Algèbre multilinéaire

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Algèbre multilinéaire

Messagepar minidiane » Dimanche 22 Février 2009, 18:00

Bonjour,

je suis bloqué pour un exercice voici l'exercice:

Pour A,B appartenant à Mn(R) on définit
=Tr(tAB) (t=transposé)
1) Montrer que < , > est un produit scalaire sur Mn(R). Qu'elle est sa norme associée?
ok.

2) Décrire l'orthogonale de la droite RIn où In est la matrice identité.

3) Montrer que les sous-espaces Sn(R) et An(R) (désignant les matrices symétriques et antisymétriques) sont orthogonaux. Calculer la projection orthogonale sur ces deux espaces.

Ces deux dernières questions je ne sais pas les faire.
Pourriez vous m'aider svp?
Merci
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Re: algèbre multilinéaire

Messagepar Jean-charles » Dimanche 22 Février 2009, 18:05

Bonsoir,
Par définition, comment s'écrit l'orthogonal de ton ensemble ?
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Re: algèbre multilinéaire

Messagepar minidiane » Dimanche 22 Février 2009, 18:07

Soit V = <In>
A appartient à l'orthogonale de V si et seulement si <A,B> = 0 pour tout B dans V

Donc si $<A,B>=0$ j'ai $\sum_{n=1}^{n}{tA_{i,k}B_{k,j}}=0$

d'où $\sum_{n=1}^{n}{A_{i,k}B_{k,j}}=0$

Est-ce que cela est juste?
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Re: algèbre multilinéaire

Messagepar Jean-charles » Dimanche 22 Février 2009, 18:17

Tu te compliques la vie.
Comment s'écrit ton $B\in V$ ? Ensuite tu peux remarquer $<A,B>=<B,A>$ et donc...
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Re: algèbre multilinéaire

Messagepar minidiane » Dimanche 22 Février 2009, 18:24

$B\in V$ d'où B est une matrice qui comporte que des a par exemple sur la diagonale et des 0 ailleurs.
$<A,B>=<B,A>$
ok mais je ne vois pas comment continuer
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Re: algèbre multilinéaire

Messagepar Jean-charles » Dimanche 22 Février 2009, 18:28

$B\in V$ donc il existe $\lambda\in \mathbb R$ tel que $V=\ldots$ .
Ensuite tu continues tes calculs avec cette expression de $V$ en utisant la commutativité du produit scalaire pour avoir un calcul plus simple.
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Re: algèbre multilinéaire

Messagepar projetmbc » Dimanche 22 Février 2009, 18:33

Un truc de base (sans mauvais jeu de mots) à connaître : "Pour montrer l'orthogonalité de deux espaces, on peut le faire en travaillant avec des bases de chacun de ces deux espaces.".

Essayes cela car dans ton cas tu auras très vite ce que tu veux pour le 3), et aussi pour le 2) (dans ce cas à toi de deviner une base mais ce n'est pas trop dur).
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Re: algèbre multilinéaire

Messagepar minidiane » Dimanche 22 Février 2009, 18:44

Jean-charles a écrit:$B\in V$ donc il existe $\lambda\in \mathbb R$ tel que $V=\ldots$ .
Ensuite tu continues tes calculs avec cette expression de $V$ en utisant la commutativité du produit scalaire pour avoir un calcul plus simple.


Je ne comprend pas bien en fait je pensais que je devais trouver la forme de B.

Pour les bases cela me semble encore plus difficile.
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Re: Algèbre multilinéaire

Messagepar Jean-charles » Dimanche 22 Février 2009, 19:02

Tu as $B=\lambda I_n$ donc $<A,B>=<B,A>=\ldots$ ?
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Re: Algèbre multilinéaire

Messagepar minidiane » Dimanche 22 Février 2009, 19:07

$B=\lambda I_n$ donc $<A,B>=<B,A>=<\lambda I_n,A>=\lambda< I_n,A>=\lambda*Tr(A)=0$
d'où Tr(A)=0?
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Re: Algèbre multilinéaire

Messagepar Jean-charles » Dimanche 22 Février 2009, 19:26

minidiane a écrit:$B=\lambda I_n$ donc $<A,B>=<B,A>=<\lambda I_n,A>=\lambda< I_n,A>=\lambda*Tr(A)=0$
d'où Tr(A)=0?

Oui donc l'orthogonal cherché est l'ensemble des matrices $A\in...$ telles que ...
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Re: Algèbre multilinéaire

Messagepar minidiane » Dimanche 22 Février 2009, 19:31

$A\in M_{n}(R)$ telles que Tr(A)=0?
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Re: Algèbre multilinéaire

Messagepar Jean-charles » Dimanche 22 Février 2009, 19:33

Oui
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Re: Algèbre multilinéaire

Messagepar minidiane » Dimanche 22 Février 2009, 19:44

Merci

J'essaye de faire la dernière question mais je n'y arrive pas vraiment
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Re: Algèbre multilinéaire

Messagepar Jean-charles » Dimanche 22 Février 2009, 19:52

Connais tu une base de $S_n$ et $A_n$ ?
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Re: Algèbre multilinéaire

Messagepar minidiane » Dimanche 22 Février 2009, 19:55

non je n'en connais pas :oops:
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Re: Algèbre multilinéaire

Messagepar Jean-charles » Dimanche 22 Février 2009, 20:38

Dans ce cas ou tu en cherches ou tu te lances dans les calculs un peu plus "brutaux"...
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Re: Algèbre multilinéaire

Messagepar minidiane » Dimanche 22 Février 2009, 20:41

Pour l'instant j'ai montrer que tr(tA.B) = -tr(tA.B) lorsque A est symétrique et B antisymétrique.
D'où tr(tA.B) = 0.
Mais ensuite je ne sais pas quoi faire.
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Re: Algèbre multilinéaire

Messagepar Jean-charles » Dimanche 22 Février 2009, 20:54

Tu peux déjà prouver que $M_n=S_n+A_n$.
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Re: Algèbre multilinéaire

Messagepar minidiane » Dimanche 22 Février 2009, 21:09

Je n'y arrive pas du tout
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