fraction, ni le "A" comme il faut. Pourriez-vous m'indiquer comment on procède svp ?
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