Résumé de topologie

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Résumé de topologie

Messagepar paspythagore » Mercredi 01 Décembre 2010, 20:10

Bonjour,

J'ai fait deux résumés sur la topologie et le calcul différentiel. Un premier long qui ne compile pas (je n'arrive pas à trouver pourquoi, comme il est long je l'ai mis en PJ) et un second plus court qui ne devrait recenser que les notions essentielles.

Je vous remercie de m'aider à rendre le premier correct au niveau latex et si vous avez le temps de corriger les erreurs et de me signaler les notions importantes qui manquent et les moins importantes à supprimer pour les résumés.

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%notes
%blabla \cite{ref1} re-blabla \cite{ref2}
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%\bibitem[1]{ref1} Truc and Machin, 1er article, Journal of Ploum ploum, 2009
%\bibitem[2]{ref2} Pere and Noel, 2e article, {\it Evolution of Chocolate and Sausage}, 2007
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\vspace{1cm}

\huge
Topologie et calcul différentiel

\vspace{1cm}

{\LARGE LM360 -- 2010-2011}

\vspace{1cm}

{\large Alain ROSSET}

{\large le 27 novembre 2010}

\vspace{1cm}

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\end{center}
\end{titlepage}
\setcounter{page}{2}

\tableofcontents

\newpage

\section{Espaces topologiques}
\begin{defi}[Topologie, ouvert]\cite[P5]{topo}

Une topologie sur un ensemble $E$ est une partie $\mathcal{J}$ de $\mathcal{P}(E)$ qui vérifie les propriétés suivantes :

1. $\varnothing\in\mathcal{J}, E\in\mathcal{J}$

2. L'intersection de deux éléments de $\mathcal{J}$ est un élément de $\mathcal{J}$

3. La réunion (finie ou infinie) d'une famille d'éléments de $\mathcal{J}$ est un éléments de $E$.

Un espace topologique est un couple $(E, \mathcal{J})$ où $E$ est un ensemble et $\mathcal{J}$ une topologie sur $E$.
Les élément de $\mathcal{J}$ sont appelés les ouverts ou les parties ouvertes de $E$.
\end{defi}

\section{Topologie des espaces métrisables}

\subsection*{Distances}

\begin{defi}[Distance]\cite[P5]{StR}
On appelle  distance sur un ensemble $E$ une fonction $d$ de $E\times E$ dans $\R^+$ satisfaisant pour tout $x$, tout $y$ et tout $z$ de $E$ :

\begin{center}
$d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y$

$d(x,y)=d(y,x)$

$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$
\end{center}
\end{defi}

\begin{defi}[Espace métrique]\cite[P5]{StR}
On appelle espace métrique un couple $(E, d)$ où $E$ est un ensemble et $d$ une distance sur $E$.
\end{defi}

\subsection{Intérieur et adhérence}\cite[P9]{StR}

\begin{defi}[adhérence]
Un point $x$ est dit adhérent à une partie $X$ de l'espace topologique $E$ si tout voisinage de $x$ rencontre $X$. La partie $X$ est dite partout dense dans $E$ (ou plus simplement dense dans $E$) si tout point de $E$ est adhérent à $X$.
\end{defi}

Une partie \textbf{dense} d'un espace topologique est une partie dont l'adhérence est l'espace tout entier.\cite{wiki4}

\begin{theo}
Si $X$ est une partie de l'espace topologique $E$, il existe un plus grand ouvert contenu dans $X$, qu'on appelle l'intérieur de $X$, et un plus petit fermé contenant $X$ qu'on appelle l'adhérence de $X$.
\end{theo}

\begin{propi}

\begin{enumerate}[1]
\item $ \stackrel{\ \circ}{A} = \mathrm{int}(A)  =\{x\in A, x\textit{ est intérieur à }A\}$.
\item $A\subset B \Longrightarrow \stackrel{\ \circ}{A} \subset \stackrel{\ \circ}{B}$.
\item $\overline{A^C}=(\stackrel{\ \circ}{A})^C \textit{ et que } \overline{A}^C=(\stackrel{\ \circ}{A^C})$.
\item $\overline{A}=\{x\in E, x\textit{ est adhérent à }A\}$.
\end{enumerate}
\end{propi}

\subsection{Suites convergentes}


\begin{propi}\cite[P12]{StR}
Une partie $X$ d'un espace métrique est fermée si et seulement si elle contient la limite de chacune de ses suites convergentes.
\end{propi}

\begin{theo}\cite[P11]{StR}
Une suite $(x_n)$ dans un produit d'espaces topologiques $(E_i)_{i\in I}$ converge vers $x=(x_i)$ si et seulement si, pour tout $i\in I$, la suite $(x_i^n)$ converge vers $x_i$.
\end{theo}

\begin{defi}\cite[P15]{StR}

Une application $f$ d'un espace métrique $E$ dans un espace métrique $F$ est dite $k$-lipschitzienne (avec $k\in\R^+$) si pour tout $x$ et pour tout $y$ de $E$, on a :

\[d(f(x),f(y))\leq k.d(x, y)\]
\end{defi}

\begin{theo}\cite[P15]{StR}
Si $f$ est lipschitzienne (c'est à dire $k$-lipschitzienne pour un certain $k$), $f$ est continue.
\end{theo}

\begin{theo}\cite[P16]{StR}

Soient $E$ un espace métrique, $a$ un point de $E, F$ un espace métrique et $f$ une application de $E$ dans $F$. On suppose que, pour tout $ \varepsilon>0$, il existe une fonction $f_\varepsilon$ de $E$ dans $F$ continue en $a$, vérifiant pour tout $x$ de $E$ : $d(f(x), f_\varepsilon(x))\leqslant\varepsilon$. Alors $f$ est continue en $a$.
\end{theo}

\begin{defi}\cite[P16]{StR}
On dit qu'une suite $(f_n)$ de fonction de l'ensemble $X$ dans l'espace métrique $E$ converge uniformément vers une fonction $f$ si, pour tout $ \varepsilon>0$, il existe un entier $m$ tel que, pour tout $x\in X$ et tout $n>m$, on ait $d(f_n(x),f(x))<\varepsilon$.
\end{defi}

\subsection{Homéomorphismes}

\begin{defi}\cite[P17]{StR}

On dit que $f$ est un homéomorphisme de $E$ sur $F$ si $f$ est bijective et continue de $E$ sur $F$ et si $f^{-1}$ est continue de $F$ sur $E$.

On dit que $E$ et $F$ sont homéomorphes s'il existe un homéomorphisme de $E$ sur $F$.
\end{defi}

\subsection{Continuité uniforme}

\begin{defi}\cite[P18]{StR}

On dit que la fonction $f$ de l'espace métrique $E$ dans l'espace métrique $F$ est uniformément continue si, pour tout $r>0$, on peut trouver un $\delta>0$ tel que, pour tout $x$ et tout $y$ de $E$ :

\[d(x, y)<\delta\Longrightarrow d(f(x), f(y))<r\]

Il est clair que si $f$ est $k$-lipschitzienne, elle est uniformément continue : il suffit de prendre $\delta=r/k$, avec les notations précédentes.
\end{defi}

\subsection{Espaces métriques séparables}

\begin{defi}\cite[P19]{StR}

Un espace topologique est dit \textbf{séparable} s'il contient une partie dénombrable partout dense.

Par exemple, \R, qui contient le sous-ensemble dénombrable dense $Q$ des rationnels est séparable.
\end{defi}

\begin{theo}\cite[P19]{StR}

Si l'espace métrique $E$ est séparable, il existe dans $E$ une famille dénombrable $(U_n)_{n\in\N}$ d'ouverts telle que tout ouvert de $E$ soit la réunion d'une sous-famille de $(U_n)_{n\in\N}$. Une telle famille est appelée \textbf{base de la topologie}.
\end{theo}

\begin{theo}\cite[P19]{StR}

Soit $E$ un espace métrique séparable. Si $\mathcal{A}$ est une famille d'ouverts de $E$ non vides et deux-à-deux disjoints, cette famille est dénombrable.
\end{theo}

\subsection{Espaces métriques séparables}

\begin{defi}\cite[P19]{StR}
Un espace topologique est dit séparable s'il contient une partie dénombrable partout dense.

Par exemple \R, qui contient le sous-ensemble dense \Q des rationnels est séparable.
\end{defi}

\section{Espaces compacts}

\subsection{La propriété de Borel-Lebesgue}

\begin{defi}\cite[P21]{StR}
Une famille de parties $(O_i)_{i\in I}$ d'un ensemble $E$ est appelée recouvrement de $E$ si $E$ est la réunion de cette famille, c'est à dire si tout point de $E$ appartient à l'un au moins des $O_i$.

Si $\mathscr{R}=(O_i)_{i\in I}$ est un recouvrement de $E$, on appelle sous-recouvrement de $\mathscr{R}$, une sous-famille $(O_i)_{i\in J}$ avec $J\subset I$ qui est un recouvrement de $E$.

On appelle recouvrement de ouvert d'un espace topologique $E$, toute famille d'ouverts de $E$ qui est un recouvrement de $E$.
\end{defi}

\begin{prop}\cite[P21]{StR}

Un espace topologique discret est compact si et seulement s'il est fini.
\end{prop}

\begin{defi}\cite[P21]{StR}

Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute famille de fermés non vides, qui est par intersection finie, possède une intersection non vide.
\end{defi}

\begin{theo}\cite[P22]{StR}

Si $E$ est séparé, et si le sous-espace $X$ de $E$ est compact, $X$ est fermé dans $E$.
\end{theo}

\subsection{Compact métrisable}

\begin{theo}\cite[P23]{StR}

Soit $E$ un espace métrique. Parmi les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item $E$ est compact.
\item Pour tout recouvrement ouvert $(O_i)_{i\in I}$ de $E$, il existe un nombre $\rho>0$ tel que toute boule ouverte de rayon $\rho$ centrée en un point de $E$ soit contenue dans l'un au moins des $O_i$.
\item Toute suite de points de $E$ possède dans $E$ une valeur d'adhérence.
\item Toute suite de point de $E$ possède une sous-suite qui converge dans $E$.
les propriétés 1), 3) et 4) sont équivalentes et entraînent la propriété 2).
\end{enumerate}
\end{theo}
 
\begin{theo}\cite[P24]{StR}

Si $E$ est un espace métrique compact et $(x_n)$ une suite de points de $E$ qui possède une seule valeur d'adhérence $a$, la suite $(x_n)$ converge vers $a$.
\end{theo}

\subsection{Parties compactes de la droite réelle}

\begin{theo}[Borel-Lebesgue]\cite[P25]{StR}

L'intervalle $[0, 1]$ de \R est compact.
\end{theo}

\begin{theo}\cite[P26]{StR}

Les parties compactes de \R sont les parties fermées et bornées.
\end{theo}

\subsection{Fonctions continues sur un compact}

\begin{theo}[Dini]\cite[P28]{StR}

Si $(f_n)$ est suite croissante de fonctions continues de l'espace compact $K$ dans \R, qui converge en tout point de $K$ vers une fonction continue $f$, la convergence est uniforme.
\end{theo}


\section{Espaces complets}

\subsection{Suites de cauchy}

\begin{defi}\cite[P31]{StR}

Une suite$(x_n)$ dans un espace métrique est appelée \textbf{suite de Cauchy} si pour tout $\varepsilon>0$, il existe un entier $m$ tel que la distance de deux termes quelconques de la suite, d'indices supérieurs à $m$, soit inférieure à $\varepsilon$.

Ceci revient à dire en notant $\Q_m$ l'ensemble $\{x_n : n>m\}$, on a $\ds\lim_{m\rightarrow\infty}diam(\Q_n)=0$.
\end{defi}

\begin{theo}\cite[P31]{StR}

Toute suite convergente dans un espace métrique est de Cauchy.
\end{theo}

\begin{prop}\cite{Wiki1}

\begin{enumerate}

\item Dans un espace métrique, toute suite convergente est de Cauchy.

Supposons qu'une suite $x = (x_n)$ d'un espace métrique $(X,d)$ converge vers une limite $l$. Alors, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N$ suffisamment grand tel que pour tout $n>N$ on a : $d(x_n,l) < \varepsilon$. L'inégalité triangulaire implique que pour $p,q>N$, on a :
$d(x_p,x_q)\leq d(x_p,l)+d(l,x_q)<2\varepsilon$.

La suite $x$ est donc bien de Cauchy.

\item Toute suite de Cauchy est bornée.

Soit $(x_n)$ une suite de Cauchy. Appliquons la définition pour $\varepsilon = 1$. Il existe un entier naturel $N$ vérifiant $d(x_p,x_q) < 1$ pour $p,q\geq N$. En particulier, pour $p>N$, on a :$d(x_p,x_N) < 1$. Donc, à partir du rang $N$, les termes de la suite appartiennent à une boule de rayon $1$. Par conséquent, la suite $x$ est bornée.

\item Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence. Si elle possède une valeur d'adhérence, alors elle converge.

\item L'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est de Cauchy.
\end{enumerate}
\end{prop}

\subsection{Complétude}

\begin{defi}\cite[P15]{CB}
Un espace métrique $(E,d)$ est \textbf{complet} si toute suite de Cauchy de points de $E$ est convergente.
\end{defi}

\begin{theo}\cite[P32]{StR}

Un sous-espace complet $F$ d'un espace métrique $E$ est fermé dans $E$.
\end{theo}

\begin{theo}\cite[P33]{StR}

Si $K$ est un espace compact et $F$ un espace métrique complet, l'espace $\mathscr{C}(K, F)$ muni de la distance de la convergence uniforme est complet.
\end{theo}

\section{Espaces connexes}
On va définir une notion topologique qui signifie intuitivement qu'un espace est "en un seul morceau" ou encore qu'on ne peut pas le partager en deux parties "éloignées l'une de l'autre".

\begin{defi}\cite[P37]{StR}
Un espace topologique $E$ est dit \textbf{connexe} si ses seules parties simultanément ouvertes et fermées sont $\varnothing$ et $E$.

Il revient au même de dire que $E$ n'est pas réunion de deux ouverts disjoints et non vides, ou que $E$ n'est pas réunion de deux fermés disjoints et non vide. Il est clair qu'un espace discret connexe a au plus un point.
\end{defi}

\begin{theo}\cite[P37]{StR}
Si l'espace $E$ contient une partie connexe partout dense, $E$ est connexe.
\end{theo}

\begin{theo}\cite[P37]{StR}
Si $f$ est une surjection continue de l'espace connexe $E$ sur $F$, l'espace $F$ est connexe.
\end{theo}

\subsection{Compacts connexes}

\begin{defi}\cite[P40]{StR}

On appelle \textbf{arc} dans un espace topologique $E$ une application continue d'un intervalle compact de \R dans $E$.

Si $\gamma : \croc{a,b}\longrightarrow E$ est un arc, les points $u=\gamma(a)$ et $v=\gamma(b)$ sont appelés extrémités de l'arc.
\end{defi}

\section{Espaces normés}

\subsection{Normes}

\begin{defi}\cite[P43]{StR}

On appelle \textbf{norme} sur un espace vectoriel, une application $\Vert .\Vert$ de $E$ dans $\R^+$ vérifiant les conditions :

\begin{enumerate}
\item $\Vert x\Vert=0\Longleftrightarrow x=0$
\item $\Vert \lambda x\Vert=\vert\lambda\vert\Vert x\Vert$ pour tout $x\in E$ et tout $\lambda\in\K$
\item $\Vert x+y\Vert\leqslant\Vert x\Vert+\Vert y\Vert$ pour tout $x$ et tout $y$ de $E$
\end{enumerate}
\end{defi}


\begin{prop}\cite[P43]{StR}

Si $\Vert .\Vert$ est une norme sur l'espace vectoriel $E$, la fonction $d : (x, y)\longmapsto \Vert x-y\Vert$ est une distance de $E$.
\end{prop}

\begin{defi}\cite[P43]{StR}

On appelle \textbf{espace de Banach} tout espace normé complet pour le distance aasociée à la norme.
\end{defi}

\begin{prop}\cite[P44]{StR}

Les boules d'un espace normé sont \textbf{convexes}, donc connexes par arc.
\end{prop}

\begin{coro}\cite[P45]{StR}

Tout espace normé est localement connexe.
\end{coro}

\subsection{Espaces normés de dimension finie}

\begin{theo}\cite[P45]{StR}

Sur l'espace vectoriel $\K^n$, toutes les normes sont équivalentes.

\end{theo}


\begin{theo}\cite[P46]{StR}

Si $E$ est un espace normé de dimension finie $n$ et si $(a_1, a_2, ..., a_n)$ est une base de $E$, l'application linéaire $T$ de $\K^n$ sur $E$ définie par $T(\Lambda)=\sum^n_{i=1}\Lambda_ia_i$ pour $ \Lambda=(\Lambda_1, \Lambda_2, ..., \Lambda_n)$ est un homéomorphisme de $\K^n$ sur $E$.

\end{theo}

\begin{theo}\cite[P46]{StR}

Dans un espace normé, tout sous-espace de dimension finie est fermé.
\end{theo}

\subsection{Exemples d'espaces normés}

\begin{theo}\cite[P48]{StR}

L'espace $c_0$, des suites de nombres complexes qui tendent vers $0$, est un espace de Banach.
\end{theo}

\subsection{Applications linéaires continues}

\begin{theo}\cite[P49]{StR}

Soit $f$ une application linéaire de l'espace normé $E$ dans l'espace normé $F$. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

\begin{enumerate}
\item $f$ est continue.
\item $f$ est continue en $0$.
\item $f$ est uniformément continue.
\item $f$ est lipschitzienne.
\item Il existe une constante $M$ telle que pour tout $x$ de $E$, on ait $\Vert f(x)\Vert\leqslant M\Vert x\Vert$.
\end{enumerate}

\end{theo}

\begin{defi}\cite[P49]{StR}

Si $f$ est une application linéaire continue de l'espace normé $E$ dans l'espace normé $F$, on appelle norme de $f$ la plus petite constante $M$ telle que, pour tout $x\in E$, on ait $\Vert f(x)\Vert\leqslant M\Vert x\Vert$. On la note $\Vert f\Vert$.
\end{defi}

\begin{prop}\cite[P50]{StR}

La norme d'une application linéaire continue $f$ est égale à :

\[\Vert f\Vert=\ds\sup_{x\in B}\Vert f(x)\Vert\]

où $B$ désigne la boule unité de $E$.
\end{prop}

\begin{theo}\cite[P50]{StR}

Si $f$ est une application linéaire de l'espace normé $E$ de dimension finie dans l'espace normé $F$, $f$ est continue.
\end{theo}

\begin{theo}\cite[P50]{StR}

Muni de l'application $f \longmapsto \Vert f\Vert$, l'espace vectoriel $\mathscr{L}(E, F)$ est un espace normé. De plus, si $F$ est complet, $\mathscr{L}(E, F)$ est un espace de Banach.
\end{theo}

\begin{theo}\cite[P51]{StR}

Si $E$ est un espace de Banach, l'espace $\mathscr{L}(E)=\mathscr{L}(E, E)$ est une algèbre de Banach, c'est à dire un espace de Banach muni d'une multiplication associative et distributive par rapport à la somme et vérifiant $\Vert fg\Vert\Vert f\Vert.\Vert g\Vert$ pour tout $f$ et tout $g$.

ceci résulte immédiatement de ce qui précède. On notera $I$ l'application identique de $E$, qui est l'unité de l'algèbre $\mathscr{L}(E)$
\end{theo}

\subsection{Quotient d'un zéro fermé}

\begin{theo}\cite[P54]{StR}

Si $E$ est un espace de normé et $F$ un sous-espace fermé de $E$, l'application $\Vert .\Vert$ définie sur $E/F$ par $\Vert \dot{x}\Vert=\ds\inf_{x\in\dot{x}}\Vert x\Vert$ est une norme sur $E/F$, pour laquelle l'application $\pi : E\longrightarrow E/F$ est continue de norme au plus $1$. Cette norme est appelée \textbf{la norme quotient} de $E/F$. On a alors pour tout $x\in E : \Vert \Pi(x)\Vert=d(x, F)$.
\end{theo}

\begin{theo}\cite[P56]{StR}

Si $E$ est un espace de Banach et $F$ un sous-espace fermé de $E$, le quotient $E/F$ est un espace de Banach.
\end{theo}

\subsection{Applications bilinéaires continues}

\begin{defi}\cite[P57]{StR}

On appelle \textbf{norme} de l'application bilinéaire continue $f$ de $E\times F$ dans $G$ la quantité :

\[\Vert f\Vert=\sup\{\Vert f(x, y)\Vert : \Vert x\Vert\leqslant 1,  \Vert y\Vert\leqslant 1\}\]

qui est la plus petite constante $M$ satisfaisant l'inégalité $\Vert f(x, y)\Vert \leqslant M \Vert x\Vert\ \Vert y\Vert$ pour tout $x$ de $E$ et tout $y$ de $F$.
\end{defi}

\subsection{Perturbations lipschitziennes de l'identité}\cite[P58]{StR}

\subsection{Le théorème de Hahn-Banach}

\begin{theo}\cite[P59]{StR}

Soit $E$, un espace normé et $f$ une forme linéaire non nulle sur $E$, alors $f$ est continue si et seulement si le noyau de $f$ est fermé dans $E$.
\end{theo}

\begin{theo}[Hahn-Banach]\cite[P60]{StR}

Soit $E$ un espace normé séparable sur \R et $a\in $. Il existe une fonction linéaire continue $\tilde{f}$ sur $E$ de norme $1$ telle que $\tilde{f}(a)=\Vert a\Vert$.
\end{theo}

\newpage

\section{Espaces de Hilbert}

\subsection{Produit scalaire}

\begin{defi}\cite[P63]{StR}

Si $E$ est un espace vectoriel sur \C on appelle \textbf{produit scalaire hermitien} ou simplement \textbf{produit scalaire} sur $E$ une application $(x, y)\longmapsto \langle x, y\rangle$ de $E\times E$ dans \C vérifiant les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item $\forall y\in E$, l'application $x\longmapsto \langle x, y\rangle$ est linéaire.
\item $\forall x, y \in E, \langle y, x\rangle=\overline{ \langle x, y\rangle}$
\item $\forall x\in E, \langle x, x\rangle\in\R^+$
\item $\forall x\in E, \langle x, x \rangle=0\Longrightarrow x=0$
\end{enumerate}

On peut noter que les propriétés 1) et 2) entraînent que pour tout $x$ fixé, l'application $y\longmapsto  \langle x, y\rangle$ est anti-linéaire c'est à dire vérifie :
\[ \langle x, y+y'\rangle= \langle x, y\rangle+ \langle x, y'\rangle\]
\[ \langle x, \lambda y\rangle= \bar{\lambda}\langle x, y\rangle\]
\end{defi}

\begin{defi}[Inégalité de Cauchy-Schwarz]\cite[P63]{StR}

Si $\langle ...\rangle$ est un produit scalaire sur $E$, on a pour tout $x$ et tout $y$ de $E$ l'inégalité :
\[\vert\langle x, y\rangle\vert^2\leqslant\langle x, x\rangle .\langle y, y\rangle\]
De plus, si on a l'égalité $\vert\langle x, y\rangle\vert^2\leqslant\langle x, x\rangle .\langle y, y\rangle$, les vecteurs sont proportionnels.
\end{defi}

\begin{theo}[Inégalité de Cauchy-Schwarz]\cite[P64]{StR}

Si $\langle ...\rangle$ est un produit scalaire sur $E$, l'application $x\longmapsto\Vert x\Vert=\sqrt{\langle x, x\rangle}$ est une norme sur $E$.
\end{theo}

\begin{defi}\cite[P64]{StR}

On appelle \textbf{espace préhilbérien} un espace normé muni d'un produit scalaire tel que $\Vert x\Vert^2=\langle x, x\rangle$
\end{defi}

\begin{defi}\cite[P64]{StR}

Un vecteur $x$ de l'espace préhilbérien $E$ est dit \textbf{orthogonal} à un vecteur $y$ si leur produit scalaire est nul. On notera alors $x\bot y$.
\end{defi}

\begin{theo}\cite[P65]{StR}

Si $E$ est un espace préhilbérien, le produit scalaire de deux vecteurs $x$ et $y$ est donné par :
\[\langle x, y\rangle=\dfrac{1}{4}(\Vert x+y\Vert^2+i\Vert x+iy\Vert^2-\Vert x-y\Vert^2-i\Vert x-y\Vert^2)\]
\end{theo}

\begin{defi}\cite[P66]{StR}

On appelle \textbf{espace hilbérien} ou espace de Hilbert un espace préhilbérien complet.
\end{defi}

\subsection{Projection orthogonale}

\begin{theo}\cite[P66]{StR}

Soient $E$ un espace préhilbérien et $A$ une partie convexe complète non vide de $E$. alors, pour tout $x$ de $E$, il existe un unique point $y$ de $A$, appelé \textbf{projection orthogonale} de $x$ sur $A$ tel que $d(x, A)=\Vert x-y\Vert $.

Ce point est caractérisé par la propriété :

\[\forall z\in A, \Re(\langle x-y, z-y\rangle)\leqslant 0\]
\end{theo}

\begin{theo}\cite[P68]{StR}

Soit $X$ un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel de l'espace hilbérien $E$. alors $X$ est dense si et seulement si $X^\bot=\{0\}$.
\end{theo}

\section{Fonctions dérivables}

\subsection{Fonctions réelles dérivables}

\begin{defi}\cite[P71]{StR}

Une fonction $f$ définie sur un ouvert $U$ de \R et à valeurs dans \R est dite \textbf{dérivable} en un point $x_0$ de $U$ si le quotient $ \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ possède une limite quand $x$ tend vers $x_0$ (par valeurs disctinctes de $x_0$). La limite est alors appelée dérivée de $f$ en $x_0$.

La fonction $f$ est dite dérivable sur $U$ si elle est dérivable en tout point de $U$. Dans ce cas, on appelle \textbf{fonction dérivée de $f$} la fonction définie sur $U$ qui à tout point $x$ de $U$ associe la dérivée de $f$ en $x$.
\end{defi}

\begin{defi}\cite[P72]{StR}

Une fonction réeelle $f$ définie sur un ouvert $U$ de \R est dite \textbf{de classe $\mathscr{C}^1$ ou continument dérivable} si elle est dérivable sur $U$ et si sa dérivée $f'$ est continue de $U$ dans \R.
\end{defi}

\subsection{Opérations sur les fonctions dérivables}

\subsection{Extrema}

\begin{theo}\cite[P73]{StR}

Soient $U$ un ouvert de \R, $f$ une fonction réelle dérivable sur $U$. Si, en point $x_0$, la fonction $f$ admet un minimum ou un maximum local, la dérivée de $f$ s'annule en $x_0$.
\end{theo}

\begin{theo}[Rolle]\cite[P74]{StR}

Soit $f$, une fonction réelle continue sur un intervalle réel $[a, b]$ et dérivable sur l'intervalle ouvert $]a, b[$. Si $f$ s'annule en $a$ et en $b$, il existe un point $c\in]a, b[$ où la dérivée de $f$ s'annule.
\end{theo}

\subsection{Le théorème des accroissements finis}

\begin{theo}[Théorème des accroissemnts finis]\cite[P74]{StR}

Soit $f$ une fonction réelle continue sur l'intervalle réel $[a, b]$, dérivable en tout point de $]a, b[$. Alors il existe un point $c$ de l'intervalle ouvert $]a, b[$ tel que :

\[ \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\]
\end{theo}

\subsection{Fonctions dérivables à valeurs dans un espace de Banach}

\begin{theo}\cite[P77]{StR}

Soit $f$ une fonction réelle définie sur un ouvert $U$ de \R à valeurs dans un espace $E$ de dimension finie. Alors, $f$ est dérivable en un point $x_0$ de $U$ si et seulement si chacune des fonctions coordonnées de $f$ est dérivable en $x_0$. Dans ce cas, les coordonnées de la dérivée $f'(x_0)$ sont les dérivées en $x_0$ des fonctions coordonnées.

\textbf{Ce théorème ne s'étend pas à un espace de Banach}
\end{theo}

\subsection{Inégalité des accroissements finis}

\begin{theo}\cite[P78]{StR}

Soient $[a, b]$ un intervalle de \R (avec $a<b$), $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ à valeurs dans un espace de Banach $E$ et $h$ une fonction continue de $[a, b]$ dans \R. Si $f$ et $h$ sont dérivables à droite en tout point de $]a, b[$ et vérifient $\Vert f'_d(x)\Vert\leqslant h'_d(x)$ pour tout $x$ de $]a, b[$, on a :

\[\Vert f(b)-f(a)\Vert \leqslant h(b)-h(a)\]
\end{theo}


\begin{theo}\cite[P79]{StR}

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a, b]$ de \R, à valeurs dans un espace de Banach $E$. Si $f$ est dérivable à droite en tout point de $]a, b[$ et vérifie $\Vert f'_d(x)\Vert \leqslant M$ pour tout $x$ de $]a, b[$, on a :

\[ \Vert f(b)-f(a)\Vert \leqslant M(b-a)\]
\end{theo}

\subsection{Formule de Taylor}

\begin{theo}[Taylor]\cite[P81]{StR}

Soient $U$ un ouvert de \R et $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^n$ sur $U$. Si $a$ et $b$ sont deux points de $U$, on a l'égalité :

\[ \Vert f(b)-\ds\sum_{j=0}^{n-1}\dfrac{(b-a)^j}{j!}f^{(j)}(a)\Vert\leqslant \dfrac{\vert b-a\vert^n}{n!}\ds\sup_{x\in [a, b]}\Vert f^{(n)}(x)\Vert\]
\end{theo}

\begin{theo}[Formule de Taylor-Young]\cite[P82]{StR}

Si $U$ est un ouvert de \R et $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^n$ sur $U$ \textbf{dans un espace de Banach} $E$, on a pour $a\in U$ :

\[f(x)=\ds\sum_{j=0}^n \dfrac{(x-a)^j}{j!}f^{j)}(a)+(x-a)^n \varepsilon_n(x)\]

où $ \varepsilon_n$ est une fonction qui tend vers $0$ quand $x$ tend vers $a$.
\end{theo}

\section{Fonctions différentiables}

\subsection{Notations de Landau}

\begin{theo}\cite[P83]{StR}

Soient $X$ un espace topologique, $a$ un point de $X$, $f$ et $g$ deux fonctions de $X$ dans \R. On dira que $g$ est $o(f)$ quand $x$ tend vers $a$ -on écrira $g=o(f)$- si :
\[\forall\varepsilon>0, \exists V \text{ voisinage de } a \text{ dans } X \text{ tel que } \forall x\in V, \vert g(x)\vert\leqslant\varepsilon\vert f(x)\vert\]

On dira de même que $g$ est $O(f)$ quand $x$ tend vers $a$ -on écrira $g=O(f)$- si :
\[\exists M, \exists V \text{ voisinage de } a \text{ dans } X \text{ tel que } \forall x\in V, \vert g(x)\vert\leqslant M\vert f(x)\vert\]

Dire que $g=o(f)$ signifie que le quotient $ \dfrac{g(x)}{f(x)}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $a$. Et dire que $g=O(f)$ signifie que ce quotient est borné au voisinage de $a$.
\end{theo}

\textbf{Extension des définitions}

Plus généralement, si $f$ et $g$ sont des fonctions de $X$ dans des espaces de Banach $E$ et $F$, on dira que $g$ est $o(f)$ si la fonction $\Vert g(.)\Vert : x\longmapsto\Vert g(x)\Vert$ est $o(\Vert f(.)\Vert)$ et on dira que $g$ est $O(f)$ si la fonction $\Vert g(.)\Vert : x\longmapsto\Vert g(x)\Vert$ est $O(\Vert f(.)\Vert)$

\subsection{Différentiabilité}

\begin{defi}\cite[P85]{StR}

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach. $U$ un ouvert de $E$ et $f$ une fonction de $U$ dans $F$. On dit que $f$ est \textbf{différentiable} en un point $a$ de $U$ s'il existe une application linéaire continue $T\in\mathscr{L}(E, F)$ telle que :

\[f(x)-f(a)-T.(x-a)=o(x-a)\]

quand $x$ tend vers $a$.
\end{defi}

\begin{theo}\cite[P86]{StR}

Soient $U$ un ouvert de \R et $f$ une fonction de $U$ dans un espace de Banach $F$. Alors $f$ est différentiable en un point $x_0$ de $U$ si et seulement si elle y est dérivable. De plus, si $m\in F$ est la dérivée de $f$ en $x_0$, la differentielle de $f$ en $x_0$ est l'application linéaire $T_m : \R\longrightarrow F$ définie par :

\[T_m(\Lambda)=\Lambda .m\]
\end{theo}

\subsection{Le théorème des accroissements finis}

\begin{theo}\cite[P89]{StR}

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach, $U$ un ouvert de $E$ et $f$ une fonction différentiable sur $U$. Si on a $\Vert f'(x)\Vert\leqslant M$ pour tout $x$ de $U$,la fonction $f$ est $M$-lipschitzienne et on a pour tout $a$ et tout $b$ de $U$ :

\[\Vert f(b)-f(a)\Vert\leqslant M\Vert b-a\Vert\]
\end{theo}

\subsection{Fonctions différentiables sur un produit}

\begin{theo}\cite[P95]{StR}

Si la fonction $f$ définie sur l'ouvert $U$ de $E_1\times E_2$ et à valeurs dans $F$ est différentiable au point $(x, y)$ de $U$, la fonction $f_y$ est différentiable en $x$ et la fonction $f^x$ est différentiable en $y$. De plus, pour $(u, v)\in E_1\times E_2$, on a :

\[f'(x, y).(u, v)=(f_g)'(x).u+(f^x)'(y).v\]

\end{theo}

\subsection{Fonctions définies sur un espace de dimension finie}

\begin{theo}\cite[P100]{StR}

Soient $U$ un ouvert de $\R^n$ et $f$ une application de $U$ dans un espace de Banach $F$. Si, en chaque point de $U$, la fonction $f$ admet des dérivées partielles par rapport à chaque variable et si ces dérivées partiellessont des fonctions continues de $U$ dans $F$, alors $f$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $U$.

De plus, la différentielle de $f$ en $a$ est l'application de $\R^n$ dans $F$ définie par :

\[(u_1, u_2, ..., u_n)\longmapsto \ds\sum^n_{j=1}.\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(a)\]
\end{theo}

\subsection{Matrice jacobienne}

\begin{theo}\cite[P101]{StR}

Si $U$ est un ouvert de $\R^n$ et $f$ une application de $U$ dans $\R^p$, différentiable en $x_0\in U$, et si $(f_1, f_2, ..., f_p)$ sont les fonctions coordonnées de $f$, la matrice jacobienne de $f$ en $x_0$ s'écrit :

\[J_f(x_0)=\setlength{\extrarowheight}{15pt}\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}&\dots&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\
\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}&\dots&\dfrac{\partial f_2}{\partial x_n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
\dfrac{\partial f_p}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_p}{\partial x_2}&\dots&\dfrac{\partial f_p}{\partial x_n}\\
\end{pmatrix} \]
\end{theo}

\begin{theo}\cite[P101]{StR}

Soient $U$ un ouvert de $\R^n$, $V$ un ouvert de $\R^p$, $f$ une application de $U$ dans $\R^p$ et $g$ une application de $V$ dans $\R^q$. Si $f(U)\subset V$, si $f$ est différentiable en $x_0$ et $g$ en $y_0=f(x_0)$, on a :

\[J_{g\circ f}=J_g(y_0).J_f(x_0)\]

\end{theo}

\section{Différentielles du second ordre}

\subsection{Le théorème de symétrie de Schwarz}\cite[P106]{StR}

\begin{lem}\cite[P106]{StR}

Soit $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ définie sur un voisinage ouvert $U$ de $(0, 0)$ dans $\R^2$ à valeurs dans un espace de Banach $F$. On suppose que $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ possède en tout point de $U$ une dérivée partielle par rapport à $y$, et que cette dernière est continue en $(0, 0)$. Alors $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ possède en $(0, 0)$ une dérivée partielle par rapport à $x$ et on a :

\[ \dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)(0, 0)=\dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)(0, 0)\]
\end{lem}

\begin{coro}\cite[P108]{StR}\label{10.4.2}

Soient $U$ un voisinage ouvert de $(0, 0)$ dans $\R^2$ et $f$ une application $\mathscr{C}^2$ de $U$ dans un espace de Banach $F$. alors les dérivées partielles $ \dfrac{\partial f}{\partial x}$ et $ \dfrac{\partial f}{\partial y}$ sont de classe $\mathscr{C}^1$ de $U$ dans $F$ et on a :

\[ \dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)(0, 0)=\dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)(0, 0)\]
\end{coro}

\begin{coro}\cite[P108]{StR}

Soient $U$ un ouvert de $\R^n$ et $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ de $U$ dans un espace de Banach $F$. Alors, pour tout $a\in U$, on a :

\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}(a)=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_j}(a)\]
\end{coro}

\begin{defi}\cite[P108]{StR}

Soient $U$ un ouvert de $\R^n$ et $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ de $U$ dans \R. Alors, pour tout $a\in U$, on appelle \textbf{matrice hessienne} de $f$ en $a$ la matrice des dérivées partielles secondes de $f$ en $a$ :

\[H_f(a)=\setlength{\extrarowheight}{15pt}\begin{pmatrix}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a)&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}(a)&\dots&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}(a)\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}(a)&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(a)&\dots&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}(a)\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}(a)&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}(a)&\dots&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(a)\\
\end{pmatrix} \]
\end{defi}

\begin{theo}\cite[P108]{StR}

Soient $U$ un ouvert de $\R^n$ et $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ de $U$ dans \R. Si $H$ est la matrice hessienne de $f$ en $a$, on a por tout $u=(u_1, u_2, ..., u_n)$ et tout $v=(v_1, v_2, ..., v_n)$ de $\R^n$,

\[f''(a)\cdot (u, v)=(u_1\:u_2\:\cdots\:u_n)H\left(\begin{array}{c}v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n\end{array} \right)\]
\end{theo}

\begin{theo}[Schwarz]\cite[P109]{StR}

Soient $U$ un ouvert de l'espace de Banach $E$ et $f$ une application de classe $\mathscr{C}^2$ de $U$ dans un espace de Banach $F$. Alors, pour tout $a$ de $U$, l'application biliniéaire $f''(a)$ est symétrique, I;E;, pour$h$ et $k$ dans $E$ on a :

\[f''(a)\cdot(h, k)=f''(a)\cdot(k, h)\]
\end{theo}

\subsection{Formule de Taylor}

\begin{theo}\cite[P109]{StR}

Soient $E$ et $F$, deux espaces de Banach, $U$ un ouvert convexe de $E$, $a$ et $b$ deux points de $U$. On a alors :

\[ \Vert f(b)-\big(f(a)+f'(a).(b-a)\big)\Vert\leqslant \dfrac{1}{2}\ds\sup_{x\in U}\Vert f''(x).(b-a, b-a)\Vert\]
\end{theo}

\begin{theo}\cite[P110]{StR}

Soient $E$ et $F$, deux espaces de Banach, $U$ un ouvert convexe de $E$, $a$ un point de $U$. On a alors :

\[ \Vert f(a+h)=f(a)+f'(a).h+\dfrac{1}{2}f''(a).(h, h)+o\big(\Vert h\Vert^2\big)\]

quand $h$ tend vers $0$.
\end{theo}

\subsection{Fonctions convexes}

\begin{lem}\cite[P111]{StR}

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $J$ de \R est \textbf{convexe} si et seulement si, pour toute fonction affine $l : J\longrightarrow \R$, coïncide avec $f$ en deux points $x$ et $y$, on a $f\leqslant l$ sur l'intervalle d'extrémités $x$ et $y$.
\end{lem}

\begin{theo}\cite[P112]{StR}

Soient $J$ un intervalle ouvert de \R et $f$ une fonction de $\mathscr{C}^1$ de $J$ dans \R telle que $f'$ soit dérivable sur $J$. Alors $f$ est convexe si et seulement si $f''$ est positive sur $J$.
\end{theo}

\section{Fonctions implicites et inversion locale}

\subsection{Difféomorphismes}

\begin{defi}\cite{StR}[P115]

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach, $U$ un ouvert de $E$ et $F$ un ouvert de $F$. Une fonction $f : U\longrightarrow V$ est appelée \textbf{difféomorphisme} (ou $\mathscr{C}^1$-difféomorphisme) de $U$ dans $V$ si elle est bijective de $U$ sur $V$, de classe $\mathscr{C}^1$ et su $f^{-1}$ est de classe $\mathscr{C}^1$ de $V$ sur $U$.
\end{defi}

\begin{theo}[Théorème d'inversion locale]\cite{StR}[P116]

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach, $U$ un ouvert de $E$, $f$ une application de classe $\mathscr{C}^1$ de $U$ dans $F$ et $a$ un point de $U$. Si $f'(a)$ est un isomorphisme de $E$ sur $F$, il existe un voisinage ouvert $U'$ de $a$ tel que $V':=f(U')$ soit ouvert dans $F$ et que la restriction de $f$ à $U'$ soit un difféomorphisme de $U'$ sur $V'$.
\end{theo}

\subsection{Fonctions implicites}

\begin{theo}[Théorème des fonctions implicites]\cite{StR}[P118]

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach, $U$ un ouvert de $E\times F$ et $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ de $U$ dans $F$. Si, pour un point $'x_0, y_0)$ de $U$, on a $f(x_0, y_0)=0$ et si la différentielle partielle $ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$ est un élément inversible de $\mathscr{L}(F)$, il existe un voisinage $V$ de $x_0$, un voisi nage $W$ de $y_0$, et une fonction $\varphi$ de classe $\mathscr{C}^1$ de $V$ dans $W$ tels que $V\times W\subset U$, que $y_0=\varphi(x_0)$ et que, pour tout $(x, y)\in V\times W$,

\[f(x, y)=0\Longleftrightarrow y=\varphi(x)\]
\end{theo}

\section{Théorèmes du rang constant}

\subsection{Rang de la différentielle}

\begin{lem}\cite{StR}[P121]\label{12.1.1}

Si $U$ est un ouvert d'un espace de Banach $E$, $f$ une application de classe $\mathscr{C}^1$ de $U$ dans un espace  de Banach $F$ et si la différentielle de $f$ en un point $a$ de $U$ est de rang fini $r$, il existe un voisinage $U_1$ de $a$ dans $U$ tel que $f'(x)$ soit de rang au moins égal à $r$ en tout point de $U_1$.
\end{lem}

\begin{theo}\cite{StR}[P122]

Si $E$ et $f$ deux espaces normés de dimensions finies respectives $n$ et $p$, et $f$ une application de classe $\mathscr{C}^1$ définie sur un ouvert $U$ de $E$ et à valeurs dans $F$. Si en tout point $a$ de $U$ la différentielle de $f$ est de rang $n$ ou $p$, ce rang est constant sur un voisinage de $a$
\end{theo}

\subsection{Le cas général}

On suppose désormais que $E$ est un espace normé de dimension $n$, $U$ un voisinage ouvert d'un point $a$ de $E$ et $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ de $U$ dans un espace de Banach $F$, dont la différentielle en tout point de $x$ de $U$ est de rang $r$.

\begin{theo}\cite{StR}[P127]

Il existe un voisinage ouvert $U'$ de $a$, un $\mathscr{C}^1$-difféomorphisme $\varphi$ de $U'$ sur un voisinage de $0$ dans $E$ et un $\mathscr{C}^1$-difféomorphisme $\psi$ d'un voisinage ouvert de $0$ dans $F$ sur un voisinage ouvert de $f(a)$ dans $F$ tels que, pour tout $x$ de $U'$, on ait :

\[f(x)=\psi\circ f'(a)\circ\varphi(x)\]

De plus, si $f$ est de classe $\mathscr{C}^2$, il en ait de même de $\varphi$ et de $\psi$.
\end{theo}

\section{Optmisation}

\subsection{Extremums sur un ouvert}

\begin{theo}\cite{StR}[P129]

Soient $E$ un espace de Banach, $U$ un ouvert de $E$ et $f$ une fonction différentiable de $U$ dans \R? Si $f$ atteint en $a$ un maximum ou un minimum local, la différentielle de $f$ s'annule en $a$.
\end{theo}

\begin{theo}\cite{StR}[P129]\label{13.1.3}

Si $U$ est un ouvert convexe d'un espace de Banach $E$ et $f$ une fonction convexe différentielle de $U$ dans \R, et si $a$ est un point critique de $f$, la fonction $f$ atteint en $a$ son minimum.
\end{theo}

\subsection{Extremums liés}

\begin{theo}\cite{StR}[P132]\label{13.2.1}

Soient $U$ un ouvert de l'espace de Banach $E$, $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ de $U$ dans \R et $\varphi$ une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ de $U$ dans $\R^p$, de fonctions coordonnées $(\varphi_1, \varphi_2, \cdots, \varphi_p)$. Si la fonction $f$ admet en un point $a$ un extremum local sur l'ensemble $X=\{x\in U : \varphi(x)=0\}$ et si la différentielle $\varphi'(a)$ est surjective, il existe des scalaires $(\Lambda_1, \Lambda_2, \cdots, \Lambda_p)$ tels que :

\[f'(a)=\ds\sum^p_{j=1}\Lambda_j\varphi'_j(a)\]
\end{theo}

\subsection{Conditions du second ordre}\cite{StR}[P1135]

\subsection*{Conditions suffisantes}

\begin{theo}\cite{StR}[P135]

Soient $U$ un ouvert de l'espace de Banach $E$, $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ de $U$ dans \R . Si $a$ est un point critique de $f$ et s'il existe un $\delta>0$ tel que :

\[ f''(a).(h, h)\geqslant \delta\Vert h\Vert^2\]

pour tout $h$ de $E$, la fonction $f$ atteint en $a$ un minimum local strict.
\end{theo}

\begin{theo}\cite{StR}[P137]

Soient $U$ un ouvert de l'espace de l'espace de dimension finie $E$ et $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ de $U$ dans \R. Si $a$ est un point critique de $f$ et si $f''(a).(h, h)>0$ pour tout $h$ non nul de $E$, la fonction $f$ atteint en $a$ un minimum local strict.
\end{theo}

\begin{coro}\cite{StR}[P138]\label{13.3.8}

Soient $U$ un ouvert de l'espace de l'espace $\R^n$ et $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ de $U$ dans \R. Si $a$ est un point critique de $f$ et si les déterminants :

\[ \Delta_p=\setlength{\extrarowheight}{15pt}\begin{vmatrix}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}&\dots&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_p}\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}&\dots&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_p}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_p}&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_p}&\dots&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_p^2}\\
\end{vmatrix}\]

sont strictement positifs pour $1\leqslant p\leqslant n$, la fonction $f$ atteint en $a$ un minimum  local strict.
 
\end{coro}

\section{Ensembles dénombrables}\cite{StR}[P141]

RAPPELS

\vfill %ressort vertical
\begin{thebibliography}{2}

   \bibitem{topo}Pearson \og Mathématiques Analyses L3 \fg{}.
   
   \bibitem{StR}Cours de LM360 \og Topologie et calcul différentiel\fg{} de Jean \bsc{Saint Raymond}.
   
   \bibitem{Wiki1}Suite de Cauchy :  \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Cauchy}.
   
   \bibitem{CB}\og Topologie pour la licence\fg{} de Claude \bsc{Berger}.
   
   \bibitem{Wiki2}Injection :  \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Injection_(mathématiques)}.
   
   \bibitem{Wiki3}Surjection :  \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Surjection}.
   
   \bibitem{Wiki4}Dense :  \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Glossaire_de_topologie}.
\end{thebibliography}
\label{LastPage}
\newpage
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Re: résumé de topologie

Messagepar pg » Mercredi 01 Décembre 2010, 20:52

Pour les problèmes de compilation, voici ce que j'ai vu (comme je les ai corrigé au fur et à mesure, il se peut que les numéros de lignes soient légèrement différents) :
  • ligne 1520 : in manque une } après le point final de la phrase
  • lignes 1530, 1537, 1538 : on ne peut pas mettre de & dans une équation du type $...$
  • lignes 1563, 1619 : l'argument de \textbf ou \textit ne doit pas avoir de lignes blanches en son sein ; utiliser {\bfseries...} ou {\itshape...} à la place (utiliser un environnement approprié serait bien sûr mieux)
  • ligne 1591 : il y a un \end{array} en trop et une ligne blanche en trop
  • ligne 1605 : le \[ se termine par un $ au lieu de \]
  • lignes 1607, 1609, 1611 : il manque un } après le \frac{1}{2}
  • lignes 1609, 1611 : il manque une } après toutes les \dfrac

Il y a pas mal de choses à dire sur le code latex lui-même, mais le plus visible est (le reste sera pour une prochaine fois) :

  • on ne met pas de lignes blanches avant un \[...\] et on en met après seulement si la formule termine le paragraphe (donc en particulier la phrase)
  • la méthode choisie pour encadrer est mauvaise car tous les encadrés dépassent dans la marge de droite et ne sont pas séparés verticalement entre eux quand ils se succèdent. Un moyen d'éviter ces écueils est d'utiliser l'environnement {encadrement} défini ainsi :
    Code: Tout sélectionner
    \newsavebox{\boiteencadrement}
    \newenvironment{encadrement}
      {\begin{lrbox}{\boiteencadrement}\begin{minipage}{\textwidth}}
      {\end{minipage}\end{lrbox}
       \par\addvspace{\topsep}%
       \noindent\fbox{\usebox{\boiteencadrement}}%
       \par\addvspace{\topsep}}
    Ensuite, pour encadrer un théorème, on fait
    Code: Tout sélectionner
    \begin{encadrement}
    \begin{defi}
    ...
    \end{defi}
    \end{encadrement}
  • l'abréviation pour "page 29" est "p.~29", pas "P29"
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Re: Résumé de topologie

Messagepar paspythagore » Mercredi 01 Décembre 2010, 21:52

Merci ça compile.

Pour
lignes 1563, 1619 : l'argument de \textbf ou \textit ne doit pas avoir de lignes blanches en son sein ; utiliser {\bfseries...} ou {\itshape...} à la place (utiliser un environnement approprié serait bien sûr mieux)


je voulais mettre l'énoncé en italique et le reste normal. Quel est l'environnement approprié ?

Pour le reste, je vais corriger petit à petit, mais vu la taille...
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Re: Résumé de topologie

Messagepar balf » Mercredi 01 Décembre 2010, 22:26

Voici aussi une version corrigée. Il y a deux endroits utilisant & dans un environnement $...$, et bien entend, le compilateur hurle. Je les ai remplacés par un environnement align* (s'agissait-il d'un environnement eqnarray qui n'aurait pas été tapé ?) et j'en ai profité pour corriger quelques coquilles, fautes d'orthographe, etc. Les \includegraphics sont commentés, car je n'avais pas les fichiers graphiques.

$$...$$ (environnement plain TeX) doit être remplacé en LaTeX par \[...\]

Pourquoi ce \newline à chaque changement de section ? Si ce doit être systématique, il vaut mieux redéfinir la commande \section à l'aide de l'extension titlesec.

B.A.
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Re: Résumé de topologie

Messagepar pg » Mercredi 01 Décembre 2010, 22:47

paspythagore a écrit:Quel est l'environnement approprié ?


Pour séparer le fond et la forme, soit un théorème défini avec \newtheorem (si on veut un titre avant) soit un environnement personnel du type

Code: Tout sélectionner
\newenvironment{application}
  {\itshape}% code début
  {}% code fin
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Re: Résumé de topologie

Messagepar paspythagore » Jeudi 02 Décembre 2010, 01:04

Merci pour votre aide, pour la forme j'en suis resté là.

Sur le fond quelles sont les notions fondamentales de topo et de calcul différentiel qu'il faut absolument savoir ?

Bonne soirée.
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