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Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes mathématiques.
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Valeurs propres, chercher l'erreur...

Bonjour,
j'ai une matrice $M=\begin{pmatrix}
1 & -1&0&0 \\
0&0&1 & -1\\
0&0&-1&1\\
-1&1&0&0
\end{pmatrix}$.

Je constate que les colonnes $C_1=-C_2$ et $C_3=-C_4$ mais que $C_2$ et $C_3$ sont libres. La matrice est donc de rang 2. Donc dim Ker M = 2 (théorème du rang).

Donc 0 est valeur propre de M, de multiplicité supérieure ou égale à 2.

Or, j'ai calculé le polynôme caractéristique de M et j'ai trouvé (et j'ai vérifié) : ...
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Polynôme d'un endomorphisme

Bonjour,
une idée pour montrer que, $u$ étant un automorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie, $u^{-1}$ est un polynôme en $u$ ?
D'accord, le polynôme caractéristique de $u$ annule $u$, ce qu'on pourrait noter $P(u)=0$...
Dans ce cas, il me semble que la fraction rationnelle $\displaystyle \frac{XP(X)+1}{X}$ appliquée à $u$ donne $u^{-1}$...
Mais cette fraction n'est pas un polynôme, je ne pense pas...
Help ?
Lire la suite : Polynôme d'un endomorphisme | Vus : 79 | Réponses : 5 | Forums : Exercices et problèmes : Supérieur


Intégration terme à terme d'une série de fonctions

Bonsoir,
me voilà avec une nouvelle question : "Prouver que $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}$".
Alors, j'ai pensé à définir la suite de fonctions $(f_n)_{n \ge 1}$ par :
- pour tout $x$ de ]0, 1], $\displaystyle f_n(x)=\frac{(-x ln(x))^n}{n!}$
- pour $x=0$, $f_n(x)=0$
Ainsi, les fonctions $f_n$ sont continues sur , la série $ \sum f_n$ converge normalement sur et, $\displaystyle \sum_{n=0}^{+ \infty} f_n(x)=e^{-xln(x)}=\frac{1}{x^x}$.
J'ai donc : $\displaystyle \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)dx=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^x}dx=\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{0}^{1} f_n(x)dx$.
Piou... ...


Convergence d'une série

Bonjour à tous,
en supposant la suite $(u_n)$ positive et la série $\sum n^2 u_n^2$ convergente, comment prouver que $\sum u_n$ converge ?
Merci!
Lire la suite : Convergence d'une série | Vus : 100 | Réponses : 7 | Forums : Exercices et problèmes : Supérieur


Calcul d'une somme

Bonjour à tous,
je dois calculer la somme des $u_n$ avec $u_n=\frac{E(\sqrt{n+1})-E(\sqrt{n})}{n}$.
J'ai besoin d'aide et je me tourne vers vous.
Merci.
Lire la suite : Calcul d'une somme | Vus : 168 | Réponses : 15 | Forums : Exercices et problèmes : Supérieur


Les multiples

Bonjour

n est un entier.
Je n'arrive pas à démontrer l'implication suivante:
Si n est multiple de a et n multiple de b alors n est multiple de ab ( a et b entiers )

n= k*a ET n=k'*b il faut démontrer que n=q*ab avec q entier

Je n'arrive pas à le faire.
Merci pour votre aide
Lire la suite : Les multiples | Vus : 392 | Réponses : 9 | Forums : Exercices et problèmes : Lycée


Echantillonnage

Bonjour !
Voici mon souci (Cf fichier excel) :
Lors de plusieurs simulations (touche F9), je constate que pour certaines j'obtiens 94% voire 90% des échantillons dont la fréquence n'est pas comprise dans l'intervalle alors que je devrais avoir plus de 95 % d'après la théorie ...
Une explication svp ?
Lire la suite : Echantillonnage | Vus : 205 | Réponses : 7 | Forums : Exercices et problèmes : Lycée


Définition d'une équation

Salut tout le monde.
Est ce qu'une équation est une proposition ouverte ?
Lire la suite : Définition d'une équation | Vus : 389 | Réponses : 0 | Forums : Exercices et problèmes : Lycée


Un nombre irrationnel

bonjour
Comment prouver que $ \sin(\dfrac{\pi}{18}) $ est un nombre irrationnel?
Lire la suite : Un nombre irrationnel | Vus : 527 | Réponses : 6 | Forums : Exercices et problèmes : Supérieur


Résolution d'une équation de degré 4

bonjour tout le monde.
Pour résoudre l'équation $z^4+z^3+z^2+z+1=0$ (sachant que je cherche les solutions sous la forme algébrique),je dois d'abord décomposer le polynôme $P(z)=z^4+z^3+z^2+z+1$.
puisque$P(z)$ du quatrième degré alors il peut s'écrit:$P(z)=(z^2+az+b)(z^2+cz+d)$ puis j'ai fait le développement ,j'ai trouver le polynôme suivant:
$P(z)=z^4+(a+c)z^3+(ac+b+d)z^2+(ad+bc)z+bd$ après identification,j'ai trouvé:
$a+c=1$
$ac+b+d=1$
$ad+bc=1$
$bd=1$.
et puisque le produit $bd=1$ alors j'ai pris $b=1$ et $d=1$ et j'ai trouvé:
$ a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $c=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
est ce que ce choix est justifié ...
Lire la suite : Résolution d'une équation de degré 4 | Vus : 353 | Réponses : 4 | Forums : Exercices et problèmes : Lycée


 

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