Tracé de cercles de Ford

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Tracé de cercles de Ford

Messagepar evariste_G » Mercredi 25 Février 2009, 16:49

Bonjour.

Je cherche à tracer des cercles de Ford en LaTeX, mais je me heurte à de nombreux soucis. En effet, créer des tableaux en programmation LaTeX semble chose ardue ... Quelqu'un aurait-il une idée ou une référence afin de les tracer, c'est-à-dire un moyen de calculer les termes de rang $n$ de la suite de Farey ?

Je rappelle que les termes d'une suite de Farey de rang $n+1$ s'obtiennent à partir de ceux de la suite de rang $n$ avec le principe suivant :

Si $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont deux termes consécutifs de la suite de rang $n$, alors au rang $n+1$, le terme qui s'intercalera sera $\dfrac{a+c}{b+d}$.

J'ai fait un algorithme qui est le suivant :

Code: Tout sélectionner
k=1; n[0]=0 ; d[0] = 1 ; n[1] = 1 ; d[1] = 1 ; (car on part des fractions $\frac{0}{1}$ et $\dfrac{1}{1}$, 'n' représentant le numérateur et 'd' le dénominateur)
n = 10;

Tant que (k<=n) (où 'n' est l'ordre de la suite de Farey que l'on veut)
{
   i = 0;
   Tant que (i<=2^{k-1})
   {
      j=2*i;
      n[j]=n[i];
      d[j]=d[i];
      i++;
   }

   i = 0;
   Tant que (i<=k)
   {
      j=2*i+1;
      n[j]=n[j-1]+n[j+1];
      d[j]=d[j-1]+d[j+1];
      i++;
   }
   k++;
}
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar MB » Jeudi 26 Février 2009, 21:37

Bonjour,

tu veux faire quoi exactement en fait ? pourquoi vouloir calculer ça avec LaTeX ?
Que veux tu afficher et sous quelle forme ? (tu parles de tracer ?)
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar GMaths » Vendredi 27 Février 2009, 01:13

evariste_G a écrit:Je rappelle que les termes d'une suite de Farey...


Je ne connaissais pas (ou plus : maudite mémoire) et j'ai cherché pour trouver des choses contradictoires :


Dans l'un des liens, il est question de "séquences", dans l'autre de "suite d'ordre n"...

ta description des termes de la suite correspond au premier lien (où on ne parle pas d'ordre)
sauf que d'après le second lien, pour une suite d'ordre n, il faut se limiter à des fractions irréductibles dont le dénominateur n'excède pas n.
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar evariste_G » Vendredi 27 Février 2009, 10:21

Bonjour.

En fait, ce que je souhaitais faire, c'est tracer les cercles de Ford. Pour cela, il me faut calculer les termes de la suite de Farey à l'ordre n.

Pour info, on trouve ce genre de tracé sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_de_Ford.

Les eux liens donnés ne sont pas contradictoires. Les suites de Farey sont des suites finies. $F_0$ a deux termes, $F_1$ en a 3, etc.

Je cherche donc à tracer les cercles de Ford avec laTeX ; afin de ne pas les tracer à la main, il me faudrait un "truc" pour calculer à chaque fois les coordonnées du centre $(\frac{p}{q};\frac{1}{2q^2})$$\frac{p}{q}$ est un terme d'une suite de Farey d'ordre n, pour $n$ variant de 0 à N.

PS : l'algorithme que j'ai donné dans le premier message ne fonctionne pas ... (je l'ai fait en PHP et il ne fonctionne pas bien)
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar oleanet » Vendredi 27 Février 2009, 11:28

Bonjour,

J'ai posé la question à l'auteur de TeXgraph et sa réponse est là.
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar GMaths » Vendredi 27 Février 2009, 11:43

evariste_G a écrit:Les deux liens donnés ne sont pas contradictoires.


Tu n'as pas bien regardé ;-)

On dit ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Farey#Un_algorithme_simple que la suite d'ordre 4 est :

F4={0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1}


(où on ne peut pas avoir de fraction irréductible avec un dénominateur qui excède 4)

et la technique que tu décrivais toi... où tu ajoutes systématiquement une fraction entre deux fractions de la séquence précédente, donne, ce l'on trouve ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Farey#Un_algorithme_simple, à savoir :

Image


mais sur ce dernier lien, l'auteur ne dit pas qu'il s'agit de la suite d'ordre 4, il parle de séquence... (car il s'autorise des fractions irréductibles avec un dénominateur qui dépasse 4).
Dernière édition par GMaths le Vendredi 27 Février 2009, 14:24, édité 2 fois.
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar GMaths » Vendredi 27 Février 2009, 11:53

oleanet a écrit:J'ai posé la question à l'auteur de TeXgraph et sa réponse est là.

Pas le temps maintenant (je dois partir), mais cela se fait aussi aisément en Asymptote.
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar GMaths » Vendredi 27 Février 2009, 15:59

Sans me prendre la tête, avec l'algorithme du site http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Farey, cela donne :

Code: Tout sélectionner
size(20cm);
import animate;
animation A;
int n=7,numterms=1,a=0,b=1,c=1,d=n;
int k,e,f;
real r=1/(2*b^2);
draw(circle((a/b,r),r),1bp+yellow);
A.add();
while (c<n){
    ++numterms;
    k=floor((n+b)/d);
    e=k*c-a;
    f=k*d-b;
    a=c;
    b=d;
    c=e;
    d=f;
    r=1/(2*b^2);
    draw(circle((a/b,r),r),1bp+yellow);
    A.add();
}
A.movie(BBox(2mm,Fill(black)),loops=10,delay=250);


cercles_ford.gif

(cliquer sur l'image pour voir l'animation)
Dernière édition par MB le Vendredi 27 Février 2009, 16:34, édité 3 fois.
Raison: Hébergement de l'image sur le serveur MathemaTeX.
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar GMaths » Vendredi 27 Février 2009, 16:09

c'est bizarre : mon gif animé l'est sous ie mais pas sous firefox.
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar MB » Vendredi 27 Février 2009, 16:35

GMaths a écrit:c'est bizarre : mon gif animé l'est sous ie mais pas sous firefox.


Je n'avais pas de problème pour voir l'animation sous Firefox.
Par contre, j'ai hébergé l'image sur le serveur MathemaTeX et l'aperçu ne semble pas intégrer l'animation. Il faut donc cliquer sur l'image pour l'observer.
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar MB » Vendredi 27 Février 2009, 17:16

Une autre version Asymptote, sans animation (pour une intégration dans un fichier pdf par exemple).

Code: Tout sélectionner
unitsize(5cm);

int N = 7;
int A = 0, B = 1, C = 1, D = N;

void draw_circle(int a, int b, int d)
{
  real r = 1/(2*b^2);
  draw(circle((a/b,r),r));
}

void ford_iterate()
{
  int K = floor((N+B)/D);
  int E = K*C-A;
  int F = K*D-B;
  A = C;
  B = D;
  C = E;
  D = F;
}

draw_circle(A, B, D);
while (C < N)
{
  ford_iterate();
  draw_circle(A, B, D);
}

shipout(bbox(xmargin=1mm,invisible));


cercles_ford.png
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar evariste_G » Vendredi 27 Février 2009, 18:43

Merci pour ces réponses. Cela dit, j'ai un gros problème : je travaille avec PGF et a priori, c'est trop compliqué ... pour moi ! Je vais tenté d'adapter le programme de Texgraph.

@GMath : oui, je n'avais pas bien vu, mais en fait, la séquence est la suite d'ordre 5, ... c'est pas grand-chose :)
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar oleanet » Vendredi 27 Février 2009, 19:11

evariste_G a écrit:Merci pour ces réponses. Cela dit, j'ai un gros problème : je travaille avec PGF et a priori, c'est trop compliqué ... pour moi ! Je vais tenté d'adapter le programme de Texgraph.


L'avantage avec TeXgraph c'est qu'il peut vous sortir le code directement en pgf, voici le code produit en enlevant le remplissage des cercles:

Code: Tout sélectionner
% TeXgraph version 1.94 beta-7.5
\begin{pgfpicture}{-3cm}{0cm}{9cm}{6cm}%
\pgfsetxvec{\pgfxy(6,0)}
\pgfsetyvec{\pgfxy(0,6)}
%objet3  (Utilisateur)
\pgfsetstrokecolor{black}
\pgfsetlinewidth{0.8pt}
\pgfsetroundjoin \pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0,0.5)}{\pgfxy(0.5,0)}{\pgfxy(0,0.5)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.1,0.005)}{\pgfxy(0.005,0)}{\pgfxy(0,0.005)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.1111,0.0062)}{\pgfxy(0.0062,0)}{\pgfxy(0,0.0062)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.125,0.0078)}{\pgfxy(0.0078,0)}{\pgfxy(0,0.0078)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.1429,0.0102)}{\pgfxy(0.0102,0)}{\pgfxy(0,0.0102)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.1667,0.0139)}{\pgfxy(0.0139,0)}{\pgfxy(0,0.0139)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.2,0.02)}{\pgfxy(0.02,0)}{\pgfxy(0,0.02)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.2222,0.0062)}{\pgfxy(0.0062,0)}{\pgfxy(0,0.0062)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.25,0.0313)}{\pgfxy(0.0313,0)}{\pgfxy(0,0.0313)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.2857,0.0102)}{\pgfxy(0.0102,0)}{\pgfxy(0,0.0102)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.3,0.005)}{\pgfxy(0.005,0)}{\pgfxy(0,0.005)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.3333,0.0556)}{\pgfxy(0.0556,0)}{\pgfxy(0,0.0556)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.375,0.0078)}{\pgfxy(0.0078,0)}{\pgfxy(0,0.0078)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.4,0.02)}{\pgfxy(0.02,0)}{\pgfxy(0,0.02)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.4286,0.0102)}{\pgfxy(0.0102,0)}{\pgfxy(0,0.0102)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.4444,0.0062)}{\pgfxy(0.0062,0)}{\pgfxy(0,0.0062)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.5,0.125)}{\pgfxy(0.125,0)}{\pgfxy(0,0.125)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.5556,0.0062)}{\pgfxy(0.0062,0)}{\pgfxy(0,0.0062)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.5714,0.0102)}{\pgfxy(0.0102,0)}{\pgfxy(0,0.0102)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.6,0.02)}{\pgfxy(0.02,0)}{\pgfxy(0,0.02)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.625,0.0078)}{\pgfxy(0.0078,0)}{\pgfxy(0,0.0078)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.6667,0.0556)}{\pgfxy(0.0556,0)}{\pgfxy(0,0.0556)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.7,0.005)}{\pgfxy(0.005,0)}{\pgfxy(0,0.005)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.7143,0.0102)}{\pgfxy(0.0102,0)}{\pgfxy(0,0.0102)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.75,0.0313)}{\pgfxy(0.0313,0)}{\pgfxy(0,0.0313)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.7778,0.0062)}{\pgfxy(0.0062,0)}{\pgfxy(0,0.0062)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.8,0.02)}{\pgfxy(0.02,0)}{\pgfxy(0,0.02)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.8333,0.0139)}{\pgfxy(0.0139,0)}{\pgfxy(0,0.0139)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.8571,0.0102)}{\pgfxy(0.0102,0)}{\pgfxy(0,0.0102)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.875,0.0078)}{\pgfxy(0.0078,0)}{\pgfxy(0,0.0078)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.8889,0.0062)}{\pgfxy(0.0062,0)}{\pgfxy(0,0.0062)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(0.9,0.005)}{\pgfxy(0.005,0)}{\pgfxy(0,0.005)}
\pgfellipse[stroke]{\pgfxy(1,0.5)}{\pgfxy(0.5,0)}{\pgfxy(0,0.5)}
\end{pgfpicture}%
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar evariste_G » Vendredi 27 Février 2009, 19:13

Ah oui ... ça vaut le coup que je me penche sur TexGraph alors ... Merci beaucoup !
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar GMaths » Vendredi 27 Février 2009, 19:40

Une autre version avec Asymptote, différente : j'y voyais l'occasion de pratiquer la récursivité.

Code: Tout sélectionner
size(20cm);

int[][] farey (int[][] i) {
    int n=i.length;
    int[][] j=new int[2*n-1][2];
    for(int k=0; k<n; ++k){
          j[2*k]=i[k];
          if(k!=0) j[2*k-1]=i[k]+i[k-1];
    }
    return j;
}

int[][] farey (int n=7) {
   --n;
   int[][] a={{0,1},{1,1}};
   for(int k=0; k<n; ++k){
       a=farey(a);
   }
   return a;
}

void cerclesford (int n=7) {
   int[][] a=farey(n);
   real x,r,N=a.length;
   for(int k=0; k<N; ++k){
       x=a[k][0]/a[k][1];
       r=1/(2*(a[k][1])^2);
       draw(circle((x,r),r),1bp+red);
   }
}

write(farey(5));

cerclesford(5);


Code: Tout sélectionner
write(farey(5));


donne en console de Notepad++

Process started >>>
0 1
1 5
1 4
2 7
1 3
3 8
2 5
3 7
1 2
4 7
3 5
5 8
2 3
5 7
3 4
4 5
1 1
<<< Process finished.


et

Code: Tout sélectionner
cerclesford(5);


crée évidemment l'image avec les cercles voulus.
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar pg » Vendredi 27 Février 2009, 19:50

Il est possible de tracer les cercles de Ford en utilisant xlop pour les calculs et TikZ pour les dessins (s'adapte facilement à pstricks si on veut) :

cercles_de_ford.png
cercles_de_ford.png (8.34 Kio) Vu 1826 fois


Code: Tout sélectionner
\documentclass{article}

\usepackage{tikz}
\usepackage{xlop}
\usepackage{ifthen}

\newcommand{\drawcircle}[2]{%
   \pgfmathparse{1/(2*#2*#2)}% calcul du rayon
   \let\tempradius\pgfmathresult % affectation du rayon dans \tempradius
   \draw (#1/#2,\tempradius) circle (\tempradius);% dessin du cercle
}

\begin{document}

\begin{center}\begin{tikzpicture}[scale=4]
\opcopy{5}{N}% on initialise N à sa valeur de départ
\opcopy{0}{A}% on initialise A à 0
\opcopy{1}{B}% on initialise B à 0
\opcopy{1}{C}% on initialise C à 0
\opcopy{N}{D}% on initialise D à N
\makeatletter
\drawcircle{\Op@A}{\Op@B}% dessin du premier cercle
\whiledo{\Op@C<\Op@N}{% tant que C < N
  \opadd*{N}{B}{K}% on fait K:=N+B
  \opidiv*{K}{D}{K}{unused}% on fait K:=[K/D]
  \opmul*{K}{C}{E}% on fait E:=K*C
  \opneg{A}{a}% on fait a:=-A
  \opadd*{E}{a}{E}% on fait E:=E+a
  \opmul*{K}{D}{F}% on fait F:=K*D
  \opneg{B}{b}% on fait b:=-B
  \opadd*{F}{b}{F}% on fait F:=F+b
  \opcopy{C}{A}% on fait A:=C
  \opcopy{D}{B}% on fait B:=D
  \opcopy{E}{C}% on fait C:=E
  \opcopy{F}{D}% on fait D:=F
  \drawcircle{\Op@A}{\Op@B}% dessin du cercle
}
\makeatother
\end{tikzpicture}\end{center}

\end{document}
pg
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar MB » Vendredi 27 Février 2009, 21:21

Bon bah je pense qu'evariste_G ne manque pas de solutions. :mrgreen:
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar evariste_G » Vendredi 27 Février 2009, 22:34

Effectivement ... La dernière est intéressante car je vais pouvoir l'adapter en mettant de couleurs suivant les rayons des cercles :D
Merci à tous.
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar MB » Vendredi 27 Février 2009, 22:38

evariste_G a écrit:La dernière est intéressante car je vais pouvoir l'adapter en mettant de couleurs suivant les rayons des cercles :D


C'est aussi possible avec Asymptote. :wink:
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Re: Tracé de cercles de Ford

Messagepar Altermundus » Dimanche 01 Mars 2009, 21:39

pg a écrit:Il est possible de tracer les cercles de Ford en utilisant xlop pour les calculs et TikZ pour les dessins (s'adapte facilement à pstricks si on veut) :


On peut faire tout cela uniquement avec TikZ

Code: Tout sélectionner
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}

\newcommand{\drawcircle}[2]{%
   \pgfmathparse{1/(2*#2*#2)}
   \let\tempradius\pgfmathresult
   \draw (#1/#2,\tempradius) circle (\tempradius);
}

\begin{document}

\def\fordN{5}
\def\fordA{0}
\def\fordB{1}
\def\fordC{1}
\let\fordD\fordN
\begin{center}\begin{tikzpicture}[scale=4]

\drawcircle{\fordA}{\fordB}
\foreach \i in {0,...,9}{%
 \pgfmathparse{\fordN+\fordB}\global\let\fordK\pgfmathresult
 \pgfmathparse{floor(\fordK/\fordD)}\global\let\fordK\pgfmathresult
 \pgfmathparse{\fordK*\fordC}\global\let\fordE\pgfmathresult
 \pgfmathparse{\fordE-\fordA}\global\let\fordE\pgfmathresult
 \pgfmathparse{\fordK*\fordD}\global\let\fordF\pgfmathresult
 \pgfmathparse{\fordF-\fordB}\global\let\fordF\pgfmathresult
 \global\let\fordA\fordC
 \global\let\fordB\fordD
 \global\let\fordC\fordE
 \global\let\fordD\fordF
 \drawcircle{\fordA}{\fordB}
}

\end{tikzpicture}\end{center}
\end{document}


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