Un nombre irrationnel

par **adem19s** » Mercredi 11 Juillet 2018, 13:19

bonjour
Comment prouver que $\sin(\dfrac{\pi}{18})$ est un nombre irrationnel?

balf a écrit:En posant $s=\sin\frac\pi{18}$ , on sait que
$\sin\Bigl( 3\cdot\frac\pi{18}\Bigr)=\frac12=3s-4s^3,$

de sorte que , ou, en posant , vérifie l'équation ;

Si l'on suppose rationnel, cette équation a donc une racine rationnelle. Mais il n'y a pas beaucoup de choix pour une racine rationnelle à une telle équation…

B. A.

Je peux montrer que l'équation $ S^3-3S+1+0$

admet une unique solution dans l'intervalle $\left[ 0;\dfrac{1}{2}\right]$
parce que $\sin\dfrac{\pi}{18}$ est compris entre $0$

et $\dfrac{1}{2}$ .
puis j'utilise l'absurde pour démontrer que $\sin\dfrac{\pi}{18}$ est irrationnel .

par **balf** » Samedi 14 Juillet 2018, 12:53

Inutile de localiser $\sin\dfrac\pi{18}$ ni d'invoquer une contradiction : on peut utiliser le résultat que, si un polynôme à coefficients entiers a une racine rationnelle, $\dfrac ab$ (fraction irréductible), alors le numérateur divise le terme constant et le dénominateur divise le coefficient dominant. Ici, on obtient que les seules racines rationnelles possibles sont $\pm 1$ , et il suffit de vérifier qu'aucune de ces valeurs n'est une racine.

B. A.

par **adem19s** » Lundi 16 Juillet 2018, 12:10

balf a écrit:Inutile de localiser $\sin\dfrac\pi{18}$ ni d'invoquer une contradiction : on peut utiliser le résultat que, si un polynôme à coefficients entiers a une racine rationnelle, $\dfrac ab$ (fraction irréductible), alors le numérateur divise le terme constant et le dénominateur divise le coefficient dominant. Ici, on obtient que les seules racines rationnelles possibles sont $\pm 1$ , et il suffit de vérifier qu'aucune de ces valeurs n'est une racine.

B. A.

je ne connais pas ce résultat...un lien si c'est possible pour savoir plus et merci Mr.

par **balf** » Lundi 16 Juillet 2018, 15:46

Il y a une démonstration sur cette page de l'Université Joseph Fourier: https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/mat249/mat249/node27.html, tout à fait standard – juste une utilisation systématique du lemme de Gauß.

B. A.

par **adem19s** » Lundi 16 Juillet 2018, 22:40

balf a écrit:Il y a une démonstration sur cette page de l'Université Joseph Fourier: https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/mat249/mat249/node27.html, tout à fait standard – juste une utilisation systématique du lemme de Gauß.

B. A.

Merci.

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