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Interligne et minipage

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> Penser à utiliser les balises Code pour poster du code.

Interligne et minipage

Messagepar BenLar » Mercredi 29 Avril 2020, 14:06

Bonjour,

Dans mon préambule, en m'inspirant de recherche, j'ai défini les commandes suivantes pour encadrer du texte :

Code: Tout sélectionner
\newcommand{\Cadre}[3]{
   \tikzstyle{mybox}=[draw=#2, fill=#2!5, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=15pt]
   \tikzstyle{fancytitle} =[draw=#2, fill=#2!20, very thick, rounded corners, text=black]
   \begin{tikzpicture}
      \node[mybox](box){
          \begin{minipage}{0.95\textwidth}
              #3
          \end{minipage}
      };
      \node[fancytitle, right=10pt] at (box.north west) {\textbf{#1}};
   \end{tikzpicture}
}

\newcommand{\Définition}[2]{\Cadre{#1}{orange}{#2}}

\newcommand{\Proposition}[2]{\Cadre{#1}{green}{#2}}


Par contre, l'interligne ne semble pas pris en compte dans les minipages.

Que faire ?

Merci de votre aide.

Ben
BenLar
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Re: Interligne et minipage

Messagepar balf » Mercredi 29 Avril 2020, 16:33

Il faudrait peut-être un code complet, que l'on voie ce qui se passe, non ?

B. A.
balf
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Re: Interligne et minipage

Messagepar BenLar » Vendredi 01 Mai 2020, 10:13

Voilà mon préambule complet

Code: Tout sélectionner
\usepackage{subfiles}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,mathrsfs}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{color,colortbl}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{tikz} %pour construire des cadres et des figures
\usetikzlibrary{shapes,arrows}
%\usepackage{pstricks}
%\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{sectsty} %pour modifier les titres de section
\usepackage[top=2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry} %réglage des marges
\usepackage{fancyhdr} %pour les pieds de page
\usepackage{lastpage} %pour l'affichage du nombre de pages
\usepackage{framed} % barre sur les côtés de démonstration & insertion de code
\usepackage{setspace}
\usepackage{eqnarray} %pour aligner les symbole = quand des équations se supperposent
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tkz-tab} %Pour faire des tableaux de variation
\usepackage{graphicx} %Pour insérer des images
\usepackage{multicol} % pour avoir plusieurs colonnes localement
\usepackage{minted} % insertion de code python (ajouter l'option -shell-escape au compilateur et installer Pygments sous python)
\usepackage[linesnumbered, french, boxed]{algorithm2e} %pour insérer des algorithmes
\usepackage{enumitem} %pour personnaliser les listes


\setlength{\columnseprule}{0.25pt}
\setlength{\parskip}{2ex plus 1ex minus 1ex} %définit l'espace entre paragraphe valant 2 ex et y ajouter au maximum de 1 ex ou la diminuer au maximum de 1 ex.
\setlength{\parindent}{0pt} % suppression de l'indentation des paragraphe

%augmente l'interligne
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}

% haut et bas de page
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[C]{\leftmark}
\fancyfoot[C]{\thepage / \pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} % ligne de séparation des hauts et pieds de pages

\frenchbsetup{StandardItemLabels} % pour conserver les puces lors des énumérations

% Changement de la couleur des titres de section
\sectionfont{\color{red}{}}
\subsectionfont{\color{blue}{}}
\subsubsectionfont{\color{orange}{}}


% définition des symboles ensemblistes mathématiques ou autres
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Def}[1]{\ensuremath{\mathcal{D}}_{#1}}
\newcommand{\Cb}[1]{\ensuremath{\mathcal{C}}_{#1}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Aire}{\ensuremath{\mathcal{A}}}
\newcommand{\Vol}{\ensuremath{\mathcal{V}}}
\newcommand{\fn}[5]{
   \begin{center}   
      $\begin{array}{ccccc}
         #1 & : & #2 & \to & #3 \\
          & & #4 & \mapsto & #5 \\
      \end{array}$
   \end{center}
}

% mise en forme
\newcommand{\Cadre}[3]{
   \tikzstyle{mybox}=[draw=#2, fill=#2!5, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=15pt]
   \tikzstyle{fancytitle} =[draw=#2, fill=#2!20, very thick, rounded corners, text=black]
   \begin{tikzpicture}
      \node[mybox](box){
          \begin{minipage}{0.95\linewidth}
              #3
          \end{minipage}
      };
      \node[fancytitle, right=10pt] at (box.north west) {\textbf{#1}};
   \end{tikzpicture}
}

\newcommand{\Définition}[2]{\Cadre{#1}{orange}{#2}}

\newcommand{\Proposition}[2]{\Cadre{#1}{green}{#2}}

\newcommand{\Démonstration}[1]{
\textbf{Démonstration}
\begin{leftbar}
   #1
\end{leftbar}
}

\newcommand{\Divers}[2]{
\textbf{#1}
#2
}

%commande pour faciliter la saisie
\newcommand{\F}[2]{\dfrac{#1}{#2}} %pour les fraction
\newcommand{\RC}[1]{\sqrt{#1}} %pour les racines carrés
\newcommand{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} %pour les vecteurs
\newcommand*{\Vv}[2]{
    \begin{pmatrix}
      #1\\
      #2
    \end{pmatrix}
}

\newcommand*{\determinant}[4]{
   \begin{tabular}{|c c|}
   #1 & #3 \\
   #2 & #4 \\
   \end{tabular}
}

\newcommand{\Base}{$(\V{i},\V{j})$ }
\newcommand{\Repere}{$(O;\V{i},\V{j})$ }


Ceci dit, j'ai un petit doute sur mon problème.

Peut-être est-il lié à l'autre sujet ouvert ?

Je résous l'autre et je fais le point sur celui-ci.

Ben
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Re: Interligne et minipage

Messagepar marco56 » Vendredi 01 Mai 2020, 12:39

Le préambule, c'est bien, mais un fichier qui est autonome, c'est mieux, on ne sait pas ce qu'il y a autour...
marco56
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Re: Interligne et minipage

Messagepar BenLar » Lundi 04 Mai 2020, 09:22

Bonjour,

En fait, je pense que l'interligne est bien pris en compte dans les minipages. Ce qui me pose problème, c'est l'espace avant des puces. Par exemple, p.3 ou p.6.

Bonne journée,

Ben
Fichiers joints
main.pdf
La version pdf
(67.01 Kio) Téléchargé 9 fois
Ensembles_de_Nombres.tex
Le premier chapitre
(16.43 Kio) Téléchargé 12 fois
Préambule.tex
Le préambule
(3.88 Kio) Téléchargé 7 fois
main.tex
Le fichier "racine"
(366 Octets) Téléchargé 5 fois
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Re: Interligne et minipage

Messagepar marco56 » Lundi 04 Mai 2020, 17:01

Même remarque que précédemment : un ECM (exemple complet minimal) serait préférable.
marco56
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Re: Interligne et minipage

Messagepar BenLar » Lundi 04 Mai 2020, 17:36

OK. Je veux bien. J'ai joins des fichiers "minimaux". Je pensais que ce serait bon. Bref, je vois pas ce que vous attendez.
BenLar
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Re: Interligne et minipage

Messagepar marco56 » Lundi 04 Mai 2020, 18:46

Un Exemple Complet Minimal, qui se suffit à lui-même (mieux, qu'on n'aie pas besoin de télécharger mais qui soit entre balises de code), avec le moins de lignes de code possible et qui permet de reproduire le problème.
Perso, je n'ai pas trop envie de m'amuser à télécharger les fichiers, à les enregistrer qqpart puis de voir lequel oui lesquels il faut modifier, puis ensuite de les supprimer car cela encombrera mon disque dur.
Vu le nombre de réponses, j'ai l'impression que je ne suis pas le seul dans ce cas.
marco56
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Re: Interligne et minipage

Messagepar un bon petit » Lundi 04 Mai 2020, 19:36

marco56 a écrit:Vu le nombre de réponses, j'ai l'impression que je ne suis pas le seul dans ce cas.

C'est clair !
Si vous sollicitez de l'aide, pour que les participants aient envie de faire un effort pour apporter une aide, il faut au préalable, faire l'effort de fabriquer un ECM. Pour ma part, il est inenvisageable que je télécharge 3 fichiers, dont 1 très volumineux et un préambule qui charge un nombre incroyable de packages (25 !), et que je mène une enquête, forcément laborieuse, afin de voir ce qui ne va pas.
À vous d'éliminer tout ce qui n'est pas nécessaire afin d'obtenir un code minimal, compilable tel quel, qui met en évidence le problème.
un bon petit
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Re: Interligne et minipage

Messagepar gigiair » Lundi 04 Mai 2020, 20:32

un bon petit a écrit:
marco56 a écrit:Vu le nombre de réponses, j'ai l'impression que je ne suis pas le seul dans ce cas.

C'est clair !
Si vous sollicitez de l'aide, pour que les participants aient envie de faire un effort pour apporter une aide, il faut au préalable, faire l'effort de fabriquer un ECM. Pour ma part, il est inenvisageable que je télécharge 3 fichiers, dont 1 très volumineux et un préambule qui charge un nombre incroyable de packages (25 !), et que je mène une enquête, forcément laborieuse, afin de voir ce qui ne va pas.
À vous d'éliminer tout ce qui n'est pas nécessaire afin d'obtenir un code minimal, compilable tel quel, qui met en évidence le problème.

+1
JJR.
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Re: Interligne et minipage

Messagepar MB » Lundi 04 Mai 2020, 22:15

BenLar a écrit:OK. Je veux bien. J'ai joins des fichiers "minimaux". Je pensais que ce serait bon. Bref, je vois pas ce que vous attendez.


Il s'agit du fichier le plus simple possible dans lequel on peut voir apparaître le problème.
Le fait de chercher à réaliser un ECM représente un travail important, qui permet d'identifier la source du problème (et donc assez souvent de pouvoir en trouver une solution).
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
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Re: Interligne et minipage

Messagepar BenLar » Mardi 05 Mai 2020, 08:44

Merci de la réponse du type "Aide toi et le Ciel t'aidera". C'est une aide comme une autre.
Il faut quand même savoir que c'est en général ce que je fais. Je cherche, je cherche et, quand je ne trouve pas de piste, j'appelle au secours (ou j'abandonne).
Certes, je ne me paluche pas tout le manuel "Latex en 10 leçons", ou "Latex pour les nuls",... mais j'essaye de trouver une solution par moi-même. Quelque chose qui fait ce que je veux sans y passer un temps trop important en lisant entièrement toute la doc à la virgule près. Je ne comprends pas toujours les tenant et les aboutissant mais c'est en général un bon compromis entre le résultat et le temps à y passer.
Je sais que ce n'est pas la meilleure méthode à long terme mais mon objectif n'est pas de devenir un grand gourou Latex, c'est de produire des documents d'une qualité supérieure à ce que je pourrais faire avec un traitement de texte en me concentrant sur le contenu.
De plus, avec un fichier minimal, je ne suis pas sur de reproduire le problème. Il est peut-être dû à une interaction entre plusieurs choses.
Bref, laisser tomber !
BenLar
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Re: Interligne et minipage

Messagepar MB » Mardi 05 Mai 2020, 09:08

BenLar a écrit:De plus, avec un fichier minimal, je ne suis pas sur de reproduire le problème. Il est peut-être dû à une interaction entre plusieurs choses.


Si le fichier minimal ne reproduit pas le problème, c'est qu'il ne s'agit pas d'un ECM. Le fichier doit être minimal tout en faisant apparaître le problème.

Il faut tester en ne conservant que la partie du document sur laquelle le problème apparaît, puis supprimer un par un tous les paquets chargés (et non indispensable à la partie de code conservée) en compilant à chaque fois pour observer si leur suppression fait disparaître le problème. C'est un travail fastidieux, mais indispensable et peu technique.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
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Re: Interligne et minipage

Messagepar marco56 » Mardi 05 Mai 2020, 12:15

MB a écrit:
BenLar a écrit:De plus, avec un fichier minimal, je ne suis pas sur de reproduire le problème. Il est peut-être dû à une interaction entre plusieurs choses.


Si le fichier minimal ne reproduit pas le problème, c'est qu'il ne s'agit pas d'un ECM. Le fichier doit être minimal tout en faisant apparaître le problème.

Il faut tester en ne conservant que la partie du document sur laquelle le problème apparaît, puis supprimer un par un tous les paquets chargés (et non indispensable à la partie de code conservée) en compilant à chaque fois pour observer si leur suppression fait disparaître le problème. C'est un travail fastidieux, mais indispensable et peu technique.

Exactement.
Tout le monde est passé par là et c'est un travail à faire de toutes façons. Les experts du forum sont des personnes de bonne volonté mais on ne peut pas leur demander de faire tout le travail.
marco56
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Re: Interligne et minipage

Messagepar marco56 » Mardi 05 Mai 2020, 12:19

Voici le code :

Code: Tout sélectionner
\documentclass[10pt,a4paper]{book}

\usepackage{subfiles}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,mathrsfs}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{color,colortbl}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{tikz} %pour construire des cadres et des figures
\usetikzlibrary{shapes,arrows}
%\usepackage{pstricks}
%\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{sectsty} %pour modifier les titres de section
\usepackage[top=2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry} %réglage des marges
\usepackage{fancyhdr} %pour les pieds de page
\usepackage{lastpage} %pour l'affichage du nombre de pages
\usepackage{framed} % barre sur les côtés de démonstration & insertion de code
\usepackage{setspace}
\usepackage{eqnarray} %pour aligner les symbole = quand des équations se supperposent
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tkz-tab} %Pour faire des tableaux de variation
\usepackage{graphicx} %Pour insérer des images
\usepackage{multicol} % pour avoir plusieurs colonnes localement
\usepackage{minted} % insertion de code python (ajouter l'option -shell-escape au compilateur et installer Pygments sous python)
\usepackage[linesnumbered, french, boxed]{algorithm2e} %pour insérer des algorithmes
\usepackage{enumitem} %pour personnaliser les listes


\setlength{\columnseprule}{0.25pt}
%\setlength{\parskip}{3ex plus 2ex minus 1ex} %définit l'espace entre paragraphe valant 2 ex et y ajouter au maximum de 1 ex ou la diminuer au maximum de 1 ex.
\setlength{\parindent}{0pt} % suppression de l'indentation des paragraphe

%augmente l'interligne
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}

% haut et bas de page
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[C]{\leftmark}
\fancyfoot[C]{\thepage / \pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} % ligne de séparation des hauts et pieds de pages

\frenchbsetup{StandardItemLabels} % pour conserver les puces lors des énumérations

% Changement de la couleur des titres de section
\sectionfont{\color{red}{}}
\subsectionfont{\color{blue}{}}
\subsubsectionfont{\color{orange}{}}


% définition des symboles ensemblistes mathématiques ou autres
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Def}[1]{\ensuremath{\mathcal{D}}_{#1}}
\newcommand{\Cb}[1]{\ensuremath{\mathcal{C}}_{#1}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Aire}{\ensuremath{\mathcal{A}}}
\newcommand{\Vol}{\ensuremath{\mathcal{V}}}
\newcommand{\fn}[5]{
   \begin{center}   
      $\begin{array}{ccccc}
      #1 & : & #2 & \to & #3 \\
      & & #4 & \mapsto & #5 \\
      \end{array}$
   \end{center}
}

% mise en forme
\newcommand{\Cadre}[3]{
   \tikzstyle{mybox}=[draw=#2, fill=#2!5, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=15pt]
   \tikzstyle{fancytitle} =[draw=#2, fill=#2!20, very thick, rounded corners, text=black]
   \begin{tikzpicture}
   \node[mybox](box){
      \begin{minipage}{0.95\linewidth}
      #3
      \end{minipage}
   };
   \node[fancytitle, right=10pt] at (box.north west) {\textbf{#1}};
   \end{tikzpicture}
}

\newcommand{\Définition}[2]{\Cadre{#1}{orange}{#2}}

\newcommand{\Proposition}[2]{\Cadre{#1}{green}{#2}}

\newcommand{\Démonstration}[1]{\textbf{Démonstration}
   %\begin{minipage}[t]{1.0\linewidth}
   \begin{leftbar}
      \par{#1}
   \end{leftbar}
   %\end{minipage}
}

\newcommand{\Divers}[2]{\textbf{#1}\newline
   #2
   
   %\begin{minipage}[t]{1.0\linewidth}
   %   \par{#2}
   %\end{minipage}
}

%commande pour faciliter la saisie
\newcommand{\F}[2]{\dfrac{#1}{#2}} %pour les fraction
\newcommand{\RC}[1]{\sqrt{#1}} %pour les racines carrés
\newcommand{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} %pour les vecteurs
\newcommand*{\Vv}[2]{
   \begin{pmatrix}
      #1\\
      #2
   \end{pmatrix}
}

\newcommand*{\determinant}[4]{
   \begin{tabular}{|c c|}
      #1 & #3 \\
      #2 & #4 \\
   \end{tabular}
}

\newcommand{\Base}{$(\V{i},\V{j})$ }
\newcommand{\Repere}{$(O;\V{i},\V{j})$ }

\begin{document}

% Définition des cercle pour les diagramme de Venn
\def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)}
\def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)}
\colorlet{circle edge}{blue!50}
\colorlet{circle area}{blue!20}
\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},outline/.style={draw=circle edge, thick}}
\setlength{\parskip}{5mm}

\chapter{Les ensembles de nombres}

\section{Les ensembles}

Un \textbf{ensemble} est une collection d'objets appelés \textbf{éléments}.

On peut définir un ensemble
\begin{itemize}
   \item ou bien \textbf{par énumération} ; les éléments sont alors placés entre accolades et séparés par des virgules.\\
   Par exemple, $\lbrace a, b, c, d, e, f \rbrace$ est un ensemble.
   \item ou bien \textbf{en compréhension} ; l'ensemble est définis par une propriétés caractérisant les éléments.\\
   Par exemple,  $\lbrace n ; n \in \N, n \geqslant 6 \rbrace $ est un ensemble.
\end{itemize}

\Divers{Remarque}{On note $\varnothing$ l'ensemble vide ; c'est un ensemble qui ne contient aucun élément.}

\subsection{Inclusion}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
   \Définition{Définition}{
      Un ensemble $A$ est \textbf{inclus} (ou \textbf{contenu)} dans un ensemble $B$ quand tous les éléments de
      l'ensemble $A$ appartiennent à l'ensemble $B$.
   }
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
   \begin{center}
      \begin{tikzpicture}[inner sep=2pt, inner ysep=2pt]
      \draw[thick,blue!50] (0,0) circle (2.5 and 1.5);
      \draw[thick,blue!50] (-0.5,0) circle (1.5 and 1);
      \fill[blue!20] (-0.5,0) circle (1.5 and 1);
      \draw (-1.5,0) node[below] {$A$};
      \draw (-2.25,0) node[below] {$B$};
      \end{tikzpicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\Divers{Notation}{On note $A \subset B$}

\Divers{Exemple}{$\lbrace a, b \rbrace \subset \lbrace a, b, c, d \rbrace$}

\subsection{Intersection}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
   \Définition{Définition}{
      L'\textbf{intersection} des deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments communs à $A$ et à $B$.
   }
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
   \begin{center}
      \begin{tikzpicture}
      \begin{scope}
      \clip \firstcircle;
      \fill[filled] \secondcircle;
      \end{scope}
      \draw[outline] \firstcircle node {$A$};
      \draw[outline] \secondcircle node {$B$};
      \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cap B$};
      \end{tikzpicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\Divers{Notation}{On note $A \cap B$}

\Divers{Exemple}{$\lbrace a, b, c, d \rbrace \cap \lbrace c, d, e, f \rbrace = \lbrace c, d \rbrace$}

\Définition{Définition}{Deux ensembles sont \textbf{disjoints} si leur intersection est égale à l'ensemble vide.}

\subsection{Réunion}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
   \Définition{Définition}{
      La \textbf{réunion} de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à l'ensemble $A$ ou
      à l'ensemble $B$.
   }
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
   \begin{center}
      \begin{tikzpicture}
      \draw[filled] \firstcircle node {$A$} \secondcircle node {$B$};
      \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cup B$};
      \end{tikzpicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\Divers{Notation}{On note $A \cup B$}

\Divers{Exemple}{$\lbrace a, b, c, d \rbrace \cup \lbrace c, d, e, f \rbrace = \lbrace a, b, c, d, e, f \rbrace$}

\subsection{Complémentaire}

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
   \Définition{Définition}{
      Le \textbf{complémentaire} de $A$ dans $B$ est l'ensemble des éléments de $B$ qui n'appartiennent pas à $A$.
   }
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
   \begin{center}
      \begin{tikzpicture}
      \begin{scope}
      \clip \secondcircle;
      \draw[filled, even odd rule] \firstcircle \secondcircle node {$B$};
      \end{scope}
      \draw[outline] \firstcircle node {$A$} \secondcircle;
      \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$B \setminus A$};
      \end{tikzpicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\Divers{Notation}{On note $B \setminus A$}

\Divers{Exemple}{$\lbrace a, b, c, d \rbrace \setminus \lbrace a, b \rbrace = \lbrace c, d \rbrace$}

\section{Les entiers naturels}

\Définition{Définition}{Les \textbf{entiers naturels} sont les nombres 0,1, 2, 3,...}

\Divers{Notations}{
   \begin{itemize}
      \item $\N$ : l'ensemble des entiers naturels
      \item $\N^*$ : l'ensemble des entiers naturels non nuls
   \end{itemize}
}

\section{Les entiers relatifs}

\subsection{Définition}

\Définition{Définition}{
   L'ensemble des \textbf{entiers relatifs} est la réunion de l'ensemble des entiers naturels et de l'ensemble constitué
   de leurs opposés.
}

\Divers{Notations}{
   \begin{itemize}
      \item $\Z$ : l'ensemble des entiers relatifs
      \item $\Z^*$ : l'ensemble des entiers relatifs non nul
      \item $\Z^+$ : l'ensemble des entiers positifs
      \item $\Z^{*+}$ : l'ensemble des entiers strictement positifs
      \item $\Z^-$ : l'ensemble des entiers négatifs
      \item $\Z^{*-}$ : l'ensemble des entiers strictement négatifs
   \end{itemize}
}

\Proposition{Propriété}{Tout entier naturel est un entier relatif autrement dit $\N \subset \Z$}

\subsection{Multiples et diviseurs}

\Définition{Définition}{
   Soient $a$ et $b$ deux entiers.
   
   $a$ est un \textbf{multiple} de $b$ ou $b$ est un \textbf{diviseur} de $a$ s'il existe un entier $k$ tel que $a=k \times b$.
}

\Divers{Exemple}{12 est un multiple de 3 et de 4. 3 et 4 sont des diviseurs de 12.}

\Divers{Contre-exemple}{
   12 n'est pas un multiple de 5 car  $2 \times 5 = 10$ et $3 \times 5 = 15$ et il n'existe pas d'entier k entre 2 et 3  tel que $k \times 5 = 12$.
}

\Proposition{Propriété}{Soit $a$ un entier.
   
   La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.
}

\Démonstration{
   Soit $b \in \Z$ et $c \in \Z$ les deux multiples de $a$.
   
   Il existe un entier $k$ tel que $b = k \times a$ et un entier $k'$ tel que $c = k' \times a$.
   
   D'où :
   
   $b + c=k \times a + k' \times a$
   
   $b + c = (k+k') \times a$
   
   $b + c = K \times a$ avec $K = k + k'$ et K entier en tant que somme de deux entiers.
   
   Donc $b+c$ est un multiple de $a$.
}

\subsection{Nombres pairs et nombres impairs}

\Définition{Définition}{
   \begin{itemize}
      \item Un entier \textbf{pair}  est un entier multiple de 2.
      \item Un entier est \textbf{impair} s'il n'est pas pair.
   \end{itemize}
}

\Divers{Remarques}{
   \begin{itemize}
      \item Un entier pair s'écrit sous la forme $2k$ où $k$ est un entier.
      \item Un entier impair s'écrit sous la forme $2k+1$ où $k$ est un entier.
   \end{itemize}
}

\Proposition{Propriété}{Le carré d'un nombre impair est impair.}

\Démonstration{
   Rappel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
   
   Soit $a$ un nombre impair. Il existe un entier $k$ tel que $a=2k+1$.
   
   On a :
   
   $a^2=(2k+1)^2$
   
   $a^2=(2k)^2+2 \times 2k \times 1 + 1^2$
   
   $a^2=4k^2+4k+1$
   
   $a^2=2(2k^2+2k)+1$
   
   $a^2=2K+1$ avec $K=2k^2+2k$ et $K \in \Z$
   
   donc $a^2$ est un nombre impair.
}

\Divers{Algorithme 1}{
   Soit $a$ et $b$ deux entiers tels que $a \leqslant b$. Déterminer le plus grand multiple $m$ de $a$ tel que $m \leqslant b$.
}

\Divers{Principe}{
   On va tester tous les multiples de $a$ jusqu'à dépasser $b$. Le plus grand multiple $m$ sera alors l'avant dernier multiple testé.
}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
   \begin{algorithm}[H]
      \DontPrintSemicolon
      \Entree{$a, b \in \Z$}
      \Sortie{$m \in \Z$}
      $m \leftarrow a$\;
      \Tq{$m \leqslant b$}{$m \leftarrow m+a$}\;
      \Retour{$m-a$}\;
   \end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
   \begin{minted}[frame=lines,framesep=2mm,baselinestretch=1.2,linenos]{python}
   def PlusGrandMultiple(a,b):
   m = a
   while m <= b:
   m = m+a
   return m-a
   \end{minted}
\end{minipage}

\Divers{Algorithme 2}{Soient $a$ et $b$ deux entiers naturel tels que $a \leqslant b$. Déterminer si $b$ est un multiple de $a$.}

\Divers{Principe}{
   On va tester tous les multiples de $a$ jusqu'à dépasser $b$. Si l'avant dernier multiple testé est égal à $b$, alors $b$ est multiple de $a$ sinon il ne l'est pas.
}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
   \begin{algorithm}[H]
      \DontPrintSemicolon
      \Entree{$a, b \in \Z$}
      \Sortie{un booléen obtenu par le test $m-a = b$}
      
      $m \leftarrow a$\;
      \Tq{$m \leqslant b$}{
         $m \leftarrow m+a$}\;
      \Retour{$m-a = b$}\;
   \end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
   \begin{minted}[frame=lines,framesep=2mm,baselinestretch=1.2,linenos]{python}
   def EstMultipleDe(a,b):
   m = a
   while m <= b:
   m = m+a
   return m-a == b
   \end{minted}
\end{minipage}

\subsection{Nombres premiers}

\Définition{Définition}{Un nombre \textbf{premier} est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs distincts.}

\Divers{Remarques}{
   \begin{itemize}
      \item 0 n'est pas un nombre premier car tout entier naturel divise 0 ($0=0 \times n$ où $n \in \N$ est quelconque)
      \item  1 n'est pas un nombre premier car il est son seul diviseur.
   \end{itemize}
}

\Divers{Algorithme 3}{Soit $n$ un entier naturel. Déterminer si $n$ est un nombre premier.}

\Divers{Principe}{On va compter les diviseurs $d$ de $n$. Pour cela, on va calculer le reste de la division euclidienne de $n$ par $d$. Si ce reste est nul, alors $d$ est un diviseur de $n$ autrement dit le nombre de diviseur de $n$ augmente de $1$. Si le nombre de diviseurs final est égale à $2$ alors $n$ est premier.
}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
   \begin{algorithm}[H]
      \DontPrintSemicolon
      \Entree{$n \in \N$}
      \Sortie{un booléen obtenu par le test $c=2$}
      
      $c \leftarrow 0$\;
      \Pour{$i=1$ \KwA $n$}{
         $r \leftarrow$ reste de la division entière de $n$ par $i$\;
         \Si{$r = 0$}{$c \leftarrow c+1$}}\;
      \Retour{$c=2$}\;
   \end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
   \begin{minted}[frame=lines,framesep=2mm,baselinestretch=1.2,linenos]{python}
   def EstPremier(n):
   c = 0
   for i in range(1,n+1):
   r = n % i
   if r == 0:
   c = c + 1
   return c==2
   \end{minted}
\end{minipage}

\Proposition{Propriété}{
   Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est soit premier, soit le produit de nombres premiers. Dans le second cas, cette décomposition est unique.
}

\Divers{Méthode}{
   Pour décomposer un nombre en produit de nombre premier, on divise successivement par les nombres de la liste ordonnée des nombres premiers.
}

\Divers{Exemple}{
   \begin{center}
      \begin{tabular}{r|l}
         17640 & 2\\
         8820 & 2\\
         4410 & 2\\
         2205 & 3\\
         735 & 3\\
         245 & 5\\
         49 & 7\\
         7 & 7\\
         1 &\\
      \end{tabular}
   \end{center}
}

d'où la décomposition unique en produit de nombres premiers $17640=2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^2$

\section{Les nombres décimaux}

\Définition{Définition}{
   L'ensemble des \textbf{nombres décimaux}, noté $\D$, est l'ensemble des nombres de la forme $\F{a}{10^p}$ avec $a \in \Z$
   et $p \in \N$.
}

\Divers{Exemple}{$\F{1}{4}$ est un nombre décimal car $\F{1}{4}=\F{25}{10^{2}}$.}

\Proposition{Propriété}{Tout entier relatif est un nombre décimal autrement dit $\Z \subset \D$.}

\Démonstration{Soit $n \in \Z$. Alors $n=\F{n}{10^{0}}$. Donc $n \in \D$.}

\Proposition{Propriété}{Il existe des nombres qui ne sont pas décimaux.}

\Démonstration{Montrons que $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal.
   
   On raisonne par l'absurde. Supposons que $\dfrac{1}{3}$ soit un nombre décimal.
   
   Alors il existe $a \in \Z$ et $p \in \N$ tels que $\F{1}{3}=\F{a}{10^p}$ autrement dit tels que $3a=10^{p}$.
   
   Cela entraîne que $10^{p}$ est divisible par 3 ce qui est absurde puisque la somme de ses chiffres est toujours égale à 1.
   
   Donc $\F{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
}

\section{Les nombres rationnels}

\Définition{Définition}{
   L'ensemble des \textbf{nombres rationnels}, noté $\Q$, est l'ensemble des nombres de la forme $\dfrac{a}{b}$
   avec $a \in \Z$ et $b \in \N^*$.
}

\Divers{Exemple}{$\F{1}{3}$ est un nombre rationnel (qui n'est pas décimal).}

\Proposition{Propriété}{Tout nombre décimal est un nombre rationnel autrement dit $\D \subset \Q$.}

\Démonstration{
   Un nombre décimal $a$ s'écrit sous la forme $\F{a}{10^p}$  avec $n \in \Z$ et $p \in \N$. Comme $10^p \in \N^*$, alors $a \in \N$.
}

\Proposition{Propriété}{Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels.}

\Démonstration{Montrons que $\RC{2}$ n'est pas rationnel.
   
   Raisonnons par l'absurde et supposons que $\RC{2}$ est rationnel.
   
   Alors, il existe $p \in \N$ et $q \in \N^*$ premier entre eux  tels que $\RC{2}=\F{p}{q}$.
   
   En élevant au carré, on a $2=\F{p^2}{q^2}$ soit $p^2=2q^2$ (1).
   
   Ainsi, $p^2$ est un nombre pair, et par suite $p$ est aussi un nombre pair (en effet, si $p$ était impair, alors $p^2$ serait impair).
   
   Puisque $p$ est pair, il existe $k \in \Z$ tel que $p=2k$.
   
   D'après (1), on en déduit alors que $p^2=(2k)^2=4k^2=2q^2$ soit $q^2=2k^2$.
   
   Ceci entraîne que $q^2$, puis $q$ sont pairs. Ceci contredit le fait que $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
   
   Donc $\RC{2}$ n'est pas rationnel.
}

\section{Les nombres réels}

\subsection{Définition}
\Définition{Définition}{
   L'ensemble de \textbf{nombres réels}, noté $\R$, est l'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée appelé
   droite numérique.
}

\Définition{Définition}{Un \textbf{nombre irrationnel} est un nombre qui n'est pas rationnel.}

\Proposition{Propriété - Encadrement de $x \in \R$ à $10^{-n}$ près}{
   Pour tout nombre réel $x$ et pour tout entier naturel $n$ , il existe un nombre décimal $d$ tel que :
   \begin{center}
      $d \leqslant x < d+10^{-n}$
   \end{center}
}

\subsection{Intervalles}

\Définition{Définition}{Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a<b$.
   \begin{enumerate}
      \item L'intervalle $[a;b]$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a \leqslant x \leqslant b$.
      \item L'intervalle $[a;b[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a \leqslant x < b$.
      \item L'intervalle $]a;b]$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a < x \leqslant b$.
      \item L'intervalle $]a;b[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a < x < b$.
   \end{enumerate}
}

\Définition{Définition}{
   \begin{enumerate}
      \item $a$ et $b$ sont appelés les \textbf{bornes} (ou \textbf{extrémités}) de l'intervalle.
      \item Un intervalle est \textbf{ouvert à gauche} (respectivement \textbf{à droite}) si la borne de gauche (respectivement de droite) n'appartient pas à l'intervalle.
      \item Un intervalle est \textbf{fermé à gauche} (respectivement \textbf{à droite}) si la borne de gauche (respectivement de droite) appartient à l'intervalle.
      \item Un intervalle est \textbf{ouvert} (respectivement \textbf{fermé}) s'il est ouvert (respectivement fermé) à droite et à gauche.
      \item L'\textbf{amplitude} de l'intervalle $[a;b]$ est le nombre réel $b-a$.
      \item Le \textbf{centre} de l'intervalle $[a;b]$ est l'abscisse du milieu des points d'abscisses $a$ et $b$ soit $\dfrac{a+b}{2}$
   \end{enumerate}
}

\Définition{Définition}{Soit $a$ un nombre réel.
   \begin{enumerate}
      \item L'intervalle $[a;+\infty[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x \geqslant a$.
      \item L'intervalle $]a;+\infty[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x > a$.
      \item L'intervalle $]-\infty;a]$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x \leqslant a$.
      \item L'intervalle $]-\infty;a[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x < a$.
   \end{enumerate}
}

\subsection{Valeur absolue d'un réel}

\Définition{Définition}{
   La \textbf{distance de deux réels $a$ et $b$}, notée $d(a;b)$, est la distance des points $A$ et $B$ d'abscisses
   respectives $a$ et $b$ sur la droite numérique.
}

\Proposition{Propriété}{Soit $a$ et $b$ deux réels.
   
   Alors $d(a,b)=
   \begin{cases}
   b-a & \text{si } b \geqslant a \\
   a-b & \text{si } b \leqslant a
   \end{cases}$
}

\Définition{Définition}{
   La \textbf{valeur absolue} d'un réel $x$, notée $|x|$, est la distance de ce réel à 0 autrement dit $|x|=d(0;x)$.
}

\Proposition{Propriété}{Soit $x$ un nombre réel.
   
   \begin{enumerate}
      \item $|x| \geqslant 0$
      \item $\lvert x \rvert=
      \begin{cases}
      -x & \text{si } x \leqslant 0 \\
      x & \text{si } x \geqslant 0
      \end{cases}$
      \item $|x|=|-x|$
      \item $|x|=0$ si et seulement si $x=0$
   \end{enumerate}
}

\Proposition{Propriété}{Soit $a$ un nombre réel et $r$ un nombre réel positif.
   
   L'intervalle $[a - r ; a + r ]$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x-a| \leqslant r$.
}

\Démonstration{
   \begin{eqnarray*}
      x \in [a-r ; a+r]    &\Leftrightarrow & a - r \leqslant x \leqslant a + r \\
      &\Leftrightarrow & -r \leqslant x - a \leqslant  +r \\
      &\Leftrightarrow & -r \leqslant  x - a \leqslant  0 \text{ ou } 0 \leqslant  x-a \leqslant  +r \\
      &\Leftrightarrow & 0 \leqslant  a - x \leqslant  +r \text{ ou } 0 \leqslant  x-a \leqslant  +r \\
      &\Leftrightarrow & |x-a| \leqslant  +r
   \end{eqnarray*}
}


\end{document}


Déjà, cela ne fonctionne pas chez moi, même en shell-escape.
marco56
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Re: Interligne et minipage

Messagepar gigiair » Mardi 05 Mai 2020, 12:35

Je ne suis pas sûr que ce soit une bonne idée d'utiliser des caractères non ASCII dans les noms de macro :
\Définition \Démonstration...
JJR.
LaTeXien migrateur.
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Re: Interligne et minipage

Messagepar marco56 » Mardi 05 Mai 2020, 14:35

gigiair a écrit:Je ne suis pas sûr que ce soit une bonne idée d'utiliser des caractères non ASCII dans les noms de macro :
\Définition \Démonstration...

Je n'avais pas vu effectivement.
marco56
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Re: Interligne et minipage

Messagepar marco56 » Mardi 05 Mai 2020, 15:53

Modifié et cela fonctionne :

Code: Tout sélectionner
\documentclass[10pt,a4paper]{book}

\usepackage{subfiles}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,mathrsfs}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{color,colortbl}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{tikz} %pour construire des cadres et des figures
\usetikzlibrary{shapes,arrows}
%\usepackage{pstricks}
%\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{sectsty} %pour modifier les titres de section
\usepackage[top=2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry} %réglage des marges
\usepackage{fancyhdr} %pour les pieds de page
\usepackage{lastpage} %pour l'affichage du nombre de pages
\usepackage{framed} % barre sur les côtés de démonstration & insertion de code
\usepackage{setspace}
\usepackage{eqnarray} %pour aligner les symbole = quand des équations se supperposent
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tkz-tab} %Pour faire des tableaux de variation
\usepackage{graphicx} %Pour insérer des images
\usepackage{multicol} % pour avoir plusieurs colonnes localement
%\usepackage{minted} % insertion de code python (ajouter l'option -shell-escape au compilateur et installer Pygments sous python)
\usepackage[linesnumbered, french, boxed]{algorithm2e} %pour insérer des algorithmes
\usepackage{enumitem} %pour personnaliser les listes


\setlength{\columnseprule}{0.25pt}
%\setlength{\parskip}{3ex plus 2ex minus 1ex} %définit l'espace entre paragraphe valant 2 ex et y ajouter au maximum de 1 ex ou la diminuer au maximum de 1 ex.
\setlength{\parindent}{0pt} % suppression de l'indentation des paragraphe

%augmente l'interligne
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}

% haut et bas de page
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[C]{\leftmark}
\fancyfoot[C]{\thepage / \pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} % ligne de séparation des hauts et pieds de pages

\frenchbsetup{StandardItemLabels} % pour conserver les puces lors des énumérations

% Changement de la couleur des titres de section
\sectionfont{\color{red}{}}
\subsectionfont{\color{blue}{}}
\subsubsectionfont{\color{orange}{}}


% définition des symboles ensemblistes mathématiques ou autres
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Def}[1]{\ensuremath{\mathcal{D}}_{#1}}
\newcommand{\Cb}[1]{\ensuremath{\mathcal{C}}_{#1}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Aire}{\ensuremath{\mathcal{A}}}
\newcommand{\Vol}{\ensuremath{\mathcal{V}}}
\newcommand{\fn}[5]{
\begin{center}   
$\begin{array}{ccccc}
#1 & : & #2 & \to & #3 \\
& & #4 & \mapsto & #5 \\
\end{array}$
\end{center}
}

% mise en forme
\newcommand{\Cadre}[3]{
\tikzstyle{mybox}=[draw=#2, fill=#2!5, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=15pt]
\tikzstyle{fancytitle} =[draw=#2, fill=#2!20, very thick, rounded corners, text=black]
\begin{tikzpicture}
\node[mybox](box){
\begin{minipage}{0.95\linewidth}
#3
\end{minipage}
};
\node[fancytitle, right=10pt] at (box.north west) {\textbf{#1}};
\end{tikzpicture}
}

\newcommand{\Definition}[2]{\Cadre{#1}{orange}{#2}}

\newcommand{\Proposition}[2]{\Cadre{#1}{green}{#2}}

\newcommand{\Demonstration}[1]{\textbf{Démonstration}
%\begin{minipage}[t]{1.0\linewidth}
\begin{leftbar}
\par{#1}
\end{leftbar}
%\end{minipage}
}

\newcommand{\Divers}[2]{\textbf{#1}\newline
#2

%\begin{minipage}[t]{1.0\linewidth}
%   \par{#2}
%\end{minipage}
}

%commande pour faciliter la saisie
\newcommand{\F}[2]{\dfrac{#1}{#2}} %pour les fraction
\newcommand{\RC}[1]{\sqrt{#1}} %pour les racines carrés
\newcommand{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} %pour les vecteurs
\newcommand*{\Vv}[2]{
\begin{pmatrix}
#1\\
#2
\end{pmatrix}
}

\newcommand*{\determinant}[4]{
\begin{tabular}{|c c|}
#1 & #3 \\
#2 & #4 \\
\end{tabular}
}

\newcommand{\Base}{$(\V{i},\V{j})$ }
\newcommand{\Repere}{$(O;\V{i},\V{j})$ }

\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{listings}

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\lstdefinestyle{mystyle}{
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literate=
{²}{{\textsuperscript{2}}}1
{⁴}{{\textsuperscript{4}}}1
{⁶}{{\textsuperscript{6}}}1
{⁸}{{\textsuperscript{8}}}1
{€}{{\euro{}}}1
{é}{{\'e}}1
{è}{{\`{e}}}1
{ê}{{\^{e}}}1
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{É}{{\'{E}}}1
{Ê}{{\^{E}}}1
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{â}{{\^{a}}}1
{à}{{\`{a}}}1
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{ã}{{\~{a}}}1
{Á}{{\'{A}}}1
{Â}{{\^{A}}}1
{Ã}{{\~{A}}}1
{ç}{{\c{c}}}1
{Ç}{{\c{C}}}1
{õ}{{\~{o}}}1
{ó}{{\'{o}}}1
{ô}{{\^{o}}}1
{Õ}{{\~{O}}}1
{Ó}{{\'{O}}}1
{Ô}{{\^{O}}}1
{î}{{\^{i}}}1
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{í}{{\'{i}}}1
{Í}{{\~{Í}}}1,
morekeywords={*,...},
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stringstyle=\color{gray},
tabsize=4,
title=\lstname,
frame=single
}

\lstset{style=mystyle}


\begin{document}

% Définition des cercle pour les diagramme de Venn
\def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)}
\def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)}
\colorlet{circle edge}{blue!50}
\colorlet{circle area}{blue!20}
\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},outline/.style={draw=circle edge, thick}}
\setlength{\parskip}{5mm}

\chapter{Les ensembles de nombres}

\section{Les ensembles}

Un \textbf{ensemble} est une collection d'objets appelés \textbf{éléments}.

On peut définir un ensemble
\begin{itemize}
\item ou bien \textbf{par énumération} ; les éléments sont alors placés entre accolades et séparés par des virgules.\\
Par exemple, $\lbrace a, b, c, d, e, f \rbrace$ est un ensemble.
\item ou bien \textbf{en compréhension} ; l'ensemble est définis par une propriétés caractérisant les éléments.\\
Par exemple,  $\lbrace n ; n \in \N, n \geqslant 6 \rbrace $ est un ensemble.
\end{itemize}

\Divers{Remarque}{On note $\varnothing$ l'ensemble vide ; c'est un ensemble qui ne contient aucun élément.}

\subsection{Inclusion}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\Definition{Définition}{
Un ensemble $A$ est \textbf{inclus} (ou \textbf{contenu)} dans un ensemble $B$ quand tous les éléments de
l'ensemble $A$ appartiennent à l'ensemble $B$.
}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[inner sep=2pt, inner ysep=2pt]
\draw[thick,blue!50] (0,0) circle (2.5 and 1.5);
\draw[thick,blue!50] (-0.5,0) circle (1.5 and 1);
\fill[blue!20] (-0.5,0) circle (1.5 and 1);
\draw (-1.5,0) node[below] {$A$};
\draw (-2.25,0) node[below] {$B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\Divers{Notation}{On note $A \subset B$}

\Divers{Exemple}{$\lbrace a, b \rbrace \subset \lbrace a, b, c, d \rbrace$}

\subsection{Intersection}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\Definition{Définition}{
L'\textbf{intersection} des deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments communs à $A$ et à $B$.
}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\clip \firstcircle;
\fill[filled] \secondcircle;
\end{scope}
\draw[outline] \firstcircle node {$A$};
\draw[outline] \secondcircle node {$B$};
\node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cap B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\Divers{Notation}{On note $A \cap B$}

\Divers{Exemple}{$\lbrace a, b, c, d \rbrace \cap \lbrace c, d, e, f \rbrace = \lbrace c, d \rbrace$}

\Definition{Définition}{Deux ensembles sont \textbf{disjoints} si leur intersection est égale à l'ensemble vide.}

\subsection{Réunion}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\Definition{Définition}{
La \textbf{réunion} de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à l'ensemble $A$ ou
à l'ensemble $B$.
}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[filled] \firstcircle node {$A$} \secondcircle node {$B$};
\node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cup B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\Divers{Notation}{On note $A \cup B$}

\Divers{Exemple}{$\lbrace a, b, c, d \rbrace \cup \lbrace c, d, e, f \rbrace = \lbrace a, b, c, d, e, f \rbrace$}

\subsection{Complémentaire}

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\Definition{Définition}{
Le \textbf{complémentaire} de $A$ dans $B$ est l'ensemble des éléments de $B$ qui n'appartiennent pas à $A$.
}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\clip \secondcircle;
\draw[filled, even odd rule] \firstcircle \secondcircle node {$B$};
\end{scope}
\draw[outline] \firstcircle node {$A$} \secondcircle;
\node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$B \setminus A$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\Divers{Notation}{On note $B \setminus A$}

\Divers{Exemple}{$\lbrace a, b, c, d \rbrace \setminus \lbrace a, b \rbrace = \lbrace c, d \rbrace$}

\section{Les entiers naturels}

\Definition{Définition}{Les \textbf{entiers naturels} sont les nombres 0,1, 2, 3,...}

\Divers{Notations}{
\begin{itemize}
\item $\N$ : l'ensemble des entiers naturels
\item $\N^*$ : l'ensemble des entiers naturels non nuls
\end{itemize}
}

\section{Les entiers relatifs}

\subsection{Définition}

\Definition{Définition}{
L'ensemble des \textbf{entiers relatifs} est la réunion de l'ensemble des entiers naturels et de l'ensemble constitué
de leurs opposés.
}

\Divers{Notations}{
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{1cm}
\item $\Z$ : l'ensemble des entiers relatifs
\item $\Z^*$ : l'ensemble des entiers relatifs non nul
\item $\Z^+$ : l'ensemble des entiers positifs
\item $\Z^{*+}$ : l'ensemble des entiers strictement positifs
\item $\Z^-$ : l'ensemble des entiers négatifs
\item $\Z^{*-}$ : l'ensemble des entiers strictement négatifs
\end{itemize}
}

\Proposition{Propriété}{Tout entier naturel est un entier relatif autrement dit $\N \subset \Z$}

\subsection{Multiples et diviseurs}

\Definition{Définition}{
Soient $a$ et $b$ deux entiers.

$a$ est un \textbf{multiple} de $b$ ou $b$ est un \textbf{diviseur} de $a$ s'il existe un entier $k$ tel que $a=k \times b$.
}

\Divers{Exemple}{12 est un multiple de 3 et de 4. 3 et 4 sont des diviseurs de 12.}

\Divers{Contre-exemple}{
12 n'est pas un multiple de 5 car  $2 \times 5 = 10$ et $3 \times 5 = 15$ et il n'existe pas d'entier k entre 2 et 3  tel que $k \times 5 = 12$.
}

\Proposition{Propriété}{Soit $a$ un entier.

La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.
}

\Demonstration{
Soit $b \in \Z$ et $c \in \Z$ les deux multiples de $a$.

Il existe un entier $k$ tel que $b = k \times a$ et un entier $k'$ tel que $c = k' \times a$.

D'où :

$b + c=k \times a + k' \times a$

$b + c = (k+k') \times a$

$b + c = K \times a$ avec $K = k + k'$ et K entier en tant que somme de deux entiers.

Donc $b+c$ est un multiple de $a$.
}

\subsection{Nombres pairs et nombres impairs}

\Definition{Définition}{
\begin{itemize}
\item Un entier \textbf{pair}  est un entier multiple de 2.
\item Un entier est \textbf{impair} s'il n'est pas pair.
\end{itemize}
}

\Divers{Remarques}{
\begin{itemize}
\item Un entier pair s'écrit sous la forme $2k$ où $k$ est un entier.
\item Un entier impair s'écrit sous la forme $2k+1$ où $k$ est un entier.
\end{itemize}
}

\Proposition{Propriété}{Le carré d'un nombre impair est impair.}

\Demonstration{
Rappel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Soit $a$ un nombre impair. Il existe un entier $k$ tel que $a=2k+1$.

On a :

$a^2=(2k+1)^2$

$a^2=(2k)^2+2 \times 2k \times 1 + 1^2$

$a^2=4k^2+4k+1$

$a^2=2(2k^2+2k)+1$

$a^2=2K+1$ avec $K=2k^2+2k$ et $K \in \Z$

donc $a^2$ est un nombre impair.
}

\Divers{Algorithme 1}{
Soit $a$ et $b$ deux entiers tels que $a \leqslant b$. Déterminer le plus grand multiple $m$ de $a$ tel que $m \leqslant b$.
}

\Divers{Principe}{
On va tester tous les multiples de $a$ jusqu'à dépasser $b$. Le plus grand multiple $m$ sera alors l'avant dernier multiple testé.
}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\DontPrintSemicolon
\Entree{$a, b \in \Z$}
\Sortie{$m \in \Z$}
$m \leftarrow a$\;
\Tq{$m \leqslant b$}{$m \leftarrow m+a$}\;
\Retour{$m-a$}\;
\end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{lstlisting}
def PlusGrandMultiple(a,b):
   m = a
   while m <= b:
      m = m+a
   return m-a
\end{lstlisting}
\end{minipage}

\Divers{Algorithme 2}{Soient $a$ et $b$ deux entiers naturel tels que $a \leqslant b$. Déterminer si $b$ est un multiple de $a$.}

\Divers{Principe}{
On va tester tous les multiples de $a$ jusqu'à dépasser $b$. Si l'avant dernier multiple testé est égal à $b$, alors $b$ est multiple de $a$ sinon il ne l'est pas.
}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\DontPrintSemicolon
\Entree{$a, b \in \Z$}
\Sortie{un booléen obtenu par le test $m-a = b$}

$m \leftarrow a$\;
\Tq{$m \leqslant b$}{
$m \leftarrow m+a$}\;
\Retour{$m-a = b$}\;
\end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{lstlisting}
def EstMultipleDe(a,b):
   m = a
   while m <= b:
      m = m+a
   return m-a == b
\end{lstlisting}
\end{minipage}

\subsection{Nombres premiers}

\Definition{Définition}{Un nombre \textbf{premier} est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs distincts.}

\Divers{Remarques}{
\begin{itemize}
\item 0 n'est pas un nombre premier car tout entier naturel divise 0 ($0=0 \times n$ où $n \in \N$ est quelconque)
\item  1 n'est pas un nombre premier car il est son seul diviseur.
\end{itemize}
}

\Divers{Algorithme 3}{Soit $n$ un entier naturel. Déterminer si $n$ est un nombre premier.}

\Divers{Principe}{On va compter les diviseurs $d$ de $n$. Pour cela, on va calculer le reste de la division euclidienne de $n$ par $d$. Si ce reste est nul, alors $d$ est un diviseur de $n$ autrement dit le nombre de diviseur de $n$ augmente de $1$. Si le nombre de diviseurs final est égale à $2$ alors $n$ est premier.
}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\DontPrintSemicolon
\Entree{$n \in \N$}
\Sortie{un booléen obtenu par le test $c=2$}

$c \leftarrow 0$\;
\Pour{$i=1$ \KwA $n$}{
$r \leftarrow$ reste de la division entière de $n$ par $i$\;
\Si{$r = 0$}{$c \leftarrow c+1$}}\;
\Retour{$c=2$}\;
\end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{lstlisting}
def EstPremier(n):
   c = 0
   for i in range(1,n+1):
      r = n % i
      if r == 0:
      c = c + 1
   return c==2
\end{lstlisting}
\end{minipage}

\Proposition{Propriété}{
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est soit premier, soit le produit de nombres premiers. Dans le second cas, cette décomposition est unique.
}

\Divers{Méthode}{
Pour décomposer un nombre en produit de nombre premier, on divise successivement par les nombres de la liste ordonnée des nombres premiers.
}

\Divers{Exemple}{
\begin{center}
\begin{tabular}{r|l}
17640 & 2\\
8820 & 2\\
4410 & 2\\
2205 & 3\\
735 & 3\\
245 & 5\\
49 & 7\\
7 & 7\\
1 &\\
\end{tabular}
\end{center}
}

d'où la décomposition unique en produit de nombres premiers $17640=2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^2$

\section{Les nombres décimaux}

\Definition{Définition}{
L'ensemble des \textbf{nombres décimaux}, noté $\D$, est l'ensemble des nombres de la forme $\F{a}{10^p}$ avec $a \in \Z$
et $p \in \N$.
}

\Divers{Exemple}{$\F{1}{4}$ est un nombre décimal car $\F{1}{4}=\F{25}{10^{2}}$.}

\Proposition{Propriété}{Tout entier relatif est un nombre décimal autrement dit $\Z \subset \D$.}

\Demonstration{Soit $n \in \Z$. Alors $n=\F{n}{10^{0}}$. Donc $n \in \D$.}

\Proposition{Propriété}{Il existe des nombres qui ne sont pas décimaux.}

\Demonstration{Montrons que $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal.

On raisonne par l'absurde. Supposons que $\dfrac{1}{3}$ soit un nombre décimal.

Alors il existe $a \in \Z$ et $p \in \N$ tels que $\F{1}{3}=\F{a}{10^p}$ autrement dit tels que $3a=10^{p}$.

Cela entraîne que $10^{p}$ est divisible par 3 ce qui est absurde puisque la somme de ses chiffres est toujours égale à 1.

Donc $\F{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
}

\section{Les nombres rationnels}

\Definition{Définition}{
L'ensemble des \textbf{nombres rationnels}, noté $\Q$, est l'ensemble des nombres de la forme $\dfrac{a}{b}$
avec $a \in \Z$ et $b \in \N^*$.
}

\Divers{Exemple}{$\F{1}{3}$ est un nombre rationnel (qui n'est pas décimal).}

\Proposition{Propriété}{Tout nombre décimal est un nombre rationnel autrement dit $\D \subset \Q$.}

\Demonstration{
Un nombre décimal $a$ s'écrit sous la forme $\F{a}{10^p}$  avec $n \in \Z$ et $p \in \N$. Comme $10^p \in \N^*$, alors $a \in \N$.
}

\Proposition{Propriété}{Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels.}

\Demonstration{Montrons que $\RC{2}$ n'est pas rationnel.

Raisonnons par l'absurde et supposons que $\RC{2}$ est rationnel.

Alors, il existe $p \in \N$ et $q \in \N^*$ premier entre eux  tels que $\RC{2}=\F{p}{q}$.

En élevant au carré, on a $2=\F{p^2}{q^2}$ soit $p^2=2q^2$ (1).

Ainsi, $p^2$ est un nombre pair, et par suite $p$ est aussi un nombre pair (en effet, si $p$ était impair, alors $p^2$ serait impair).

Puisque $p$ est pair, il existe $k \in \Z$ tel que $p=2k$.

D'après (1), on en déduit alors que $p^2=(2k)^2=4k^2=2q^2$ soit $q^2=2k^2$.

Ceci entraîne que $q^2$, puis $q$ sont pairs. Ceci contredit le fait que $p$ et $q$ sont premiers entre eux.

Donc $\RC{2}$ n'est pas rationnel.
}

\section{Les nombres réels}

\subsection{Définition}
\Definition{Définition}{
L'ensemble de \textbf{nombres réels}, noté $\R$, est l'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée appelé
droite numérique.
}

\Definition{Définition}{Un \textbf{nombre irrationnel} est un nombre qui n'est pas rationnel.}

\Proposition{Propriété - Encadrement de $x \in \R$ à $10^{-n}$ près}{
Pour tout nombre réel $x$ et pour tout entier naturel $n$ , il existe un nombre décimal $d$ tel que :
\begin{center}
$d \leqslant x < d+10^{-n}$
\end{center}
}

\subsection{Intervalles}

\Definition{Définition}{Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a<b$.
\begin{enumerate}
\item L'intervalle $[a;b]$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a \leqslant x \leqslant b$.
\item L'intervalle $[a;b[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a \leqslant x < b$.
\item L'intervalle $]a;b]$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a < x \leqslant b$.
\item L'intervalle $]a;b[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a < x < b$.
\end{enumerate}
}

\Definition{Définition}{
\begin{enumerate}
\item $a$ et $b$ sont appelés les \textbf{bornes} (ou \textbf{extrémités}) de l'intervalle.
\item Un intervalle est \textbf{ouvert à gauche} (respectivement \textbf{à droite}) si la borne de gauche (respectivement de droite) n'appartient pas à l'intervalle.
\item Un intervalle est \textbf{fermé à gauche} (respectivement \textbf{à droite}) si la borne de gauche (respectivement de droite) appartient à l'intervalle.
\item Un intervalle est \textbf{ouvert} (respectivement \textbf{fermé}) s'il est ouvert (respectivement fermé) à droite et à gauche.
\item L'\textbf{amplitude} de l'intervalle $[a;b]$ est le nombre réel $b-a$.
\item Le \textbf{centre} de l'intervalle $[a;b]$ est l'abscisse du milieu des points d'abscisses $a$ et $b$ soit $\dfrac{a+b}{2}$
\end{enumerate}
}

\Definition{Définition}{Soit $a$ un nombre réel.
\begin{enumerate}
\item L'intervalle $[a;+\infty[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x \geqslant a$.
\item L'intervalle $]a;+\infty[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x > a$.
\item L'intervalle $]-\infty;a]$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x \leqslant a$.
\item L'intervalle $]-\infty;a[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x < a$.
\end{enumerate}
}

\subsection{Valeur absolue d'un réel}

\Definition{Définition}{
La \textbf{distance de deux réels $a$ et $b$}, notée $d(a;b)$, est la distance des points $A$ et $B$ d'abscisses
respectives $a$ et $b$ sur la droite numérique.
}

\Proposition{Propriété}{Soit $a$ et $b$ deux réels.

Alors $d(a,b)=
\begin{cases}
b-a & \text{si } b \geqslant a \\
a-b & \text{si } b \leqslant a
\end{cases}$
}

\Definition{Définition}{
La \textbf{valeur absolue} d'un réel $x$, notée $|x|$, est la distance de ce réel à 0 autrement dit $|x|=d(0;x)$.
}

\Proposition{Propriété}{Soit $x$ un nombre réel.

\begin{enumerate}
\item $|x| \geqslant 0$
\item $\lvert x \rvert=
\begin{cases}
-x & \text{si } x \leqslant 0 \\
x & \text{si } x \geqslant 0
\end{cases}$
\item $|x|=|-x|$
\item $|x|=0$ si et seulement si $x=0$
\end{enumerate}
}

\Proposition{Propriété}{Soit $a$ un nombre réel et $r$ un nombre réel positif.

L'intervalle $[a - r ; a + r ]$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x-a| \leqslant r$.
}

\Demonstration{
\begin{eqnarray*}
x \in [a-r ; a+r]    &\Leftrightarrow & a - r \leqslant x \leqslant a + r \\
&\Leftrightarrow & -r \leqslant x - a \leqslant  +r \\
&\Leftrightarrow & -r \leqslant  x - a \leqslant  0 \text{ ou } 0 \leqslant  x-a \leqslant  +r \\
&\Leftrightarrow & 0 \leqslant  a - x \leqslant  +r \text{ ou } 0 \leqslant  x-a \leqslant  +r \\
&\Leftrightarrow & |x-a| \leqslant  +r
\end{eqnarray*}
}


\end{document}


Par contre, je trouve qu'utiliser un shell-escape est pénible.
Il y a des packages plus adaptés pour du python que minted, non ? Perso, j'utilise pythonhighlight, python et listings.
[edit] J'ai modifié le code pour éviter le shell-escape.
marco56
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