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News News de Exercices et problèmes : Supérieur

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Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.
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Valeurs propres, chercher l'erreur...

Bonjour,
j'ai une matrice $M=\begin{pmatrix}
1 & -1&0&0 \\
0&0&1 & -1\\
0&0&-1&1\\
-1&1&0&0
\end{pmatrix}$.

Je constate que les colonnes $C_1=-C_2$ et $C_3=-C_4$ mais que $C_2$ et $C_3$ sont libres. La matrice est donc de rang 2. Donc dim Ker M = 2 (théorème du rang).

Donc 0 est valeur propre de M, de multiplicité supérieure ou égale à 2.

Or, j'ai calculé le polynôme caractéristique de M et j'ai trouvé (et j'ai vérifié) : ...
Lire la suite : Valeurs propres, chercher l'erreur... | Vus : 125 | Réponses : 5


Polynôme d'un endomorphisme

Bonjour,
une idée pour montrer que, $u$ étant un automorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie, $u^{-1}$ est un polynôme en $u$ ?
D'accord, le polynôme caractéristique de $u$ annule $u$, ce qu'on pourrait noter $P(u)=0$...
Dans ce cas, il me semble que la fraction rationnelle $\displaystyle \frac{XP(X)+1}{X}$ appliquée à $u$ donne $u^{-1}$...
Mais cette fraction n'est pas un polynôme, je ne pense pas...
Help ?
Lire la suite : Polynôme d'un endomorphisme | Vus : 79 | Réponses : 5


Intégration terme à terme d'une série de fonctions

Bonsoir,
me voilà avec une nouvelle question : "Prouver que $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}$".
Alors, j'ai pensé à définir la suite de fonctions $(f_n)_{n \ge 1}$ par :
- pour tout $x$ de ]0, 1], $\displaystyle f_n(x)=\frac{(-x ln(x))^n}{n!}$
- pour $x=0$, $f_n(x)=0$
Ainsi, les fonctions $f_n$ sont continues sur , la série $ \sum f_n$ converge normalement sur et, $\displaystyle \sum_{n=0}^{+ \infty} f_n(x)=e^{-xln(x)}=\frac{1}{x^x}$.
J'ai donc : $\displaystyle \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)dx=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^x}dx=\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{0}^{1} f_n(x)dx$.
Piou... ...
Lire la suite : Intégration terme à terme d'une série de fonctions | Vus : 91 | Réponses : 5


Convergence d'une série

Bonjour à tous,
en supposant la suite $(u_n)$ positive et la série $\sum n^2 u_n^2$ convergente, comment prouver que $\sum u_n$ converge ?
Merci!
Lire la suite : Convergence d'une série | Vus : 100 | Réponses : 7


Calcul d'une somme

Bonjour à tous,
je dois calculer la somme des $u_n$ avec $u_n=\frac{E(\sqrt{n+1})-E(\sqrt{n})}{n}$.
J'ai besoin d'aide et je me tourne vers vous.
Merci.
Lire la suite : Calcul d'une somme | Vus : 168 | Réponses : 15


Un nombre irrationnel

bonjour
Comment prouver que $ \sin(\dfrac{\pi}{18}) $ est un nombre irrationnel?
Lire la suite : Un nombre irrationnel | Vus : 531 | Réponses : 6


Probabilités

Bonjour,

J’aimerai un peu d’aide pour cet exercice :
Soit X et Y deux var aléatoires à densité indépendantes de même loi uniforme sur .
Z=X+Y

Comment montrer que P(X<=Y)=P(Y<=X) ? Et comment montrer que 1-Y et Y ont la même loi ?

Merci d’avance
Lire la suite : Probabilités | Vus : 422 | Réponses : 3


Théorème de rouche

Bonjour
Voici l’exercice qui me pose problème:

Soit n>1 entier et a∈R avec a>e.
Montrerquel’équation az^n − e^z = 0
possède n racines simples dans le disque unité ouvert D.

Ce qui me pose problème c’est de montrer que les zéros sont simples. Prouver qu’il y en a n est simplement l’application du théorème de Rouché à f(z)=az^n − e^z et g(z)=az^n

Merci à ceux qui m’aideront.
Lire la suite : Théorème de rouche | Vus : 299 | Réponses : 1


Topologie

Bonjour !
Pourriez-vous svp me dire si ma démonstration est correcte ?
J'ai un doute quand à l'utilisation correcte de l'inf ...
Merci


\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

\begin{document}
\textbf{Preuve}

Soit $x \in E$ et $F=\left\{d(x,a), a \in A \right\}$.

$d(x,A)=\inf F$ est bien défini comme borne inférieure d'un ensemble de réels minorés par 0.

\medskip

\colorbox{red!10}{$e \in F$ se traduit par : \; $\exists a \in A \;,\; e=d(x,a)$.}

\medskip

$\begin{array}{ccl}
d(x,A)={\color{red}0} & \Longleftrightarrow ...
Lire la suite : Topologie | Vus : 354 | Réponses : 2


Norme plus fine

Bonjour !

Serait-il possible de savoir si ma démonstartion en fichier joint est correcte ?

Je vous remercie de l'attention que vous porterez à ma requête.
Lire la suite : Norme plus fine | Vus : 354 | Réponses : 3


 

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