Classification des nombres premiers

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Classification des nombres premiers

Messagepar Nunki » Jeudi 15 Novembre 2007, 12:09

Bonjour

Je suis un amateur et j'ai mis au point une classification des nombres premiers basée sur la décomposition des éléments d'une suite croissante d'entiers naturels en poids*niveau+saut. J'ai écrit un article cet été (avec de l'aide) pour exposer mon travail. Mon article a été soumis à Journal of integer Sequences le 8 octobre dernier. Pour le présenter je l'ai aussi placé dans arXiv.org :
http://arxiv.org/abs/0711.0865

Attention, pour celles et ceux qui ne connaissent pas arXiv, cela veut dire que cet article est une pré-publication mais qui n'a ni été contrôlée et encore moins validée (c'est en cours). Il peut être rejeté et même s'il est accepté, il sera modifié (modifications que je reporterai sur arXiv).

Je suis un amateur coupé des réseaux universitaires et j'ai finalement très peu partagé ma vision des nombres, je souhaiterais donc avoir des questions, des critiques, des suggestions voire des corrections bref un échange constructif avec les amateurs et les professionnels de ce forum.
A+

Quelques ressources pour approfondir :
les suites sur l'OEIS (la première page contient beaucoup d'informations et personnellement je préfère les définitions des suites des poids de l'OEIS) :
http://www.research.att.com/~njas/seque ... &go=Search

Décompositions d'autres suites :
http://groups.google.com/group/sci.math ... c995278edd

Mon site web (une refonte est nécessaire...) :
http://reismann.free.fr/
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Re: Décomposition des nombres / classification des nombres premi

Messagepar Nunki » Samedi 17 Novembre 2007, 09:55

Je me permets donc de faire remonter pour la première et dernière fois ce post qui a été déplacé à juste titre dans le forum "Maths" afin de vous présenter en toutes lettres la décomposition.

L'algorithme de décomposition prends en entrée une suites d'entiers naturels strictement croissante a(n). En sortie, nous obtenons un unique triplet de suites poids(n), niveau(n) et saut(n).
Définitions :
saut(n) = a(n+1) - a(n).

l(n) = plus grand l tel que saut(n) = a(n) mod l, 0 si un tel l n'existe pas
ou
l(n) = a(n) - saut(n) si a(n) - saut(n) > saut(n), 0 sinon.

poids(n) = plus petit k tel que saut(n) = a(n) mod k, 0 si un tel k n'existe pas
ou
poids(n) = plus petit diviseur de l(n) strictement supérieur à saut(n), 0 si l(n) = 0.

niveau(n) = l(n) / k(n), 0 si k(n) = 0.

On a donc la décomposition a(n) = poids(n) * niveau(n) + saut(n) si l(n) est différent de 0 ce qui peut être réécrit si a(n+1) < 3/2 a(n).

Cet algo peut se résumer en une seule phrase :
Dans la division euclidienne de a(n) par son poids, le quotient est le niveau et le reste est le saut.

Principes de classification :
Si poids(n) > niveau(n) alors a(n) est classé par niveau sinon a(n) est classé par poids.

Premières observations :
Si on applique en entrée de l'algo la suites des entiers naturels, on obtient le crible d'Eratosthène décalé d'une unité. Les nombres de niveau 1 sont les (premier + 1).
Si on applique en entrée de l'algo la suites des nombres premiers, on obtient autre chose... Les plus petits des nombres premiers jumeaux ont un poids de 3 excepté 3. Et les nombres premiers de niveau(1,1) sont les balanced primes...

On peut donc voir cette décomposition comme une généralisation du crible d'Eratosthène.

Il est possible de décomposer plein d'autres suites (nombres composés, 2,3... presque premiers, nombres chanceux, nombres k-gonaux...). Par contre pour d'autres suites la décomposition est impossible (Fibonacci par ex, les sauts sont trop grands).

Cela peut paraître complexe à certaines et certains d'entre vous mais si vous avez compris la phrase en gras, vous avez compris le principe de la décomposition.

J'espère que cette présentation vous conviendra mieux.
A+
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Re: Décomposition des nombres / classification des nombres premi

Messagepar guiguiche » Samedi 17 Novembre 2007, 11:32

En ce qui me concerne, je n'ai guère de temps à consacrer à tes écrits. As-tu posté sur les-mathematiques.net ? Il y aura certainement davantage de réponses car, ici, peu de monde est orienté recherche.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Décomposition des nombres / classification des nombres premi

Messagepar Nunki » Samedi 17 Novembre 2007, 12:24

Oui j'ai posté la même chose sur les-mathematiques.net, il y a quelques jours. Un echec...
Je ne crois pas que j'obtiendrais des réponses par les forum. Je pensais que cela pouvait m'apporter des commentaires de la part de professionnels et créer un buzz parmi les amateurs, que des personnes fassent tourner les algos. Il reste tellement de choses à faire.
Je n'ai plus qu' à attendre la réponse de Journal of Integer Sequences. Peut-être que s'il y a publication, j'aurais plus de retours.
Toujours est-il que le fait qu'un amateur crée une classification des nombres premiers basée sur un algo qui est (semble-t-il) une généralisation du crible d'Eratosthène devrait être pris plus au sérieux, éveiller plus d'interrogations. La suites des poids est élémentaire :
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A117078
C'est la division euclidienne et je ne m'explique toujours pas pourquoi cette suite n'a pas été connue plus tôt (2006) alors qu'Eratosthène avait tous les outils pour le faire.
Ce qu'il faudrait c'est un résultat mais pour cela il faut que des personnes travaillent dessus car je ne pourrais pas faire grand chose de plus, en tout cas pas tout seul.
N'hésitez pas si vous avez des questions même élémentaires, je serais ravi de parler de la décomposition des nombres en poids*niveau+saut.
A+
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Re: Décomposition des nombres / classification des nombres premi

Messagepar Tryphon » Samedi 17 Novembre 2007, 12:42

Ce qu'il faut comprendre, c'est que les forums de maths sont remplis de petits génies qui viennent cracher leurs dernières découvertes, qui en général n'ont strictement aucun intérêt. A une époque, je m'amusais à en lire quelques-une, je n'ai jamais rien lu qui compense un minimum le temps que j'y ai passé. Maintenant, je n'ai plus ce temps et beaucoup de gens qui faisaient comme moi en ont marre. Je ne dis pas que ce soit ton cas, mais je comprends que les gens s'y intéressent peu. Tu auras effectivement plus de retours si tu es publié. Bonne chance :)
Pas de questions en MP
La calculatrice, c'est comme Linux, c'est de la merde !
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Re: Décomposition des nombres / classification des nombres premi

Messagepar Nunki » Samedi 17 Novembre 2007, 13:32

Je comprends, surtout que les deux forum ont été un peu pollués dernièrement. Mais pour ma défense, je ne viens pas les mains vides, des suites et des commentaires importants dans l'OEIS, un article dans arXiv (ce qui nécessite un garant en passant) et un site web (à revoir mais c'est mieux que rien).
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Re: Décomposition des nombres / classification des nombres premi

Messagepar euzenius » Dimanche 18 Novembre 2007, 16:38

Bonjour,

Mathématiquement parlant, il ne faut rien attendre des forums, sauf cas particuliers de post assez simples, pour résoudre des questions "essentielles". Il faut de surcroît que ces questions essentielles fassent partie de celles de la planète du forum (le noyau des personnes qui y vont et répondent de manière régulière et qui semble former une sorte de clan ce qui ne saurait leur être reproché) sinon la probabilité de rencontrer l'âme mathématiquement soeur est encore plus faible.

L'intérêt est de lancer un post, c'est déjà pas mal et cela donne quand même du boulot aux modérateurs qui ont l'obligation de surveiller le "bon ordre" du forum mais pas forcément de satisfaire aux attentes des uns et des autres. Au moins des références sont données et permettront à certains, très éventuellement, d'aller jeter un oeil plus approfondi.

Il ne faut pas oublier non plus que la lecture de mémoires et autres écrits a toujours été un exercice rébarbatif (et d'autant plus quand ils sont longs et que les notations sont difficiles à comprendre). C'est pour cela que les universités allemandes ont au XIXième siècle inventé les séminaires dont l'oralité et le contact humain sont plus favorables à l'épanouissement d'une saine compréhension. Combien d'articles mathématiques paraissent chaque année ? Un sacré paquet !

Quant à la pollution des forums c'est un épiphénomène (je suis d'ailleurs un as de la "trublionnerie" en détournant ces forums à de pures fins artistiques puisque qu'Euzenius est une création artistique ou "performance" dans le jargon des plasticiens, ce qui est encore le cas présentement tout en respectant certaines valeurs de bienséance et la mathématique elle-même, sinon cela ferait longtemps que je me serais fait jeter... Je n'attends donc pas obligatoirement des réponses précises, celles décalées me suffisant grandement et même les non réponses).

A part cela en ce qui concerne ton post, j'ai été voir les références données qui nécessitent une certaine attention (en plus de l'anglais ce qui n'est pas un problème pour moi quoique...) mais j'avoue que je ne comprends pas bien les tenants et les aboutissants de l'algorithme de classification et que la seule perspective d'une généralisation du crible d'Eratosthène n'est pas assez alléchante pour moi. A quoi sert cette classification puisqu'en pratique le crible est inutilisable pour dresser une liste de NP assez consistante ? Cela ne veut pas dire que cela n'a aucun intérêt mais faute de précisions immédiatement abordables (sans être obligé de se farcir toute la présentation et la théorie), on reste sur sa faim, que cela soit ou non validé par des instances dignes de foi et souvent plus à même que nous pour en comprendre la substantifique moelle. Certes nous avons été échaudés aussi par pléthores d'algorithmes en lien avec les nombres premiers et la réaction de leur(s) auteur(s) qui ne comprenait pas que cela ne soit pas notre tasse de thé permanente. Il faut donc être patient...


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Re: Décomposition des nombres / classification des nombres premi

Messagepar guiguiche » Dimanche 18 Novembre 2007, 17:40

Voilà, je n'aurai pas dit mieux :mrgreen:
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Re: Décomposition des nombres / classification des nombres premi

Messagepar Nunki » Dimanche 18 Novembre 2007, 20:47

Bonsoir tout le monde.

Ah Euzenius, tu me fais l'effet d'un grand sage (ce n'est pas péjoratif venant de moi). J'apprécie la justesse de tes paroles et je comprends tes réticences. Lorsque je parlais de "pollution", c'était des limites qui ont été franchies, plusieurs... Je ne parlais pas des "trublions" ou des nomades comme dirait Deleuze dont nous faisons partie.

Je voudrais bien arriver à vous faire comprendre cette vision des nombres, j'ai pas mal d'arguments mais je suis un peu las. Je me rends bien compte de l'utilité des forums car c'est via les-mathématiques.net que j'ai trouvé de l'aide pour écrire l'article mais je connais aussi leurs limites.
Il faut donc être patient...

Rémi

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Re: Décomposition des nombres / classification des nombres premi

Messagepar Framboise » Dimanche 18 Novembre 2007, 23:13

Ces études me semblent bien sympathiques. C'est cependant aride/abscon pour un non spécialiste du domaine et il est quelque peu illusoire d'être suivi lorsque le texte est long.
Quelques illustrations concrètes simples afin de mettre en appétit me sembleraient bienvenues.
Un aperçu très court serait le bienvenu : but de la méthode, principe de la méthode.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
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Re: Classification des nombres premiers

Messagepar Nunki » Lundi 19 Novembre 2007, 14:56

Bonjour

Oula ! Le défi est de taille : un exposé simple, court et alléchant. Allons-y.

Commençons par le principe de la décomposition d'un élément d'une suite d'entiers naturels strictement croissante, a(n), en poids*niveau+saut :
Dans la division euclidienne de a(n) par son poids, le quotient est le niveau et le reste est le saut.
Principe simple, élémentaire même.

Lorsque a(n) est la suite des entiers naturels, on obtient le crible d'Eratosthène. Mais on remarque rapidement que la décomposition peut être appliquée sur de nombreuses suites. Ce qui me fait dire que cette décomposition est une généralisation du crible d'Eratosthène. Or le crible d'Eratosthène est une application directe du théorème fondamental de l'arithmétique. On peut donc légitimement se demander si le théorème fondamental peut lui aussi se généraliser ainsi que le concept de nombres premiers (nombres classés par niveau ?) et de multiples (nombres classés par poids ?). J'ai cherché, pas trouvé, mis de coté... mais si une loi de composition existe, je pense qu'elle ne doit pas être que multiplicative (comme le théorème fondamental) mais multiplicative et additive (comme la décomposition).

Concernant la classification des nombres premiers, c'est une application directe de la décomposition. La première chose qui m'a sautée au yeux, c'est que les plus petits des nombres premiers jumeaux ont un poids de trois (à l'exception de 3). La conjecture des nombres premiers jumeaux peut donc se réécrire : il existe une infinité de nombres premiers ayant un poids de 3. Que l'on peut facilement généraliser à tous les poids impairs.
De même j'ai remarqué que les "balanced primes" (p(n) = (p(n+1)+p(n-1))/2) étaient dans ma classification des nombres premiers de niveau(1,1). Il existe une conjecture sur l'infinité des "balanced primes" qui peut donc aussi se généraliser aux niveaux(1,i) et à tous les niveaux impairs.
Il y a beaucoup d'autres choses à dire sur la classification mais je ne veux pas faire trop long.

Je vais finir sur une note plus lyrique en vous renvoyant vers cet article de Granville intitulé "Nombres premiers et chaos quantique" (passionnant).
http://smf.emath.fr/Publications/Gazett ... _29-44.pdf
Il dit "l’idée de Riemann est simple, quoique plutôt surprenante : essayer de compter les nombres premiers comme une somme de sinusoïdes." et plus loin "Ainsi, on peut proposer une paraphrase de l’hypothèse de Riemann : il y a de la musique dans les nombres premiers."
J'ai toujours vu les graphs ci-dessous comme "des spectres" de suite :
http://reismann.free.fr/download/graph1.pdf
http://reismann.free.fr/download/graph2.pdf
http://reismann.free.fr/download/graph3.pdf

N'hésitez pas , si vous avez des questions.
A+

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Re: Classification des nombres premiers

Messagepar guiguiche » Lundi 19 Novembre 2007, 15:16

Bon, on a déjà davantage envie de lire tes propos après ça que les oeuvres de Guillaume Foucard ou bien Jamel Ganouchi sur l'autre forum. Mais ce sera quand même sans moi. Ca n'intéresse pas Borde et autres passionnés d'arithmétique sur les-maths.net ?
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Re: Classification des nombres premiers

Messagepar Nunki » Lundi 19 Novembre 2007, 21:35

Borde m'a fait des commentaires sur mon doc (en privé) mais il est très occupé. Sinon le post n'a pas donné grand chose et je n'ai pas envie de le faire remonter.
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Re: Classification des nombres premiers

Messagepar euzenius » Mercredi 21 Novembre 2007, 22:09

Bonsoir,

Le grand sage que je suis aurait voulu répondre plus tôt, mais les plombs ayant sauté, j'ai failli péter un câble... et puis ensuite il y a eu autre chose, mais inutile d'épiloguer !

Donc pour tout naturel n>2 on s'intéresse aux décompositions euclidiennes de la forme n=pq+r avec les contraintes

0<2r<n et p minimal > r et q>0

cela conditionnant la possibilité de créer une suite de naturels>2 strictement croissante en additionnant le reste ou bien l'on part de la situation inverse d'une suite comme il faut. "p" est le poids et "q" le "contrepoids" (suggestion terminologique plutôt que "niveau").

Donc pour n=11 par exemple r peut varier de 1 à 5 et l'on obtient :

cas r=1 p=5 et q=2
cas r=2 p=3 et q=3
cas r=3 p=4 et q=2
cas r=4 p=7 et q=1
cas r=5 p=6 et q=1

En partant de n=3 avec l'unique possibilité r=1, p=2; q=1 on parvient à 4 avec une seule possibilité toujours (r=1, p=3, q=1) et on aboutit à 5 qui possède deux décompositions donc et le graphe commence à exploser... On peut donc supposer que n>=5

Il est effectivement curieux que la suite des nombres premiers (>=3) soit conforme à un tel graphe et que le poids du premier élément d'un couple de premiers jumeaux > 3 soit 3.

On peut peut-être aussi restreindre le graphe aux seuls nombres impairs (restes ou-sauts pairs) et le graphe n'a alors d'intérêt qu'à partir de n=9 ? Quelle vérité mathématique derrière tout cela, je l'ignore totalement ! Mais il est vrai que la minimalisation du poids euclidien apparaît intéressante. Je vais essayer de voir cela d'un peu plus près entre deux procès (CEDH d'une part pour défendre mon statut d'artiste en France joyeusement piétiné, l'exception culturelle sans doute... et un remake du procès Brancusi d'autre part en évitant que le Fisc français arriéré en art contemporain n'arrive à me jeter en taule comme ils essayent de le faire depuis 2001 pour l'instant sans succès malgré de nouvelles menaces en date du 7/11/2007 - pour me soutenir il suffit de visionner sur You Tube "Normandy Liberty Bell" vidéo d'outre tombe consacrée à un autre artiste, Misterhasbeen, dont ils ont eu la peau, ; je note les scores -).

A plus...

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Re: Classification des nombres premiers

Messagepar euzenius » Mardi 27 Novembre 2007, 23:23

Bonsoir,

Juste une idée qui m'est passée par la tête cet après midi et qui est peut-être une connerie sans nom mais bon il faut bien offrir le flanc à la critique. On peut aussi prendre r<0 avec cependant toujours valeur absolue de 2r = -2r < a. mais bon Nunky a peut être disparu...

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Re: Classification des nombres premiers

Messagepar Nunki » Samedi 08 Décembre 2007, 10:59

Bonjour tt le monde,

Désolé de ce silence, je me suis un peu éloigné des forums...

Reprenons l'exemple a(n)=11 et d'un saut strictement positif (suite strictement croissante). Le lemme 2.1 nous dit que la décomposition de 11 est possible si a(n+1)<3/2*11 soit a(n+1)<= 16.
On a donc les décompositions de 11 possibles suivantes :
11 = 2 * 5 + 1;
11 = 3 * 3 + 2;
11 = 4 * 2 + 3;
11 = 7 * 1 + 4;
11 = 6 * 1 + 5.

Concernant les sauts négatifs (suites décroissantes), on peut bien évidemment les envisager et effectivement Euzenius, cela fera intervenir les valeurs absolues. On pourrait aussi étudier la décompositions sur les entiers relatifs. Je n'ai pas fait cette étude, j'ai préféré me limiter aux suites strictement croissantes afin de ne pas me compliquer trop la tache pour l'article.

Un problème se pose pour les sauts = 0. Si on ne modifie pas l'algo de décomposition alors :
11 = 1 * 11 (1 est le plus petit diviseur supérieur au saut, à 0).
C'est une vision additive (11 est composé de 11 blocs élémentaires de 1).
Mais on peut modifier légèrement l'algo en disant que le poids doit être supérieur à 1 (et pas au saut).
on a donc :
11 = 11 * 1.
C'est la vision de théorème fondamental de l'arithmétique, c'est un vision multiplicative.
Il faut donc faire un choix arbitraire. Il faut choisir en une vision additive et multiplicative. Ce problème ressemble à la question de savoir si 1 est premier ou pas.

A bientôt,

Rémi

PS : 1 est-il premier ? Une page sympa d'arguments pour et contre.
http://www.geocities.com/primefan/Prime1ProCon.html
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Re: Classification des nombres premiers

Messagepar Nunki » Lundi 31 Décembre 2007, 14:43

Bonjour,

Un petit mot pour vous dire que mon article a été rejeté pour apports pas assez significatifs et pour terminologie non-standard.
J'ai mis à jour arXiv pour l'indiquer ainsi qu'avec une nouvelle version apportant des corrections mineures :
http://arxiv.org/abs/0711.0865

Merci Euzenius d'avoir entretenu la conversation et d'avoir témoigné de l'intérêt pour mon travail. Je suis désolé de ne pas pouvoir / vouloir répondre à tes posts mais je suis loin de ta pensée et je ne veux plus trop m'approcher des maths en ce moment. En tout cas continue à "troublionner" les forums, je lirai toujours tes posts avec plaisir.

Meilleurs voeux à toutes et à tous,

Rémi Eismann
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Re: Classification des nombres premiers

Messagepar euzenius » Lundi 31 Décembre 2007, 15:47

Salut Nunki,

Merci de tes voeux et encouragements. Les miens en retour. Désolé du refus, mais cela ne t"empêchera pas de continuer je pense. Pour ma part je garde présent à l'esprit (cela doit tourner en arrière plan de manière inconsciente) tes curiosités et recherches mathématiques.

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