Calcul d'incertitude avec les différentielles

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Calcul d'incertitude avec les différentielles

Messagepar castilla » Dimanche 01 Octobre 2006, 17:39

Bonjour,

J'ai des questions concernant le calcul d'incertitude a l'aide des differentielles. La premiere concerne la demonstration d'un cours que sur laquelle j'ai quelques interrogations.

Le cours:

soit $g=f(A,B,C, \ldots)$.

Calculer la differentielle totale

[center]$dg=\dfrac{\partial g}{\partial A} \cdot dA+\dfrac{\partial g}{\partial B} \cdot dB+\dfrac{\partial g}{\partial C}\cdot dC+ \cdots$ (1)[/center]

Remplacer les elements differentiels par leurs limites superieures(toujours positives par definition)

[center]$\Delta g=\dfrac{\partial g}{\partial A}\cdot \Delta A+\dfrac{\partial g}{\partial B} \cdot \Delta B+\dfrac{\partial g}{\partial C}\cdot \Delta C+ \cdots$ (2)[/center]

le but du calcul étant de chercher la limite supérieure de l'incertitude absolue $\Delta g$, il faut prendre la valeur absolue de chaque coefficient des incertitudes partielles et faire la somme: (la valeur absolue d'une somme est inferieure ou egale a la somme des valeurs absolues)

[center]$\Delta g\leq \left\vert \dfrac{\partial g}{\partial A}\right\vert \cdot
 \Delta A+\left\vert \dfrac{\partial g}{\partial B}\right\vert \cdot \Delta
 B+\left\vert \dfrac{\partial g}{\partial C}\right\vert \cdot \Delta C+ \cdots$ (3)[/center]

Mes interrogations:

l'égalite (2) me pose quelques problèmes. On a :

$$\ds\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x) = \dfrac{dy}{dx}$$



soit $dy=f^{\prime }(x).dx$

Pour moi cette dernière égalite sous entend une notion de limite. On peut certes écrire $dx=\Delta x$ et $dy \simeq \Delta y$ pour un $\Delta x$ trés petit.

Peut on ecrire l'egalite (2) ? (est-elle exacte ?)

En quoi $\Delta g$ est la limite supérieure de $dg$ ?

Ne serait il pas plus juste d'ecrire l'egalite (3) comme suit:

$$dg\simeq \left\vert \dfrac{\partial g}{\partial A}\right\vert \cdot
 dA+\left\vert \dfrac{\partial g}{\partial B}\right\vert \cdot dB+\left\vert 
 \dfrac{\partial g}{\partial C}\right\vert \cdot dC + \cdots$$



Venons à la pratique. Voici un exemple extrait d'un autre support de cours traitant du meme sujet

Soit la formule de l'energie cinetique: $\ E=\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}$ (m en kg et v en m/s).

on mesure $m=9.5 \, kg\pm 1.8$ et $v=7.35 \, m/s\pm 0.23$

j'applique le cours avec la formule (3) directement:

$$\Delta E\leq \left\vert \dfrac{\partial E}{\partial m}\right\vert .\Delta
 m+\left\vert \dfrac{\partial E}{\partial v}\right\vert .\Delta v$$



$$\Delta E\leq \left\vert \dfrac{1}{2}.v^{2}\right\vert .\Delta m+\left\vert
 m.v\right\vert .\Delta v$$



venons en aux chiffres

[center]$\Delta E\leq \dfrac{1}{2}\times 7,35^{2}\times 1,8+9,5\times 7,3\times 0,23$[/center]

$\Delta E\leq 64,57J$

Pour verifier , j'ai calcule l'acroissement exact directement a partir de la formule:

on a : $E=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}$

$E+\Delta E=\frac{1}{2}\cdot (m+\Delta m)\cdot (v+\Delta v)^{2}$

$\Delta E=\frac{1}{2}\cdot (m+\Delta m)\cdot (v+\Delta v)^{2}-\frac{1}{2}%
 \cdot m\cdot v^{2}$

Avec les chiffres:

$\Delta E=\frac{1}{2}\times (9,5+1,8)\times (7,35+0,23)^{2}-\frac{1}{2}\cdot
 9,5\cdot 7,35^{2}$

$\Delta E=68J$

Pouvez vous m'expliquez ce resultat ?

Est-ce un erreur de ma part ou bien la formule (3) est -elle fausse ?

Merci
castilla
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Messagepar michelll » Jeudi 12 Octobre 2006, 22:53

Penses tu que quelqu'un va lire tout cela !! essaye d'isoler le problème que tu as et pose une question précise.
michelll
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Messagepar Pythales » Vendredi 13 Octobre 2006, 12:04

Suppose que $f(x)=x^2$
Si $x$ varie de $\Delta x$, alors $x^2$ varie exactement de $2\Delta x+\Delta x^2$ alors que la formule ne donne que $2\Delta x$
Ce qui veut dire que si $\Delta x$ est trop important, on ne peut plus se contenter de l'approximation.
Pour être plus précis : la formule revient à approximer la variation de la fonction avec la variation de sa tangente.
-si la tangente est au dessous de la courbe, la variation réelle est plus grande (c'est la cas ici pour $f(x)=x^2$)
-si la tangente est au dessus, la variation réelle est plus petite (ex : $f(x)=\sqrt{x}$)
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