Algèbre linéaire

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Messagepar Shape& » Vendredi 29 Septembre 2006, 19:30

C'est un bouquin de la collection ellipse ?


Oui. J'ai apparement pas choisi le plus simple. :D
Si tu m'en conseilles d'autres je suis preneur...
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Messagepar Arnaud » Vendredi 29 Septembre 2006, 19:35

Oui c'était juste un exemple de décomposition d'un vecteur, et effectivement aucune coordonnée ne contenait de variable...

L'important est que tu as compris.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
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Messagepar Arnaud » Vendredi 29 Septembre 2006, 19:40

En général j'aime bien cette collection, mais là avec ton scan je suis étonné....
Commencer avec des sous-espaces vectoriels supplémentaires suppose que les bases sont acquises, à moins que je rate qqch.

Regarde un peu du côté des Monier Algèbre :

Amazon : Monier

Le mieux est d'avoir une librairie pas loin pour jeter un coup d'oeil, car il y en a plusieurs différents.
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Messagepar guiguiche » Vendredi 29 Septembre 2006, 19:52

Sans vouloir me faire de publicité, tu peux jeter aussi un oeil sur mon document de cours qui se trouve :
http://www.mathematex.net/phpBB2/cours-et-exos-de-prepa-hec-vt1211.html
et dans lequel j'introduis la notion d'espace vectoriel puis d'application linéaire uniquement avec $\mathbb{R}^n$ (et même essentiellement dans les cas $n=2$ et $n=3$) avant de généraliser dans des chapitres ultérieurs.
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Messagepar Shape& » Vendredi 29 Septembre 2006, 19:59

Merci, je vais voir si je le trouve.
J'aurais bientôt les TD on verra alors si j'arrive à m'en sortir.
En attendant je continue avec mon pdf. Je vais laisser ce bouquin de coté pendant quelques temps.
Au fait, j'ai un autre livre, parait-il très connu : C'est "toutes les mathématiques" chez Dunod où ils traitent en autres d'espace vectoriel, de calculs, projections etc, mais à ma connaissance pas d'"algèbre linéaire" à moins que cela porte aussi un autre nom. Tu en penses quoi ?
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Messagepar Shape& » Vendredi 29 Septembre 2006, 19:59

Merci Guiguiche, toutes les sources sont les bienvenues !
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Messagepar guiguiche » Vendredi 29 Septembre 2006, 20:03

Shape& a écrit:mais à ma connaissance pas d'"algèbre linéaire" à moins que cela porte aussi un autre nom.

"Algèbre linéaire" est l'expression consacrée pour tout ce qui touche aux espaces vectoriels et aux applications dite "linéaires" définies sur ces mêmes espaces vectoriels. Le sujet est donc le bon.
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Messagepar Shape& » Vendredi 29 Septembre 2006, 20:14

guiguiche a écrit:Sans vouloir me faire de publicité, tu peux jeter aussi un oeil sur mon document de cours qui se trouve :
http://www.mathematex.net/phpBB2/cours-et-exos-de-prepa-hec-vt1211.html
et dans lequel j'introduis la notion d'espace vectoriel puis d'application linéaire uniquement avec $\mathbb{R}^n$ (et même essentiellement dans les cas $n=2$ et $n=3$) avant de généraliser dans des chapitres ultérieurs.


Je n'ai pas eu l'occasion de regarder dans le détail mais il m'a l'air super (clair, bien ordonné etc.)
Merci. :P
Dernière question pour ce soir, :D pensez-vous qu'il soit nécessaire pour connaitre l'algebre linéaire de réviser les notions d'intégrales, de primitives etc ? De même, la trigo est-elle indispensable ?
Ces notions m'étant sorties de la tête depuis bien longtemps déjà, je préfère poser la question.
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Messagepar guiguiche » Vendredi 29 Septembre 2006, 20:16

Shape& a écrit:Dernière question pour ce soir, :D pensez-vous qu'il soit nécessaire pour connaitre l'algebre linéaire de réviser les notions d'intégrales, de primitives etc ? De même, la trigo est-elle indispensable ?
Ces notions m'étant sorties de la tête depuis bien longtemps déjà, je préfère poser la question.

Inutile pour le moment. Quand le concept d'espace vectoriel et d'application linéaire sera assimilé, tu pourras l'utiliser dans le cadre des intégrales.
Quant à la trigo, pfff. Si un jour tu en as bsoin, il sera toujours temps d'en refaire.
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Messagepar Shape& » Samedi 30 Septembre 2006, 13:40

Bonjour, me revoilà !
Une idée me turlupine...
Est-il juste de dire que si on a un espace vectoriel de dimension R au cube (désolé mais je sais pas comment l'écrire en TeX) quelconque et un autre espace vectoriel de dimension R² quelconque, alors quelque soit ces espaces, R² est toujours un sous-espace de R au cube ?
Shape&
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Messagepar guiguiche » Samedi 30 Septembre 2006, 14:25

Shape& a écrit:Est-il juste de dire que si on a un espace vectoriel de dimension R au cube (désolé mais je sais pas comment l'écrire en TeX) quelconque et un autre espace vectoriel de dimension R² quelconque, alors quelque soit ces espaces, R² est toujours un sous-espace de R au cube ?

On ne dit pas un espace vectoriel de dimension R au cube : on parle de l'espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ ce qui s'écrit (en TeX) :
Code: Tout sélectionner
$\mathbb{R}^3$

L'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ n'est pas un sous espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ puisque ce n'est pas un sous ensemble. Par contre, $\mathbb{R}^2$ est isomorphe au sous espace de $\mathbb{R}^3$ constitué des vecteurs dont la troisième coordonnée est nulle.
Tu commets l'erreur classique du débutant en algèbre linéaire en confondant les objets (mais l'isomorphisme que j'évoque permet de les "identifier").
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Messagepar MB » Samedi 30 Septembre 2006, 14:34

Pour $\R^3$, on peut utiliser simplement :

Code: Tout sélectionner
\R^3
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
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Messagepar Shape& » Samedi 30 Septembre 2006, 15:28

guiguiche a écrit:L'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ n'est pas un sous espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ puisque ce n'est pas un sous ensemble. Par contre, $\mathbb{R}^2$ est isomorphe au sous espace de $\mathbb{R}^3$ constitué des vecteurs dont la troisième coordonnée est nulle.
Tu commets l'erreur classique du débutant en algèbre linéaire en confondant les objets (mais l'isomorphisme que j'évoque permet de les "identifier").


D'accord je vois.
Autre question : Peut on comparer un ensemble E a une sorte de base avec des coordonnées limitées en abscisse et en ordonnée. Par exemple comparaison de E = {{0,0},{0,1},{1,0},{1,1},{0,2},{1,2}} avec une base de coordonnées (je ne crois pas que ça se dise enfin bon) allant de 0 à 1 en abscisse et de 0 à 2 en ordonnée ?
Autrement dit, une base est-elle limitée de la sorte par le nombre de vecteurs qu'elle peut representer ?
Enfin désolé de vous ennuyer avec toutes ces questions mais j'ai un peu de mal à imaginer les choses.
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Messagepar guiguiche » Samedi 30 Septembre 2006, 16:15

Shape& a écrit:Peut on comparer un ensemble E a une sorte de base avec des coordonnées limitées en abscisse et en ordonnée. Par exemple comparaison de E = {{0,0},{0,1},{1,0},{1,1},{0,2},{1,2}} avec une base de coordonnées (je ne crois pas que ça se dise enfin bon) allant de 0 à 1 en abscisse et de 0 à 2 en ordonnée ?
Autrement dit, une base est-elle limitée de la sorte par le nombre de vecteurs qu'elle peut representer ?
Enfin désolé de vous ennuyer avec toutes ces questions mais j'ai un peu de mal à imaginer les choses.

Tout cela est un peu obscur mais les coordonnées sont dans $\R$ puisque l'on a un espace vectoriel réel.
Pour des coordonnées "bridées" dans un espace vectoriel, il faut prendre un ensemble plus "petit" que $\R$ et qui a de bonnes propriétés opératoires (on dit que c'est un corps), comme par exemple $F_2 = \{0,1\}$ avec la règle de calcul $1+1=0$.
Le nombre de vecteurs figurant dans une base est un invariant de l'espace vectoriel (de dimension finie) : c'est sa dimension. Ainsi, comme $\R^3$ est de dimension 3, alors toutes ses bases comportent 3 vecteurs (mais les coordonnées n'ont aucune raison d'être "bridées" même si parfois, on recherche les coordonnées les plus "petites" possibles).
Me suis-je fait comprendre ?

[@MB : je n'avais pas fait attention que cela fonctionnait si facilement pour mathbb. On ne peut pas mettre d'accolades en tex ? Euh si c'est bon]
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Messagepar Shape& » Dimanche 01 Octobre 2006, 12:09

guiguiche a écrit:Me suis-je fait comprendre ?


Je pense : Le nombre de vecteurs de 2 bases différentes de même dimension est le même. C'est ça ?
Autre chose, dans ton cours, (qui est très bien au passage) tu as divers exemples d'applications concretes sur les espaces vectoriels. Mais as-tu aussi les corrigés de ces exemples ? Je ne les trouve pas...
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Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 12:31

Shape& a écrit:Le nombre de vecteurs de 2 bases différentes de même dimension est le même. C'est ça ?

Oui.

Shape& a écrit:Autre chose, dans ton cours, (qui est très bien au passage)

Merci.

Shape& a écrit:tu as divers exemples d'applications concretes sur les espaces vectoriels. Mais as-tu aussi les corrigés de ces exemples ? Je ne les trouve pas...

Il n'y a pas de corrigé dans le document car je faisais le corrigé au tableau avec les élèves (de plus, tout rédiger en "numérique" prend un temps interminable).
Désolé.
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Messagepar Shape& » Dimanche 01 Octobre 2006, 19:14

Ok. J'essaie tout de même de les faire.
Dans l'exemple 1 du 14.4 cela revient-il à trouver :

Lambda = L

C = (-2, 1)
C = L(1, 1) + L'(3,-2)
C = ((1+3), (1+(-2)))
C = (4, -1)

A partir de là je bloque...
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Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 19:28

Shape& a écrit:Lambda = L

C = (-2, 1)
C = L(1, 1) + L'(3,-2)
C = ((1+3), (1+(-2)))
C = (4, -1)

A partir de là je bloque...

On cherche L et L' tels que :
(-2,1)=L(1,1)+L'(3,-2)
(-2,1)=(L,L)+(3L',-2L')
(-2,1)=(L+3L',L-2L')
L+3L'=-2 et L-2L'=1
et on résout le système
L1-L2 donne : 5L'=-3 d'où L'=-3/5
L2 donne ensuite : L=1+2L'=1-6/5=-1/5
d'où la combinaison linéaire
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Messagepar Shape& » Dimanche 01 Octobre 2006, 21:11

guiguiche a écrit:Lambda = L

et on résout le système
L1-L2 donne : 5L'=-3 d'où L'=-3/5
L2 donne ensuite : L=1+2L'=1-6/5=-1/5
d'où la combinaison linéaire


Merci, je comprends. Mais pour affirmer qu'il y a bien combinaison linéaire ne faudrait-il pas rajouter ? :

(-2, 1) = -1/5*(1, 1)+ (-3/5)*(3, -2)
(-2, 1) = (-1/5+ -9/5, -1/5 + 6/5)

PS : Encore merci ! C'était laborieux, mais grace à tes explications j'ai compris (cet exemple tout du moins)
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Messagepar guiguiche » Lundi 02 Octobre 2006, 08:18

Seule ta première égalité peut être écrite (c'est d'ailleurs la seule combinaison linéaire possible). La seconde fait disparaître la combinaison linéaire pour laisser seulement un somme avec des vecteurs qui ne sont pas ceux de l'énoncé.
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