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Problème depuis le passage à Ubuntu 20.04

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Problème depuis le passage à Ubuntu 20.04

Messagepar Raptor94 » Samedi 25 Avril 2020, 14:45

Bonjour,
Depuis que je suis passé en Ubuntu 20.04, je n'arrive plus à compiler le programme suivant. Déjà le package "francais" pose problème.
Mais surtout ils ne trouvent pas les packages "Tkz-Tab.sty" et "thmbox.sty" (je précise que j'utilsie TexStudio)

Code: Tout sélectionner
\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{multicol}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\usepackage{eurosym}
%\usepackage{Tkz-Tab}
\usepackage[theorems]{tcolorbox} % Encadrés

\declaretheorem[thmbox=M,name=Théorème]{theo}
\declaretheorem[thmbox=M,name={\color{red} Définition}]{definition}
\declaretheorem[thmbox=S,name={ Exemple}]{exemple}
\declaretheorem[thmbox=S,name={\color{blue} Remarque}]{rema}
\declaretheorem[thmbox=S,name=Démonstration]{demo}
\declaretheorem[thmbox=S,name={\color{red} \Large \textbf{Attention}}]{att}
\declaretheorem[thmbox=M,name=\color{red} Propriété]{prop}
\declaretheorem[thmbox=S,name=Corollaire]{cor}
\declaretheorem[thmbox=S,name=Exercice]{exo}
\declaretheorem[thmbox=S,name=\color{magenta} Méthode]{methode}
\declaretheorem[thmbox=S,name=Rappel]{rappel}

\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection})}

\title{\itshape \color{red}\Huge Chapitre 6
\bigskip
\vspace*{0.5cm}  Équations-inéquations-systèmes}
\date{}
\author{}
\begin{document}
\maketitle
\newpage
\section{Égalités}

\begin{prop} \label{Prop1}
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels et $d$ un nombre réel non nul. On a:
$\color{green}\bullet \color{black} \mbox{ }a=b \Leftrightarrow a+c=b+c$ et $\color{green} \bullet \color{black} \mbox{ }a=b \Leftrightarrow a \times d=b \times d$.
\\
Ce qui précède implique également:
\\
$\color{green} \bullet \color{black} \mbox{ }a=b \Leftrightarrow a-c=b-c$ et $\color{green} \bullet \color{black} \mbox{ }a=b \Leftrightarrow \frac{a}{d}=\frac{b}{d}$.
\end{prop}
\begin{rema}
Le symbole $\Leftrightarrow$ signifie "équivaut à". On peut aussi utiliser l'expression "si et seulement si".
\end{rema}

\begin{definition}
\begin{enumerate}
\item[•] Une équation d'inconnue $x$ est une égalité qui peut être vraie pour certaines valeurs de $x$ et fausse pour d'autres.
\item[•] Résoudre dans $\mathbb{R}$ une équation d'inconnue $x$, c'est trouver l'ensemble de ses \textbf{solutions}, c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels pour lesquels l'égalité est vraie. On note généralement $\mathscr{S}$ cet ensemble de solutions.
\item[•] Deux équations sont \textbf{équivalentes} si elles ont le même ensemble de solutions.
L'équivalence est alors symbolisée par la double flèche $\Leftrightarrow$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{rema}
Une équation peut n'admettre aucune solution. L'ensemble des solutions est alors l'\textbf{ensemble vide}, noté $\emptyset$.
\end{rema}

\begin{rema}
Pour obtenir une équation équivalente, on peut:
\begin{enumerate}
\item[•] additionner ou soustraire un même nombre réel aux deux membres de l'équation;
\item[•] multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre réel non-nul.
\end{enumerate}
L'objectif étant d'isoler l'inconnue $x$ dans un membre de l'égalité. Nous serons donc amenés à utiliser la Propriété \ref{Prop1}.

\end{rema}
\begin{methode}
\textbf{Application}: résolution d'équations du premier degré.
\\ Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante: $2x+1=3+x$.
\\
On a:
\begin{align*}
2x+1=3+x & \Leftrightarrow 2x+1 \color{red} -x \color{black} =3+x \color{red} -x \color{black} \mbox{ (on a soustrait $x$ aux deux membres)}\\
& \Leftrightarrow x+1=3 \\
& \Leftrightarrow x+1 \color{red} -1 \color{black} =3 \color{red} -1 \color{black} \mbox{ (on a soustrait un aux deux membres)} \\
& \Leftrightarrow x=2
\end{align*}
L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $2x+1=3+x$ est donc $\mathscr{S}=\left\{2\right\}$
\end{methode}

\begin{exo}
Dans chaque cas, le nombre $a$ est-il solution de l'équation proposée ?
\begin{enumerate}
\item $2x+4=5x-7$, $a=\frac{3}{4}$.
\item $\frac{2}{3}x-5=\frac{1}{2}-3$, $a=-\frac{23}{12}$.
\item $x+4=x-7$, $a=8$.
\item $2x+5=2(x+2)+1$, $a=-\frac{2}{3}$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\\
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $x+3=2$
\item $-5+x=4$
\item $3x=2$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $-5x-8=4$
\item $-4x+3=-10x$
\item $1-x=-8+2x$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\\
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $13+\frac{3}{2}x=1$
\item $4x+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}x+2$
\item $\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\frac{x-3}{5}=\frac{3}{8}$
\item $\frac{2x-3}{7}=\frac{x-1}{3}$
\item $3x+4=-1-2x$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
%\fbox{
%\begin{minipage}{10cm}

%\color{red}Définition \color{black}Une égalité
%\\
%Remarque
%\end{minipage}}
%\setlength{\columnseprule}{0.1cm}
%\begin{multicols}{2}

%Exercice 1
%\columnbreak

%Exercice 2
%\end{multicols}
\subsection{Équations produit nul}
\begin{theo}
Un produit de nombres réels est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul:
\[
A_{1}(x)\times A_{2}(x)\times \ldots \times A_{n}(x)=0 \Leftrightarrow A_{1}(x)=0 \mbox{ \color{red} ou }
A_{2}(x)=0 \mbox{ \color{red} ou } \ldots \mbox{ \color{red} ou } A_{n}(x)=0.
\]
\end{theo}

%\fcolorbox{red}{green}{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 %  \textbf{Démonstration:}
  % \vspace*{4cm}
%\end{minipage}}

\begin{rema}
Une telle équation est appelée une équation au produit nul.
\end{rema}
\newpage
\begin{exemple}
Pour tout nombre réel $x$:
\begin{align*}
x(x+1)(x-3)=0 & \Leftrightarrow x=0 \mbox{ \color{red} ou } x+1=0 \mbox{ \color{red} ou } x-3=0 \\
& \Leftrightarrow x=0 \mbox{ \color{red} ou } x=-1 \mbox{ \color{red} ou } x=3.
\end{align*}
L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $x(x+1)(x-3)=0$ est \\
$\mathscr{S}=\left\{-1;0;3\right\}$.
\end{exemple}

\begin{rema}
On pourra utiliser les identités remarquables pour se ramener à une équation au produit nul.
\begin{rappel}
Pour tous nombres $a$ et $b$ réels, on a:
\\
$\bullet (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ \quad $\bullet (a+b)^{2}=a^2+2ab+b^{2}$ \quad $\bullet (a-b)^{2}=a^2-2ab+b^{2}$
\end{rappel}
\end{rema}
\begin{exemple}
Pour tout réel $x$ on a:

\begin{align*}
4x^{2}-25=0 & \Leftrightarrow (2x)^{2}-5^{2}=0  \\
& \Leftrightarrow (2x+5)(2x-5)=0 \mbox{ (d'après $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$)} \\
& \Leftrightarrow 2x+5=0 \mbox{ ou } 2x-5=0 \mbox{ (d'après la propriété du produit nul)} \\
& \Leftrightarrow x=-2.5 \mbox{ ou } x=2.5
\end{align*}
Donc l'ensemble des solutions est $\mathscr{S}=\left\{-2.5;2.5\right\}$
\end{exemple}
\begin{exo}
Développer et réduire les expressions suivantes:
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $(x+3)^{2}-x(x+2)$
\item $\left(\frac{2}{3}x-3\right)^{2}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $(3t-7)(3t+7)$
\item $(t^{2}+2)^{2}$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Factoriser les expressions suivantes:
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $9a^{2}-4$
\item $x^{2}+18x+81$
\item $b^{2}-24b+144$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $16t^{2}+56t+49$
\item $t^{2}-1$
\item $(x-2)^{2}-36$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes en se ramenant à une équation au produit nul:
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $x^{2}=18x$
\item $2x(x+3)=19(x+3)$
\item $(7x-1)^{2}=9$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $(x+3)^{2}=(8x)^{2}$
\item $(x+3)^{2}=(2x-5)^{2}$
\item $\frac{4}{3}x^{2}=-2x$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $x^{2}=81$
\item $x^{2}-15x=0$
\item $5x^{3}=2x^{2}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $(7x-5)^{2}=16$
\item $10(x+7)(x-5)=3x(x+7)$
\item $4(1-x)(4x+9)(2x+3)=0$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\subsection{Équations quotient nul}
\begin{theo}
Un quotient de deux nombres réels est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.
\\ Autrement dit, on a l'équivalence:
\[
\frac{A(x)}{B(x)}=0 \Leftrightarrow A(x)=0 \mbox{ \textbf{et} } B(x)\neq 0.
\]

Les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur sont appelées \textbf{valeurs interdites} du quotient.
\end{theo}
\begin{exemple}
Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation $\frac{5x-1}{x+1}=0$. On a:
\begin{align*}
\frac{5x-1}{x+1}=0 & \Leftrightarrow 5x-1=0 \mbox{ et } x+1\neq 0 \\
& \Leftrightarrow x=\frac{1}{5} \mbox{ et } x \neq -1
\end{align*}
-1 est la valeur interdite de l'équation $\frac{5x-1}{x+1}=0$.
\\ $\frac{1}{5}$ est différent de -1, donc l'unique solution de cette équation dans $\mathbb{R}$ est $\mathscr{S}=\left\{\frac{1}{5}\right\}$.
\end{exemple}
\newpage
\begin{exo}
Déterminer pour chaque expression algébrique les valeurs interdites et réduire au même dénominateur.
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $1+\frac{2}{x+1}$
\item $5-\frac{2}{3x-2}$
\item $\frac{2}{x+1}+\frac{4}{3x-2}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\frac{5}{4-3x}-\frac{2}{2x-1}$
\item $\frac{3x}{2x-1}+\frac{4x-1}{x}$
\item $\frac{x+2}{x-1}-\frac{x+3}{x+2}$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. Vous déterminerez à chaque fois les valeurs interdites.
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\frac{x-2}{x+9}=0$
\item $\frac{2x-7}{x+3}=0$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\frac{20-4x}{x-5}=0$
\item $\frac{5x-1}{2x+3}=0$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. Vous déterminerez à chaque fois les valeurs interdites.
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\frac{2x-1}{x+6}=1$
\item $\frac{4}{2x+6}=9$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\frac{2x}{x-4}=-3$
\item $\frac{x+1}{x-1}=\frac{1}{2}$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\section{Inégalités}
\subsection{Définitions et propriétés}
\begin{prop}
Soient $a\mbox{, }b \mbox{ et }c$ trois nombres réels et $d$ un nombre réel non nul.\\
$\color{green} \bullet \mbox{ } \color{black} a< b \Leftrightarrow a+c <b+c \hspace*{1.45cm}\mbox{ et  } \color{green} \bullet \color{black} a< b \Leftrightarrow a-c <b-c$. \\
Si $d>0: \color{green} \bullet \mbox{ } \color{black} a< b \Leftrightarrow ad <bd \qquad \mbox{ et }   \color{green} \bullet \color{black} a< b \Leftrightarrow \frac{a}{d} <\frac{b}{d}$ \\
Si $d<0: \color{green} \bullet \mbox{ }  \color{black} a< b \Leftrightarrow ad > bd \qquad \mbox{ et }\color{green} \bullet \color{black} a< b \Leftrightarrow \frac{a}{d}>\frac{b}{d}$
\end{prop}
\begin{rema}
On a les mêmes équivalences si les inégalités sont larges et non strictes ("$\leq$" à la place "$<$").
\end{rema}
\begin{prop}
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels. \\
Si $a<b$ et $c<d$, alors $a+c<b+d$.
\end{prop}
\newpage
\begin{att}
La propriété précédente ne permet pas de soustraire membre à membre deux inégalités. Prenons, par exemple, $3<5$ et $4<8$. La différence des membres de gauche est $3-4=-1$ tandis que celle des membres de droite est $5-8=-3$. Or $-1$ n'est pas plus petit que $-3$.
\end{att}
\begin{exo}
Soient $x$ un réel tel que $x<-5$ et $y$ un nombre réel tel que $y<7$. En utilisant les propriétés des inégalités que peut-on dire des expressions suivantes ?
\begin{enumerate}
\item $2x$
\item $-3y$
\item $x+y$
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{definition}
\begin{enumerate}
\item[•] Une \textbf{inéquation} d'inconnue $x$ est une inégalité qui peut être vraie pour certaines valeurs de $x$ et fausse pour d'autres.
\item[•]\textbf{Résoudre} dans $\mathbb{R}$ une inéquation d'inconnue $x$, c'est trouver l'ensemble $\mathscr{S}$ de ses \textbf{solutions}, c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels pour lesquels l'inégalité est vraie.
\end{enumerate}

\end{definition}
\begin{exemple}
$2x-4\leq 3$ est une inéquation d'inconnue $x$.
\begin{enumerate}
\item[•] $-6$ est une solution de cette inéquation. En effet, $2\times (-6)-4=-16$ et $-16\leq 3$.
\item[•]$5$ n'est pas solution de cette inéquation. En effet, $2\times 5-4=6$ et $6 >3$.
\end{enumerate}
\end{exemple}
\begin{exo}
Dans chaque cas , déterminer si le nombre réel $a$ est solution de l'inéquation proposée.
\begin{enumerate}
\item $-6x+9>2 \mbox{ et } a=-1$
\item $2x+7<6x-5\mbox{ et } a=\frac{1}{2}$
\item $\frac{5}{2}x+2<x+1\mbox{ et }a=2$
\end{enumerate}
\end{exo}
\newpage
\subsection{Résolution d'inéquations du premier degré à une inconnue}
\begin{methode}
Pour résoudre une inéquation du type $ax+b< cx+d$, ou $ax+b\geq cx+d$ (avec $a\neq c)$, on utilise les propriétés des inégalités.
\\ Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation du $1^{\mbox{er}}$ degré $3x+1>x-7$.
\begin{align*}
3x+1>x-7 & \Leftrightarrow 3x+1 \color{red} -x \color{black} >x-7 \color{red} -x \color{black} \mbox{ (on a soustrait $x$ aux deux membres)}\\
& \Leftrightarrow 2x+1>-7 \\
& \Leftrightarrow 2x+1 \color{red} -1 \color{black} >-7 \color{red} -1 \color{black} \mbox{ (on a soustrait 1 aux deux membres)} \\
& \Leftrightarrow 2x>-8 \\
& \Leftrightarrow \frac{2x}{\color{red} 2}>\frac{-8}{\color{red} 2} \mbox{ (on a divisé chaque membre par 2 qui est positif,}\\
& \mbox{ donc on conserve le sens de l'inégalité)}\\
& \Leftrightarrow x> -4
\end{align*}
L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $\mathscr{S}=\left]-4;+\infty \right[$.
\end{methode}
\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes et représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\item $4x-3 \geq 2x+5$
\item $2+x < 3-x$
\item $5+x>3+x$
\item $3-4x\leq 5+6x$
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\item $2x+\frac{7}{2}\geq \frac{3}{2}-5x$
\item $2+x < -3+x$
\item $-\frac{3}{4}x+7>\frac{5}{4}+x$
\item $\frac{x+4}{7}\geq 3x$
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Une patinoire propose deux tarifs:
\\ $\bullet$ \textbf{tarif A}: chaque entrée coûte 5,25\euro{};
\\ $\bullet$ \textbf{tarif B}: on paie un abonnement à l'année de $12$\euro{} et chaque entrée coûte 3,50\euro{}. \\
Déterminer à partir de combien de sorties annuelles à la patinoire il vaut mieux prendre un abonnement.
\end{exo}
\begin{exo}
Le périmètre d'un rectangle est inférieur à 24cm et sa longueur vaut le double de sa largeur.\\
Quelle largeur peut-il avoir ?
\end{exo}
\begin{exo}
Leila s'est inscrite auprès d'un club nautique pour louer du matériel pendant un an afin de faire des sorties en rivière. L'inscription lui a coûté 22\euro{} et la location d'un kayak lui revient 2,80\euro{} par heure. Leila a un budget de 120\euro{} pour l'année.\\
Quel nombre d'heures peut-elle prévoir pour ses sorties ?
\end{exo}
\begin{exo}
Un transporteur de fond doit transférer 512 lingots d'or pesant chacun \\ 12 kg.\\
Un camion de transport blindé pèse 3,6 tonnes et son poids total en charge ne peut pas dépasser 5 tonnes.
\begin{enumerate}
\item Combien de lingots un camion peut-il transporter au maximum en un seul voyage ?
\item Par sécurité, le transporteur décide de ne convoyer que 90 lingots par voyage.\\
Combien de voyages faut-il prévoir au minimum pour transporter tout cet or ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
On considère les expressions $A=50x+10$ et $B=25x-115$ pour tout nombre réel $x$.\\ Comparer les expressions de $A$ et $B$ suivant les valeurs de $x$.
\end{exo}
\section{Systèmes}
\subsection{Définitions}
\begin{definition}
Un \textbf{système linéaire} de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ est un système qui peut s'écrire sous la forme:
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
ax+by&=&c \\
a'x+b'y&=&c'
\end{array}
\right.
\]
où $a,b,a',b'$ et $c'$ sont des nombres réels fixés avec $(a,b)\neq (0,0)$ et \\
$(a',b') \neq (0,0)$. \\
Une solution de ce système est un \textbf{couple} $(x,y)$ de nombres réels tel que $x$ et $y$ vérifient simultanément les deux équations.\\
Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues, c'est déterminer tous les couples $(x,y)$ solutions de ce système.
\end{definition}
\newpage
\begin{exemple}
Soit le système:
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
x+5y&=&19 \\
-2x+y&=&-5
\end{array}
\right.
\]
$\bullet$ Le couple $(4,3)$ est solution car il vérifie les deux équations en même temps. En effet, $4+5 \times 3=19$ et $-2\times 4+3=-5$.\\
$\bullet$ Le couple $(9,2)$ n'est pas solution car il ne vérifie que la première équation et pas la seconde.
\end{exemple}
\subsection{Interprétation graphique d'un couple solution}
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues peut s'écrire:
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
ax+by-c&=&0 \\
a'x+b'y-c'&=&0
\end{array}
\right.
\]
Du fait que, $(a,b) \neq (0,0)$ et $(a',b') \neq (0,0)$, ces deux équations correspondent à des équations cartésiennes de deux droites $d$ et $d'$.
\\ Les droites $d$ et $d'$ sont sécantes si et seulement si:
\[
ab'-a'b \neq 0.
\]
Dans ce cas, elles ont un unique point d'intersection.
\begin{prop}
On considère le système linéaire:
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
ax+by&=&c \\
a'x+b'y&=&c'
\end{array}
\right.
\]
avec $(a,b)\neq (0,0)$ et $(a',b')\neq (0,0)$.\\
Ce système admet un \textbf{unique couple solution} si et seulement si on a:
\[
ab'-a'b \neq 0
\]
Ce couple $(x,y)$ correspond aux coordonnées du \textbf{point d'intersection} des deux droites associées aux équations du système.
\end{prop}
\begin{exo}
Soit le système:
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
5x-y&=&11 \\
12x-4y&=&15
\end{array}
\right.
\]
Ce système admet-il une unique solution ?
\end{exo}
\newpage
\subsection{Méthodes de résolution}
\begin{methode}
\textbf{Méthode par substitution}
\vspace*{0.5cm}


Cette méthode consiste à exprimer une variable en fonction de l'autre dans l'une des deux équations, puis à substituer cette valeur dans la seconde équation: la nouvelle équation obtenue est alors une équation à une inconnue.
\begin{exemple}
Résolvons le système
\begin{equation} \tag{S}
\left\{
\begin{array}{r c l}
3x-y&=&5 \\
2x+3y&=&7
\end{array}
\right.
\end{equation}
La première équation permet d'exprimer facilement $y$ en fonction $x$. Le système (S) est donc équivalent à
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r c l}
\color{red}y &=& 3x-5 \\
2x+3y&=&7
\end{array}
\right.
\end{equation*}
On substitue l'expression de $y$ dans la deuxième équation, et le système (S) équivaut à
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r c l}
\color{red}y &=& 3x-5 \\
2x+3\times (3x-5)&=&7
\end{array}
\right.
\end{equation*}
On résout alors la deuxième équation où ne figure que l'inconnue $x$: \\ $2x+3\times (3x-5)=7$, ce qui équivaut à $2x+9x-15=7$, soit à $11x=22$, soit à $x=2$.\\
On remplace $x$ par sa valeur dans l'expression de $y$; on obtient: \\ $y=3\times 2-5=1$.\\
Le système (S) admet donc pour unique solution le couple $(2,1)$.\\
On peut vérifier, en remplaçant $x$ et $y$ par les valeurs trouvées, que les égalités $3 \times 2-1=5$ et $2\times 2+3\times 1=7$ sont vraies.
\end{exemple}
\end{methode}
\newpage
\begin{methode}
\textbf{Méthode par combinaison linéaire}
\vspace*{0.5cm}

Cette méthode consiste à multiplier chaque équation par des coefficients bien choisis afin qu'une addition ou une soustraction des deux équations membre à membre permette l'élimination d'une inconnue.
\begin{exemple}
Résolvons le système
\begin{equation} \tag{S}
\left\{
\begin{array}{r c l}
2x-5y&=&1 \\
3x+2y&=&11
\end{array}
\right.
\end{equation}
On multiplie la première équation par 2 et la seconde par 5. Le système (S) équivaut à
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r c l}
4x-10y&=&2 \\
15x+10y&=&55
\end{array}
\right.
\end{equation*}
On additionne les deux équations membre à membre pour éliminer y.\\
On obtient $4x-10y+(15x+10y)=2+55$, soit $19x=57$, soit $x=3$.
On remplace $x$ par sa valeur dans la première équation. On obtient $2\times 3-5y=1$, soit $6-1=5y$, soit $y=1$.\\
Le système (S) admet donc pour unique solution le couple $(3,1)$.
\end{exemple}
\end{methode}
\begin{exo}
Résoudre, par la méthode la plus adaptée, chacun des systèmes:
    \[
     \left\lbrace
           \begin{array}{l}
              x-3y=-1\\
              -3x+4y =-2\\
           \end{array}
     \right.
    \qquad \mbox{et} \qquad
    \left\lbrace
        \begin{array}{l}
        3x+5y=-6\\
        7x+3y =12\\
        \end{array}
        \right.
    \]

\end{exo}
\begin{exo}
Résoudre les systèmes suivants avec la méthode par substitution
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
x-3y&=&8\\
2x+5y&=&5
\end{array}
\right.
$
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
3x+4y&=&10\\
5x+y&=&-6
\end{array}
\right.
$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
8x+11y&=&111\\
14x-9y&=&33
\end{array}
\right.
$
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
0,2x+0,7y&=&0,5\\
x+2y&=&1,6
\end{array}
\right.
$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Résoudre les systèmes suivants avec la méthode par combinaison linéaire
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
3x+5y&=&31\\
5x+4y&=&43
\end{array}
\right.
$
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
8x-5y&=&-6\\
4x+2y&=&24
\end{array}
\right.
$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
7x+4y&=&1\\
3x+5y&=&7
\end{array}
\right.
$
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
-3x+4y&=&56\\
2x+4y&=&36
\end{array}
\right.
$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\newpage
\begin{exo}
Sophia a travaillé durant l'été pendant 45 jours dans deux entreprises. Dans la première, elle a gagné 85\euro{} par jour et dans la deuxième, 72\euro{} par jour. Au total, elle a gagné 3487\euro{}.\\
Combien de jours a-t-elle travaillé dans chaque entreprise ?
\end{exo}
\begin{exo}
Eva achète quatre croissants et une baguette pour 4,70\euro{} et Igor achète cinq croissants et quatre baguettes pour 8,90\euro{}. On note $x$ le prix d'un croissant et $y$ le prix d'une baguette.
\begin{enumerate}
\item Écrire un système de deux équations à deux inconnues traduisant les données de l'énoncé.
\item Quel est le prix d'un croissant ? D'une baguette ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Au restaurant, la famille Alister a payé 112\euro{} pour trois menus "adulte" et un menu "enfant". La famille Lambert a payé 94\euro{} pour deux menus "adulte" et deux menus "enfant".
\begin{enumerate}
\item En appelant $x$ le prix d'un menu "adulte" et $y$ le prix d'un menu "enfant", écrire un système d'équations qui permet de trouver le prix de chacun des menus.
\item Résoudre le système.
\item Donner le prix du menu "adulte" et celui du menu "enfant".
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}


Merci d'avance pour votre aide !
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Re: Problème depuis le passage à Ubuntu 20.04.

Messagepar kojak » Samedi 25 Avril 2020, 15:15

Bonjour,

Et le log il dit quoi ? Il faudrait le poster stp

Est ce que ces packages sont bien installés ?
pas d'aide par MP
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Re: Problème depuis le passage à Ubuntu 20.04.

Messagepar Raptor94 » Samedi 25 Avril 2020, 15:37

Bon le problème pour "tkz-tab" est résolu mais toujours pas pour "thmbox.sty"
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Re: Problème depuis le passage à Ubuntu 20.04.

Messagepar Raptor94 » Samedi 25 Avril 2020, 16:06

kojak a écrit:Bonjour,

Et le log il dit quoi ? Il faudrait le poster stp

Est ce que ces packages sont bien installés ?


Désolé je viens de voir ton message.
Le log m'indique File `thmbox.sty' not found. ...aretheorem[thmbox=M,name=Théorème]{theo}

Justement j'aimerais installer le package correspondant.
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Re: Problème depuis le passage à Ubuntu 20.04.

Messagepar kojak » Samedi 25 Avril 2020, 19:30

Donc là c'est clair, il est pas installé.

Que donne
Code: Tout sélectionner
apt-cache search thmbox
tu sauras où il est pour l’installer, du moins normalement

Edit : si j'ai bien lu, il est également dans texlive-science, comme sous debian, donc à installer
pas d'aide par MP
kojak
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