Problème de compilation : arg...

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Modérateur: gdm_tex

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> Penser à utiliser les balises Code pour poster du code.

Problème de compilation : arg...

Messagepar pouik » Mercredi 24 Janvier 2007, 16:11

BOnjour,
J'ai un grave problème mon document compilait bien et tout d'un coup il ne veut plus compiler le même problème m'était arrivé il y a peu et vous aviez su m'aider (j'ai beau cherché je ne vois pas d'où viens l'erreur!!)

donc je mets mon doc en code. Merci d'avance pour votre aide :
Code: Tout sélectionner
\vspace{0,5cm}
\textit{(b) Lemmme-clé. Soit $\phi$ une fonction définie et de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$. En procédant à une intégration par parties, puis à des encadrements d'intégrales, montrer que la quantité $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin{\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.}

\vspace{0,5cm}
$\longrightarrow$ $\#$ Calculons $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt$ par intégration par parties "simple".

\vspace{0,5cm}
Posons pour tout $t \in [ 0;\pi ]$ :
$$\begin{array}{rll}
    u'(t)&= \sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) &\mbox{ donc } \quad u(t) = -\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\\
    v(t)&= \phi(t)   &\mbox{ donc }    \quad v'(t) = \phi'(t)
    \end{array} $$

\vspace{0,5cm}
d'où : $$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt = \left[\phi(t) \left(-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\right)\right]_0^{\pi} - \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi'(t) \left(-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\right) dt$$

c'est-à-dire : $$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t dt = \left(\phi(\pi) \left(-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\pi\right)\right)\right) - \left(\phi(0) \left(-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)0\right)\right)\right)  - \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi'(t) \left(-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\right) dt$$

c'est-à-dire :
$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t dt = \left(\phi(\pi) \left(-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(n\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\right) + \left(\phi(0) \left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos{(0)}\right) + \dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}\right) \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi'(t) \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt$$

c'est-à-dire :
$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t dt = \phi(\pi) \left(\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \sin\left(n\pi\right)\right) + \dfrac{\phi(0)}{n+\dfrac{1}{2}} + \dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi'(t) \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt$$

\vspace{0,5cm}
Or $\sin{n\pi} = 0$ car $n \in \N^*$ ;

donc finalement :
$$\boxed{\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t dt = \dfrac{\phi(0)}{n+\dfrac{1}{2}} + \dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi'(t) \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt}$$

\vspace{0,5cm}
$\#\#$ $\phi$ étant $C^1$ sur $[0;\pi]$, $\phi'$ est a fortiori continue sur le segment $[0;\pi]$ ; donc d'après le \emph{Thérorème des Valeurs Interdmédiaires}, elle est bornée sur $[0;\pi]$, c'est-à-dire :
$$\exists M \in \R, \forall t \in [0;\pi], |\phi'(t)| \le M$$

\vspace{0,5cm}
D'autre part :
$$\forall t \in [0;\pi], \left|\cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\right| \le 1$$

d'où, \emph{par produit} :
$$\forall t \in [0;\pi], \left|\phi'(t) \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\right| \le M$$

c'est-à-dire d'après l'\emph{Inégalité des Accroissements Finis} :
$$\forall t \in [0;\pi], \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left|\phi'(t) \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\right| dt \le M\left|\pi - 0\right|$$
d'où comme $\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \ge 0$ et $\pi > 0$ : $$\forall t \in [0;\pi], \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \left|\phi'(t) \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\right| dt \le \dfrac{M\pi}{n+\dfrac{1}{2}}$$

\vspace{0,5cm}
Or : $$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{M\pi}{n+\dfrac{1}{2}} =0 $$

donc \emph{par encadrement} :
$$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \left|\phi'(t) \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\right| dt  =0 $$

\vspace{0,5cm}
Or : $$\forall t \in ]0;\pi], \left| \dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi'(t) \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt \right| \leq \dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \displaystyle\int_{0}^{\pi}\left| \phi'(t) \cos\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right| dt$$

donc : $$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \left|\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \phi'(t) \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt\right|  =0 $$

donc a fortiori : $$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \phi'(t) \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt  =0 $$
 
\vspace{0,5cm}
Et comme ($\phi(0)$ est une constante, donc bornée) : $$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}  \dfrac{\phi(0)}{n+\dfrac{1}{2}} =0 $$

d'où, finalement \emph{par somme} :
$$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}  \dfrac{\phi(0)}{n+\dfrac{1}{2}} + \dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \displaystyle\int_{0}^{\pi} |\phi'(t) \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)| dt =0 $$
c'est-à-dire : $$\boxed {\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}  \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t dt =0} $$

\vspace{0,5cm}
\textit{2. La fonction-clé. Soit $$\begin{array}{rcl}
\phi : [0;\pi] &\longrightarrow &\R \\
t &\longmapsto &
\left\{ \begin{array}{ll}
 \dfrac{\frac{t^2}{2\pi} - t}{2\sin{\frac{t}{2}}} & \textrm{si } t \in ]0;\pi] \\
 -1 & \textrm{si } t = 0
 \end{array} \right.
 \end{array}$$}

\vspace{0,5cm}
\textit{(a) Montrer que $\phi$ est de classe $C^1$ sur $]0;\pi]$, et préciser $\phi'(t), t \in ]0;\pi]$, sous forme de quotient.}

\vspace{0,5cm}
$\longrightarrow$ $\#$ $t \longmapsto \dfrac{t}{2}$ est de classe $C^1$ sur $]0;\pi]$ ;

$t \longmapsto \sin{t}$ est de classe $C^1$ sur $]0;\pi]$ ;

donc \emph{par composition puis produit} : $t \longmapsto 2\sin{\dfrac{t}{2}}$ est de classe $C^1$ sur $]0;\pi]$.

\vspace{0,5cm}
D'autre part, $t \longmapsto \dfrac{t^2}{2\pi}$ est de classe $C^1$ sur $]0;\pi]$ ;

et $t \longmapsto -t$ est de classe $C^1$ sur $]0;\pi]$ ;

donc \emph{par somme} : $t \longmapsto \dfrac{t^2}{2\pi} - t$ est de classe $C^1$ sur $]0;\pi]$.

\vspace{0,(cm}
Donc finalement, comme $2\sin{\dfrac{t}{2}}$ ne s'annule pas sur $]0;\pi]$, \emph{par quotient} :

$t \longmapsto \dfrac{\dfrac{t^2}{2\pi} - t}{2\sin{\dfrac{t}{2}}}$ est de classe $C^1$ sur $]0;\pi]$ ;

c'est-à-dire : \textbf{$\phi(t)$ est de classe $C^1$ sur $]0;\pi]$}.     

\vspace{0,5cm}
$\#\#$ $\phi$ étant de classe $C^1$ sur $]0;\pi]$, elle est a fortiori dérivable sur $]0;\pi]$ ;

et : $$\boxed{\forall t \in]0;\pi], \phi'(t) = \dfrac{\left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right) 2\sin{\dfrac{t}{2}} - \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}}}{4\sin^2{\dfrac{t}{2}}}}$$

\vspace{0,5cm}
\underline{Etude de la continuité de $\phi$ en $0$ :}

\vspace{0,5cm}
Au voisinage de $0$ pour $t$, on a les équivalents suivants :
$$\dfrac{t^2}{2\pi}-t \sim -t$$

et : $$2\sin{\dfrac{t}{2}} \sim t$$

donc \emph{par quotient} :
\dfrac{\dfrac{t^2}{2\pi}-t}{2\sin{\dfrac{t}{2}}} \sim -1$$

c'est-à-dire : $$\phi(t) \sim -1$$

Autrement dit : $$\boxed{\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \phi(t) = - 1 = \phi(0)}$$

donc \textbf{$\phi$ est continue en $0$}.

\vspace{0,5cm}
\textit{(b) Etablir qu'au voisinage de $0$ pour $t$ : $\phi'(t) \sim \dfrac{1}{2\pi}$.}

\vspace{0,5cm}
$\longrightarrow$ Au voisinage de $0$ pour $t$, on a les égalités suivantes :
$\#$ $$\sin{\dfrac{t}{2}} = \dfrac{t}{2} + o(t^2)$$

donc \emph{par produit} : $$2\sin{\dfrac{t}{2}} = t + o(t^2)$$

donc \emph{par produit} : $$\left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right) 2\sin{\dfrac{t}{2}} = -t+\dfrac{t^2}{\pi} + o(t^2)$$

\vspace{0,5cm}
$\#\#$ $$\cos{\dfrac{t}{2}} = 1 - \dfrac{\dfrac{t^2}{4}}{2} + o\left(t^2\right)$$

donc \emph{par produit} : $$\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}} =\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \left(1 - \dfrac{t^2}{8} + o(t^2)\right))$$

donc après avoir \emph{développé puis simplifié}, on obtient : 
$$\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}} =-t+\dfrac{t^2}{2\pi}+o(t^2)$$

\vspace{0,5cm}
$\#\#\#$ Enfin, on a par ce qui précède : $$\left(2\sin{\dfrac{t}{2}}\right)^2 = t^2 + o(t^2)$$

donc :$$4\sin^2{\dfrac{t}{2}} = t^2 + o(t^2) $$

\vspace{0,5cm}
donc \emph{par somme} : $$\left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right) 2\sin{\dfrac{t}{2}} - \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}} = \dfrac{t^2}{2\pi} + o(t^2)$$

On a donc au voisinage de $0$ pour $t$ en passant aux "équivalents" (car avec eux on peut effectuer le "quotient", ce qui n'est pas le cas avec les $o$) :
$$\left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right) 2\sin{\dfrac{t}{2}} - \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}} \sim \dfrac{t^2}{2\pi}$$

donc \emph{par quotient} :
$$\dfrac{\left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right) 2\sin{\dfrac{t}{2}} - \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}}}{4\sin^2{\dfrac{t}{2}}} \sim \dfrac{1}{2\pi}$$
c'est-à-dire : $$\boxed{\phi'(t) \sim \dfrac{1}{2\pi}}$$
pouik
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Messagepar pouik » Mercredi 24 Janvier 2007, 16:12

et voici la suite :

Code: Tout sélectionner

\vspace{0,5cm}
\textit{(c) En déduire que $\phi$ est de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$.}

\vspace{0,5cm}
$\longrightarrow$ $\#$ On a établi à la question 2. (a) que :

- $\phi$ est de classe $C^1$ sur $]0;\pi]$. \hspace{2cm} $(1)$

- $\phi$ est continue en $0$. \hspace{2cm} $(2)$

\vspace{0,5cm}
Et d'autre part, on a d'après la question précédente au voisinage de $0$ pour $t$ l'équivalent suivant : 
$$\phi'(t) \sim \dfrac{1}{2\pi}$$

Autrement dit : $$\displaystyle\lim_{t \rightarrox 0} \phi'(t) = \dfrac{1}{2\pi}$$

donc $\phi'(t)$ admet en $0$ une limite finie égale à $\dfrac{1}{2\pi}$. \hspace{1cm} $(3)$

\vspace{0,5cm}
$\#\#$ Par $(1)$, $(2)$, $(3)$ et d'après le \emph{Théorème Limite de la Dérivée}, on en déduit que :

\textbf{$\phi$ est de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$}.

\vspace{0,5cm}
\textit{3. Soit $n \in \N^*$.}

\vspace{0,5cm}
\textit{(a) Calculer, pour tout $t \in ]0;\pi]$, la somme $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt}$.}

\vspace{0,5cm}
$\longrightarrow$ $\#$ On a : $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} Re(e^{ikt})$$
c'est-à-dire :  $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt} = Re(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} e^{ikt})$$
c'est-à-dire d'après la \emph{formule de Moivre} : $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt} = Re(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} e^{{it}^{k}})$$

\vspace{0,5cm}
$\#\#$ Calculons $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} e^{{it}^{k}}$.

\vspace{0,5cm}
On reconnait la somme des $n$ termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $e^{it}$ ;

d'où :

- \underline{1er cas :} si $e^{it} = 1$, c'est-à-dire si $t \equiv 0 [2\pi]$ ;

alors : $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} e^{{it}^{k}} = n$$

donc : $$\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt} = n}$$

\vspace{0,5cm}
- \underline{2ème cas :} si $e^{it} \ne 1$, c'est-à-dire si $t \equiv 0 [2\pi]$ ;

alors : $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} e^{{it}^{k}} = e^{it} \dfrac{1 - (e^{it})^n}{1 - e^{it}}$$
c'est-à-dire : $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} e^{{it}^{k}} = e^{it} \dfrac{1 - (e^{int})}{1 - e^{it}}$$
c'est-à-dire : $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} e^{{it}^{k}} = e^{it} \dfrac{e^{i(\frac{n}{2})x} \left[-2i\sin{\left(\left(\dfrac{n}{2}\right)t\right)}\right]}{e^{i(\frac{t}{2})} \left[-2i\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}\right]}$$
c'est-à-dire : $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} e^{{it}^{k}} = e^{i(\frac{n+1}{2})t} \dfrac{\sin{\left(\left(\dfrac{n}{2}\right)t\right)}}{\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}}$$

\vspace{0,5cm}
D'où, en prenant la \emph{partie réelle} :
$$\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt} = \dfrac{\left(\cos{\dfrac{(n+1)}{2}t}\right) \left(\sin{\left(\left(\dfrac{n}{2}\right)t\right)}\right)}{\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}}}$$

\vspace{0,5cm}
\textit{(b) Mettre le résultat sous la forme : $\dfrac{\sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin{\dfrac{t}{2}}} - \lambda$, ou $\lambda$ est une constante que l'on déterminera.}

\vspace{0,5cm}
$\longrightarrow$ Réécrivons $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt} = \dfrac{\left(\cos{\dfrac{(n+1)}{2}t}\right) \left(\sin{\left(\left(\dfrac{n}{2}\right)t\right)}\right)}{\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}}$ sous la forme $\dfrac{\sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin{\dfrac{t}{2}}} - \lambda$ en utlisant la formule trigonométrique suivante :
$$\forall(a;b) \in \R^2, \sin{a}\cos{b} = \dfrac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}$$

\vspace{0,5cm}
Cette formule étant vérifiée pour tous $a$ et $b$, elle est en particulier vérifiée pour :
$$\begin{array}{rll}
    a&= \dfrac{nt}{2}  &\mbox{ donc } \quad b = \dfrac{(n+1)t}{2}
    \end{array} $$

\vspace{0,5cm}
Donc : $$\dfrac{\left(\cos{\dfrac{(n+1)}{2}t}\right) \left(\sin{\left(\left(\dfrac{n}{2}\right)t\right)}\right)}{\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} = \dfrac{\sin{\dfrac{(2n+1)}{2}t} + \sin{-\dfrac{t}{2}} }{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}}$$

c'est-à-dire (comme $\sin(-T) = -\sin(T)$): 
$$\dfrac{\left(\cos{\dfrac{(n+1)}{2}t}\right) \left(\sin{\left(\left(\dfrac{n}{2}\right)t\right)}\right)}{\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} = \dfrac{\sin{\dfrac{(2n+1)}{2}t}}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} - \dfrac{1}{2}$$

donc finalement, en posant $\lambda = \dfrac{1}{2}$, on a bien :
$$\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt} = \dfrac{\sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin{\dfrac{t}{2}}} - \lambda}$$

\vspace{0,5cm}
4. Etablir, pour tout $n \in \N^*$, l'égalité :
$$S_n(2) = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t) \sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) dt$$

\vspace{0,5cm}
$\longrightarrow$ On a établi à la question 1.(a)ii. l'égalité suivante :
$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt = \dfrac{1}{k^2}$$

\vspace{0,5cm}
D'autre part \emph{par définition} de $S_n(2)$, on a :
$$S_n(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$$

donc a fortiori : $$S_n(2)= \displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt$$

Arrivé là, on peut intervertir $\sum$ et $\int$ car il s'agit d'une somme "finie" ;

d'où :  $$S_n(2)= \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt}\right) dt$$

c'est-à-dire : $$S_n(2)= \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\displaystyle\sum_{k=1}^n \cos{kt}\right) dt$$

Or, on a établi à la question précédente l'égalité suivante :
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt} = \dfrac{\sin{\left(\dfrac{(2n+1)}{2}t}\right)}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} - \dfrac{1}{2}$$

d'où en remplaçant dans l'égalité précédente, on obtient :
$$S_n(2) = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \dfrac{\sin{\left(\dfrac{(2n+1)}{2}t}\right)}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} - \dfrac{1}{2}\right) dt$$

c'est-à-dire : $$S_n(2) = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\dfrac{\sin{\left(\dfrac{(2n+1)}{2}t}\right)}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} dt + \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\left(- \dfrac{1}{2}\right) dt$$

c'est-à-dire : $$S_n(2) = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{\dfrac{t^2}{2\pi} - t}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} \sin{\left(\dfrac{(2n+1)}{2}t}\right)} dt + \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\left(- \dfrac{1}{2}\right) dt$$

c'est-à-dire : $$S_n(2) = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t) \sin\left(\dfrac{(2n+1)}{2}t\right) dt - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) dt$$

c'est-à-dire : $$\boxed{S_n(2) = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t) \sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) dt}$$


Merci d'avance pour votre aide...
pouik
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Messagepar Arnaud » Mercredi 24 Janvier 2007, 16:23

Je pense que ce serait beaucoup plus intéressant de voir le message d'erreur en lui-même, pour pouvoir te répondre, parce que là je doute que quelqu'un lise tout ton code pour chercher la petite erreur.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
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Messagepar kojak » Mercredi 24 Janvier 2007, 17:00

Va retrouver ton code dans ton post en supérieur corrigé : il faut que tu apprennes à lire tes erreurs....
Je suppose que tu tapes avec texniccenter : il te dit tes erreurs : ce sont les erreurs classiques : les
Code: Tout sélectionner
\left(
qui ne sont pas fermés, des accolades qui manquent ou des balises...

Je mettrais moins de parenthèses...
Je t'ai mis aussi un commentaire en gros sur le quotient des $o$...
pas d'aide par MP
kojak
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Messagepar gigiair » Mercredi 24 Janvier 2007, 18:51

Il faut apprendre à retrouver ses erreurs.
La plupart des erreurs sont signalées dans le fichier de log (si ton ficher s'appelle fichier.tex, le log s'appelle fichier.log et est créé automatiquement lors d'une compilation)
Tu peux le poster ici si tu ne comprends pas.

Sinon, Je te propose deux méthodes
  • télécharger lachek.exe
    ftp://ftp.dina.kvl.dk/pub/Staff/Per.Abr ... acheck.exe
    le sauver dans le répertoire
    c:\Program files\miktex 2.5\miktex\bin\
    Ensuite dans une fenêtre DOS, supposant que tu veuilles vérifier le fichier «monbeaufichier.tex» qui se trouve dans le répertoire actif, tu tapes la commande
    Code: Tout sélectionner
    >lacheck monbeaufichier

    Si ton document n'est pas dans le répertoire actif, tu en changes
    Code: Tout sélectionner
    >CD <le chemin d'accès à monbeaudocument>
    Lachek indique toutes les erreurs (parfois de très bénignes comme de mettre un espace avant un point) au moment ou il peut le détecter. parfois l'erreur est bien en amont.
  • effectuer une recherche dichitomique:

    Code: Tout sélectionner
    ..
    \usepackage{comment}
    ...
    \begin{document}
    \begin{comment}
    % ici la moitié de ton document
    \end{comment}
    % Là l'autre moitié
    \end{document}

    Et tu compile. Dans tous les cas, tu sais dans quelle partie du document se trouve une erreur.
    Tu continue avec la moitié qui contient des erreurs. C'est un peu bourin, mais ça marche.

--
JJR.
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Messagepar MB » Mercredi 24 Janvier 2007, 20:32

@pouik : Plutôt que de poster du code aussi long, il faut joindre directement le fichier .tex au message. C'est plus rapide et plus simple pour tout le monde. (et ça évite d'éventuels problèmes d'affichage du topic)
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
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