Problème de Cauchy

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Problème de Cauchy

Messagepar matém » Jeudi 10 Novembre 2011, 23:16

Salut à tous

On cherche à prouver que le problème de Cauchy

$$y'= g(x)+ h(x) y, y(x_0)= y_à$$

$g$ et $h$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\R$ admet une solution unique sur l'intervalle $I.$

pour ca, on doit s'assurer que les conditions du théorème d'existence et d'unicité "Cauchy-Lipschitz" sont satisfaites:
c'est-à-dire qu'on pose $f(x,y)= g(x)+ h(x) y$ et on vérifie que: $f(x,y)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ sont continues et bornées en tout point de $R= \{(x,y) \in \R^2: |x-x_0| < a, |y-y_0| < b\}$

Mais comment faire ca? comment choisir $a$ et $b$ et vérifier que $f$ et sa dérivée par rapport à $y$ sont bornées sur $R?$ Ou bien il y'a une autre méthode?
matém
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Re: Problème

Messagepar Cruptos » Samedi 12 Novembre 2011, 09:01

Bonjour,

cette équation est linéaire. Alors soit on connaît un théorème du cours qui donne le résultat, le cas linéaire étant en général étudié en détail, soit on ne le connaît pas encore et on reprend la démonstration générale dans ce cas particulier qui simplifie$^*$ bien les choses. En effet, ici $f(x,y)=g(x)+h(x)y$ et donc $f(x,y)$ est continue (somme et produit de fonctions continues) et de plus $f(x,y_1)-f(x,y_2)=h(x) (y_1-y_2)$. Pour tout intervalle compact $K$ (fermé borné) inclus dans $I$ la fonction $h(x)$ étant continue est bornée par un certain $M$ (on ne peut pas travailler directement sur $I$ car il n'est pas supposé que $I$ soit compact) et donc sur $K\times ]-\infty,+\infty[$ on a $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq M |y_1-y_2|$ : autrement dit la fonction $f(x,y)$ est lipschitzienne en $y$, uniformément par rapport à $x$ sur $K\times ]-\infty,+\infty[$. Ceci permet d'obtenir l'existence et d'unicité de la solution sur tout compact $K$ inclus dans $I$. Pour récupérer le résultat sur $I$ on écrit $I$ comme réunion d'une suite croissante de compacts $K_n$ et on obtient la solution sur $I$ naturellement à partir des solutions sur les $K_n$.
(voir page 21 du cours sur les équa. diff. de http://robert.rolland.acrypta.com/index ... ge=analyse)

* la simplification de la démonstration générale vient de la forme de la fonction qui permet une vérification simple du caractère lipschitzien et aussi du fait qu'il n'y a pas de limitation sur $y$ qui peut prendre toute valeur réelle.
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Re: Problème

Messagepar matém » Dimanche 13 Novembre 2011, 18:39

Bonjour,

j'ai étudié votre réponse, et j'ai quelques questions si vous le voulez bien.

1. Pourquoi travailler sur $K \times ]-\infty, + \infty[?$ puisqu'il faut prouver que $f$ est lipschitzienne en $y$ on ne devrait pas prendre un compact pour les $y$ et non pour les $x?$

2. est-ce que la réunion d'une suite de compacts est toujours un ouvert?

3. en lisant la page 21, je ne comprend pas le paragraphe suivant: "l'unicité de la solution sur $K$ permet de définir sur $I$ la fonction $\phi$ de manière cohérente par: si $t \in K_n: \phi(t)= \phi_K(t)$ $\phi$ est solution unique du problème.

Merci par avance.
matém
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Re: Problème

Messagepar Cruptos » Dimanche 13 Novembre 2011, 19:48

Bonjour,

1) le cas des équations linéaires est très particuliers
on peut faire un calcul direct simple qui amène comme je l'ai dit dans ma réponse précédente à
$f(x,y_1)-f(x,y_2) = h(x) (y_1 -y_2)$.
Si on borne $h(x)$ on a gagné. Comme $h(x)$ est continue, si on restreint l'intervalle d'étude à un intervalle
compact $K$ on a ce qu'il faut. Et il n'y a aucune limitation sur $y$. Autrement dit
pour tout $y_1$ et tout $y_2$ éléments de $]-\infty, +\infty[$ on a $|f(x,y_1)-f(x,y_2)| \leq  M |y_1 -y_2|$.
C'est la forme particulière de la fonction $f(x,y)$ qui entraine cette conclusion.

On peut alors prendre dans la démonstration du théorème d'existence et d'unicité comme espace de fonctions
l'espace $C(K)$ des fonctions continues sur $K$ et à valeurs dans $\R$ (muni de la norme uniforme).
L'application dont on doit démontrer qu'elle a un point fixe envoie $C(K)$ dans $C(K)$ : il n'y a plus le problème
de restriction de l'intervalle de définition pour que l'application envoie bien
l'espace de départ dans lui-même. Enfin si on utilise le "bon" théorème du point fixe (théorème 2.1.1 page 17 de la référence
que j'ai donnée précédemment et pas celui avec les applications contractantes qui donne de mauvaises majorations)
on obtient l'existence et l'unicité sur tout l'intervalle $K$.

2) Non, mais tout intervalle I (ouvert, semi-ouvert, fermé, infinis ou pas) est réunion d'une suite croissante (parfois pas strictement) d'intervalles compacts. Si on fixe un point $x_0 \in I$ on peut imposer que tous ces intervalles compacts contiennent $x_0$.

3) On écrit $I =\cup_{n=0}^{\infty} K_n$ où les $K_n$ forment une suite croissante et où tous les $K_n$ contiennent $x_0$.
Soit $\phi_n$ la solution sur $K_n$ de $y'=f(x,y)$ avec la condition initiale $\phi(x_0)=y_0$.
On va définir $\phi$ sur $I$ de la façon suivante : si $x\in I$, il existe un $n$ tel que $x\in K_n$. On pose alors $\phi(x)=\phi_n(x)$.
Pour montrer que cette façon de faire permet de définir une valeur $\phi(x)$ bien déterminée, on montre que
si $x$ est aussi dans le compact $K_m$ alors $\phi_m(x)=\phi_n(x)$. Et ça c'est la conséquence de l'unicité appliqué à $K_n\cap K_m$.
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Re: Problème

Messagepar matém » Dimanche 13 Novembre 2011, 21:39

Merci pour ces explications et pour avoir pris le temps de me répondre.

Bonne soirée.
matém
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