Code latex qui refuse de compiler

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Code latex qui refuse de compiler

Messagepar paspythagore » Lundi 04 Novembre 2013, 21:16

Bonjour.

Je n'arrive pas à trouver les erreurs que signalent latex sur ce passage :
Code: Tout sélectionner
\section{L'inégalité des accroissements finis}

\begin{theo}\cite{JYC}[P66]

Soit $E$ et $F$ deux espaces normés et $f$ un homéomorphisme entre deux ouverts $\Omega_1$ et $\Omega_2$ de $E$ et $F$ respectivement. Soit $a$ un point de $\Omega_1$. Si la fonction $f$ est différentiable au point $a$ et si $Df(a)$ est une application linéaire inversible de $E$ dans $F$, alors la fonction réciproque $f^{-1}$ l'est au point $f(a)$ et l'on a :
\[Df^{-1}(f(a))=(Df)^{-1}(a).\]
\textit{La démo se fait avec le théorème de composition de fonctions différentiables et le fait que $f^{-1}\circ f=Id_E$.}
\end{theo}


\begin{coro}\cite{JYC}[P67]

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ de \R et dérivable sur $]a,b[$. Alors il existe $c$ dans $]a,b[$ tel que :
\[f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

\textit{Remarquons que ce corollaire entraîne l'inégalité suivante : si la dérivée de $f$ est bornée sur $]a,b[$, alors
\[|f(a)-f(b)|\leqslant\ds\sup_{t\in]a,b[}|f'(t)|(b-a).\]
Cette inégalité se généralise pour les fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé quelconque.}
\end{coro}

\enc{\begin{theo}\cite{JYC}[P67]

Soit $f$ (resp. $g$= une fonction continue d'intervalle $[a,b]$ de \R à valeurs dans un espace normé $(F,\Vert\cdot\Vert_F$) (resp.\R).

Supposons que $f$ et $g$ soient dérivables sur $]a,b[$ et que :
\[\forall t\in]a,b[,\Vert f'(t)\Vert_F\leqslant g'(t).\]
Alors, on a :
\[\Vert f(b)-f(a)\Vert_F\leqslant g(b)-g(a).\]
\end{theo}}

\begin{theo}\cite{JYC}[P68]

Soit $f$ une fonction différentiable sur un ouvert$\Omega$ d'un espace normé $E$ à valeurs dans un espace normé $F$. soient $a$ et $b$ deux points de $\Omega$ tels que le segment $[a,b]$ soit inclus dans $\Omega$, i.e. que, pour tout $t$ dans $[0,1}$, le point $(1-t)a+tb$ est dans $\Omega$. On a alors :
\[\Vert f(a)-f'b)\Vert_F\leqslant\ds\sup_{t\in[0,1]}\Vert Df(1-ta+tb)\Vert_{\mathcal{L}(E,F)}\Vert b-a\Vert_E.\]
ou \[\Vert f(a)-f(b)-Df(a)\cdot(b-a)\Vert_F\leqslant\ds\sup_{t\in[0,1]}\Vert Df((1-t)a+tb)-Df(a)\Vert_{\mathcal{L}(E,F)}\Vert b-a\Vert_E.\]
\end{theo}

\begin{theo}\cite{JYC}[P68]

Soit $f$ une fonction d'un ouvert $\Omega$ de $\R^N$ dans $F$. Supposons que la fonction $f$ admette des dérivées partielles en tout point de $\Omega$. soit $a$ un point de $\Omega$. Si les dérivées partielles de $f$ sont des fonctions continues de $\Omega$, alors la fonction $f$ est différentiable en $a$.
\end{theo}

code complet :
Code: Tout sélectionner
\documentclass[a4paper, 12pt]{article}%autres choix : article, book

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%\usepackage[utf8x]{inputenc}%      dans mon préambule (le x fait toute la différence
\usepackage[T1]{fontenc}%          gestion des accents (pour les pdf)
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\usepackage{enumerate}%            pour personnaliser enumerate
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\theoremstyle{definition}
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%théorèmes

\newtheorem{ex}{Exemple}
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%notes
%blabla \cite{ref1} re-blabla \cite{ref2}
%\begin{thebibliography}{99}
%\bibitem[1]{ref1} Truc and Machin, 1er article, Journal of Ploum ploum, 2009
%\bibitem[2]{ref2} Pere and Noel, 2e article, {\it Evolution of Chocolate and Sausage}, 2007
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\begin{document}
\begin{titlepage}

\begin{center}
\vspace{3cm}
\huge
LM 360

\vspace{1cm}

\Huge
TOPOLOGIE

\vspace{3cm}

{\large 2012-2013}

\vspace{1cm}

\normalsize{version du \today}

\end{center}
\end{titlepage}

\newpage

\tableofcontents

\newpage

\part{Important}
\subsection*{Inégalité de Cauchy-Schwartz}\cite{JYC}[P6]

\[\boxed{\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j\leqslant\left(\ds\sum^N_{j=1}a_j^2\right)^{1/2}\left(\ds\sum^N_{j=1}b_j^2\right)^{1/2}}\]

\textit{démonstration}

\[\ds\sum^N_{j=1}(a_j+\lambda_j)^2\geqslant0\]
\[\ds\sum^N_{j=1}a_j^2+2\lambda\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j+\lambda^2\ds\sum^N_{j=1}b_j^2\geqslant0\]
\[\Delta=4\left(\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j\right)^2-4\ds\sum^N_{j=1}a_j^2\ds\sum^N_{j=1}b_j^2\leqslant0\]
\section{Espaces métriques}
\subsection{Définitions des espaces métriques}
\begin{defi}\cite{JYC}[P5]
Soit $X$ un ensemble, on appelle \textbf{distance sur $X$} toute application $d$ de $X\times X$ dans $\R^+$ telle que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y$,
\item $d(x,y)=d(y,x)$,
\item $d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(z,y)$
\end{enumerate}
pour tout élément $x,y,z$ de $X$. Le couple $(X,d)$ est appelé un espace métrique.
\end{defi}
\begin{defi}\cite{JYC}[P6]
Soient $(X,d)$ un espace métrique, $x$ un point de $X$ et $\alpha$ un réel strictement positif. On appelle \textbf{boule ouverte} de centre $x$ et de rayon $\alpha$, et l'on note $B(x,\alpha)$ l'ensemble des points $y$ de $X$ tels que $d(x,y)<\alpha$.
\end{defi}
\begin{defi}\cite{JYC}[P7]
Soit $A$ une partie d'un espace métrique $(X,d)$. On dit que $A$ \textbf{est un ouvert} ssi pour tout point $x$ de $A$, il existe un réel strictement positif $\alpha$ tel que la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $\alpha$ soit incluse dans $A$.
\end{defi}

\subsection{Convergence et continuité}
\begin{defi}\cite{JYCb}[P7](convergence des suites)
Soient $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments d'un espace métrique $(X,d)$ et $l$ un point de $X$. On dit que la suite $(x_n)_{n\in\N}$ converge vers $l$ ssi :
\[\forall\varepsilon>0,\exists n_0/\forall n\geqslant n_0,x_n\in B(l,\varepsilon)\]
\[\Big(\forall\varepsilon>0,\exists n_0/\forall n\geqslant n_0, d(x_n,l)<\varepsilon\Big)\]
\end{defi}
\begin{defi}\cite{JYCb}[P7](continuité des fonctions)
Soient $(X,d)$ et $(Y,\delta)$ deux espaces métriques. On considère une fonction $f$ de $X$ dans $Y$ et un point $x_0$ de $X$. La fonction $f$ est continue en $x_0$ ssi :
\[\forall\varepsilon>0,\exists \alpha>0/f(B(x_0,\alpha))\subset B(f(x_0),\varepsilon)\]
\[\Big(\forall\varepsilon>0,\exists \alpha>0/ \forall x\in X,d(x,x_0)<\alpha\Longrightarrow\delta\big(f(x),f(x_0)\big)<\varepsilon\Big)\]
\end{defi}
\subsubsection{Continuité simple}\cite{JYCb}[P19]
Soient $(X,d)$ et $(Y,\delta)$ deux espaces métriques. On considère une fonction $f$ de $X$ dans $Y$ et un point $x_0$ de $X$. La fonction $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si :
\[\forall \varepsilon > 0, \forall x \in X, \exists \alpha > 0, f(\stackrel{\circ}{B}(x_0,\alpha))\subset B(f(x_0),\varepsilon).\]

On dit que la fonction $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si :
\[\forall \varepsilon > 0, \forall x \in X, \exists \alpha > 0, d(x,x_0)<\alpha\Rightarrow\delta(f(x),f(x_0)<\varepsilon).\]

\enc{$f$ est continue ssi $\ds\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ \cite{Wiki2}}
\subsubsection{Continuité uniforme}
Une application $f:(X,d)\to(Y,\delta)$ est uniformément continue si :

\[\forall\varepsilon>0, \exists\alpha>0, \forall x,x'\in X, \left(d(x,x')<\alpha\Rightarrow\delta(f(x),f(x')<\varepsilon\right)\]
\subsection{Les notions d'ouverts et de fermés}
\begin{defi}\cite{JYCb}[P7]
Soit $A$ une partie d'un espace métrique $(X,d)$. On dit que $A$ est un \textbf{ouvert} ssi pour tout $x$ de $A$, il existe un réel strictement positif $\alpha$ tel que la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $\alpha$ soit incluse dans $A$. Par convention, l'ensemble vide est ouvert.

\[\Big(\forall x\in A, \exists\alpha / B_o(x,\alpha)\subset A\Big)\]
\end{defi}
\begin{prop}\cite{JYCb}[P7]
Soit $((X,d)$ un espace métrique. Toute boule ouverte est un ouvert.
\end{prop}

\begin{defi}\cite{JYCb}[P8]
Soit $A$, une partie d'un espace métriqur $(X,d)$. On dit que $A$ est un \textbf{fermé} si son complémentaire est ouvert, autrement dit si, pour tout $x$ dans $X$,
\[\big(\forall\alpha>0,B(x,\alpha)\cap A\neq\varnothing\big)\Longrightarrow x\in A\big)\]
Par convention, l'ensemble vide est fermé.
\end{defi}

\begin{prop}[critère séquentiel]\cite{JYCb}[P8]

Soit $A$ une partie d'un espace métrique $(X,d)$. Un point $x$ de $X$ appartient à $\overline{A}$ ssi il existe une suite $(a_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $A$ telle que $\ds\lim_{n\to\infty}a_n=x$.

La partie $A$ est fermée ssi pour toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $A$, supposée convergente, la limite de la suite $(x_n)_{n\in\N}$ appartient à $A$.
\end{prop}

\subsection{Produit d'espace métrique}
\begin{defi}\cite{JYCb}[P14]
Une distance $d$ est équivalente à une distance $\delta$ définie sur le même ensemble $X$ s'il existe une constante $k\leqslant 1$ telle que les inégalités :
\[d(x,y)\leqslant k\delta(x,y), \quad\delta(x,y)\leqslant kd(x,y)\]
sont vérifiées pour tout $x,y$ dans $X$. On dira que les distances induisent la même topologie si l'ensemble des parties ouvertes définie à l'aide de $d$ est le même que l'ensemble des parties ouvertes définies à l'aide de $\delta$.
\[\Big(\dfrac{1}{k}d(x,y)\leqslant \delta(x,y)\leqslant kd(x,y)\Big)\]
\end{defi}
\begin{defi}\cite{JYCb}[P15]
Soient $(X,d)$ et $(Y,\delta)$, deux applications métriques, $f$ une fonction de $X$ dans $Y$ et $k$ un réel strictement positif. On dit que $f$ est lipschitzienne de rapport $k$ ssi :
\[\forall(x,x')\in X^2, \delta\big(f(x),f(x')\big)\leqslant kd(x,x')\]
\textit{remarque : une fonction lipschitzienne est continue.}
\end{defi}
\begin{prop}\cite{JYCb}[P15]
Soient $(X,d)$, un espace métrique, $x_0$ un point de $X$ et $A$ une partie de $X$. La fonction $x\mapsto d(x,x_0)$ est lipschitzienne. Définissons :
\[d(x,A)\overset{inf}{=}\ds\inf_{a\in A}d(x,a)\]
L'application $x\mapsto d(x,A)$ est $1$-lipschitzienne.
\end{prop}

\subsection{Notions d'espace topologique}
\enc{\begin{defi}\cite{JYC}[P17]
Soit $X$ un ensemble. On munit $X$ d'une structure d'espace topologique en se donnant un sous-ensemble $\Theta$ de $\mathcal{P}(X)$ l'ensemble de $X$ qui vérifie :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble $X$ et l'ensemble vide appartiennent à $\Theta$.
\item Toute réunion d'éléments de $\Theta$ appartient à $\Theta$.
\item Toute \textbf{intersection finie} d'éléments de $\Theta$ appartient à $\Theta$.
\end{enumerate}
L'ensemble des ouverts munissent l'espace métrique $X$ d'une \textbf{structure d'espace topologique.}
\end{defi}
}
\begin{defi}\cite{JYC}[P17]
Soient $(X,d)$ un espace métrique et $x$ un point de $X$, on appelle voisinage de $x$ tout ensemble qui contient un ouvert contenant $x$. Remarquons aussi que, comme toute intersection finie d'ouverts est un ouvert, toute intersection finie de voisinages de $x$ est un voisinage de $x$.
\end{defi}
\begin{defi}\cite{JYC}[P18]
Soient $(X,\Theta)$ un espace topologique. Soient $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $X$ et $l$ un point de $X$. On dit que la suite $(x_n)_{n\in\N}$ converge vers $l$ ssi pour tout voisinage $V$ de $l$, il existe un entier $n_0$, tel que :
\[\forall n\geqslant n_0,x_n\in V\]
\end{defi}

\section{Espaces complets}
\subsection{définition et exemples}
\begin{defi}\cite{JYC}[P21]
Soit $(X,d)$ un espace métrique, on appelle suite de Cauchy de $X$ toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $X$ telle que :
\[\forall\varepsilon>0,\exists n_0\in\N/\forall m\geqslant n_0,d(x_n,x_m)<\varepsilon\]
Comme l'indique la proposition suivante, la notion de suite de Cauchy est plus générale que celle de suite convergente.
\end{defi}
\begin{prop}\cite{JYC}[P21]
Dans un espace métrique $(X,d)$, toute suite convergente est de Cauchy et toute suite de Cauchy ayant une valeur d'adhérence $l$ converge vers $l$.
\end{prop}
\enc{\begin{defi}\cite{JYC}[P21]
Soit $(X,d)$ un espace métrique, on dit que cet espace est \textbf{complet} ssi toute suite de Cauchy est convergente.
\end{defi}}
\begin{prop}\cite{JYC}[P23]
Soient $(X,d)$ un espace complet et $A$ une partie de $X$. alors l'espace métrique $(A,d_{A\times A})$ est complet ssi $A$ est une partie fermée de $X$.
\end{prop}
\subsection{Propriété de Baire}
Les espaces complets possèdent la propriété suivante : si toute suite $(F_n)_{n\in\N}$ de fermés de $E$ est d'intérieurs vide, la réunion $\ds\bigcup_{n\in\N}F_n$ est encore d'intérieur vide.

\subsection{prop.2.1.6}
Soient $(X,d)$ un espace complet et $A$ une partie de $X$. Alors l'espace métrique $(A,d_{X\times X})$ est complet si et seulement si $A$ est une partie fermée de $X$.

\section{Compact} On considère l'espace métrique $(E,d)$.
\subsection{Définition et propriétés de base}

\enc{\begin{defi}\cite{JYC}[P29]
Soit $(X,d)$ un espace métrique. On dit que $(X,d)$ est un espace compact ssi toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $X$ possède une valeur d'adhérence.
\end{defi}}

\begin{lem}\cite{JYC}[P29]
Soit $(X,d)$ un espace métrique compact. alors, pour tout réel strictement positif $\alpha$, on peut recouvrir $X$ par un nombre fini de boule de rayon $\alpha$.
\end{lem}

\begin{prop}\cite{JYC}[P29]
Soit $(X,d)$ un espace métrique compact, il est complet.
\end{prop}

\subsection{Caractérisation des espaces compacts en termes d'ouverts et de fermés}

\begin{theo}\cite{JYCb}[P31]
Soit $(X,d)$ un espace métrique, les trois propriétés suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item Pour toute famille $(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ d'ouverts de $X$ recouvrant $X$, i.e. telle que :
\[X=\ds\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda,\]
on peut extraire un sous-recouvrement fini, i.e. qu'il existe une famille finie $(\lambda_j)_{1\leqslant j\leqslant N}$ telle que :
\[X=\ds\bigcup^N_{j=1}U_{\lambda_j}\]
\item Pour toute famille de fermés $(F_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$, on a :
\[\forall N, \forall(\lambda_1, \cdots, \lambda_N)\in\Lambda^N/\ds\bigcap^N_{j=1}F_{\lambda_j}\neq\varnothing\Longrightarrow \ds\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda\neq\varnothing..\]
\end{enumerate}
\item Toute suite d'éléments de $X$ admet une valeur d'adhérence.
\end{theo}

\begin{theo}[ de Lebesgue]\cite{JYCb}[P32]
Soit $(X,d)$ un espace métrique compact. Pour toute famille $(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ d'ouverts recouvrant $X$, il existe un nombre réel $\alpha$ strictement positif tel que :
\[\forall x\in X,\exists\lambda\in \Lambda/B(x,\alpha)\subset U_\lambda.\]
\textit{L'énoncé signifie simplement que toute boule de rayon assez petit est entièrement contenue dans un des ouverts de la famille recouvrante, indépendamment du centre de la boule. \cite{Mtx1}}
\end{theo}

\begin{coro}\cite{JYC}[P35]
Soit $f$ une fonction continue de $(X,d)$ dans $(\R,|x-y|)$. Si $(X,d)$ est compact, alors la fonction $f$ admet un minimum et un maximum, i.e. qu'il existe $x_m$ et $x_M$ dans $X$ tels que :
\[\forall x\in X,f(x_m)\leqslant f(x)\leqslant f(x_M).\]
\end{coro}

\subsection{Autres sources}
\enc{\begin{defi}\cite{OL}[3.1]
Soit $A\subset E$. On dit que $A$ est un compact, ou partie compacte, de $E$ si $A=\varnothing$ ou si toute suite de $A$ contient une sous-suite qui converge dans $A$ ; autrement dit, si toute suite de $A$ admet au moins une valeur d'adhérence dans $A$ (c'est à dire une sous-suite convergente).
\end{defi}}

\begin{theo}\cite{OL}[3.2]
Tout segment $[a,b]$ est un compact de \R.
\end{theo}

\begin{prop}\cite{OL}[3.3]
soit $A\subset E, A\neq\varnothing$. Pour que $A$ soit compact, il faut et il suffit qu'il vérifie l'une des conditions suivantes :
\begin{enumerate}
\item Toute partie infinie de $A$ possède au moins un point d'accumulation dans $A$.
\item Toute partie de $A$ qui a tous ses points isolés est une partie finie ($\Longleftrightarrow$ Bolzano-Weirestrass)
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{prop}\cite{OL}[3.4]
Tout compact est fermé.
\end{prop}

\begin{prop}\cite{OL}[3.7]
Tout compact est borné.
\end{prop}

\begin{theo}\cite{OL}[3.8]
Tout espace métrique compact est complet.
\end{theo}

\begin{theo}\cite{OL}[3.9]
Soit \textit{$E$ un espace métrique compact} et $A\subset E,A\neq\varnothing$. On a les équivalences :
\[A \text{ fermé }\Longleftrightarrow A\text{ compact }\Longleftrightarrow A\text{ complet}.\]
\end{theo}

\begin{coro}\cite{OL}[3.10]
Dans un espace métrique quelconque, on a :
\begin{enumerate}
\item Toute intersection de compacts est compacte.
\item L'intersection d'un fermé et d'un compact est compacte.
\end{enumerate}
\end{coro}

\begin{prop}\cite{OL}[3.11]
Toute \textit{réunion finie} de compacts est compacte.
\end{prop}

\begin{prop}\cite{OL}[2.17]
\[\begin{array}{rcl}f \text{ est continue }&\Longleftrightarrow&\text{ l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert}\\
&\Longleftrightarrow&\text{ l'image réciproque de tout fermé est un fermé}
\end{array}\]
\end{prop}

\begin{defi}
\textbf{L'adhérence} ou fermeture d'une partie d'un espace topologique est \textit{le plus petit fermé contenant celle-ci}. Un point est dit adhérent à une partie s'il appartient à son adhérence.

\textit{Une valeur d'adhérence d'une suite} de points d'un espace topologique est un point dont tout voisinage contient une infinité de termes de la suite.

Si tout point admet une base dénombrable de voisinages, une valeur d'adhérence est la limite d'une sous-suite.
\end{defi}

\begin{defi}\cite{OL}[1.52]
On dit qu'une partie $A$ d'un espace métrique $E$ est \textbf{dense} dans $E$ (ou plus simplement dense) lorsque :
\[\bar{A}=E\]
\end{defi}

\begin{prop}\cite{OL}[1.52]
Soit $A\subset E$. La partie $A$ est dense dans $E$ ssi tout point de $E$ est limite d'une suite de points de $A$.
\end{prop}

\begin{theo}\cite{Wiki3}
En topologie de $\R^n$, le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble A de vecteurs :

\begin{enumerate}
\item $A$ est fermé et borné ($A$ est borné s'il existe une constante positive majorant la norme de tous les éléments de $A$) ;
\item $A$ est compact, c'est-à-dire qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de $A$ par des ouverts de $\R^n$ on peut extraire un sous-recouvrement fini.
\end{enumerate}
L'essentiel du théorème est : tout fermé borné de $\R^n$ est compact car la réciproque est immédiate.
\end{theo}

\section{Espaces connexes}

\subsection{Notion de connexité par arcs}
\begin{defi}\cite{JYCb}[P39]
Soit $A$ une partie d'un espace métrique $(X,d)$. On dit que $A$ est connexe par arcs ssi pour tout couple $(x_0,x_1)$ de points de $X$, il existe une application continue $\gamma$ de $[0,1]$ dans $A$ telle que $\gamma(j)=x_j$. Si la partie $X$ est connexe par arcs, on dit alors que l'espace métrique $(X,d)$ est connexe parc arcs.
\end{defi}

\begin{prop}\cite{JYC}[P39]
Les parties connexes par arcs de $(\R,|\cdot|)$ sont les intervalles.
\end{prop}

\subsection{Notion de connexité}
\begin{defi}\cite{JYC}[P42]
Soit $(X,d)$ un espace métrique. On dit qu'une partie $A$ de $X$ est connexe ssi, pour tout couple d'ouverts $U_0$ et $U_1$ de $X$, tels que $A\subset U_0\cup U_1$, on a :
\[(A\cap U_0\neq\varnothing\text{ et }A\cap U_1\neq\varnothing)\Longrightarrow A\cap U_0\cap U_1\neq\varnothing.\]
Lorsque la propriété est vérifiée pour $A=X$, on dit que l'espace $X$ est connexe.
\end{defi}

\begin{defi}\cite{OL}[P77]
Un espace métrique $E$ est connexe s'il n'existe pas de partition de $E$ en deux ouverts (ou deux fermés).

soit $A\subset E$. Si le sous-espace métrique $A$ est connexe, on dit que c'est un connexe (ou partie connexe) de $E$.
\end{defi}

\begin{prop}\cite{OL}[P83]
Si $E$ est connexe par arcs, alors $E$ est connexe.
\end{prop}

\begin{theo}\cite{JYC}[P42]
Les parties connexes de $(\R,|\cdot|)$ sont les intervalles.
\end{theo}

\begin{prop}\cite{JYC}[P43]
Soit $A$ une partie connexe d'un espace métrique $(X,d)$. alors si $A$ est connexe, alors $\bar{A}$ est connexe.
\end{prop}

\begin{prop}\cite{JYC}[P43]
Soit $A$ une partie d'un espace métrique $(X,d)$. Cette partie est connexe ssi pour toute partie $B$ de $A$,
\[\big(B\text{ ouverte et fermée de }A\big)\Longrightarrow \big(B=A\text{ ou }B=\varnothing\big)\]
\end{prop}

\begin{theo}\cite{JYC}[P44]
Soit $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ une famille de parties connexes d'un espace métrique $(X,d)$. On a :
\[\ds\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\neq\varnothing\Longrightarrow\ds\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda \text{ est connexe.}\]
\end{theo}

\begin{defi}\cite{JYC}[P44]
Soit $x$ un point d'un espace métrique $(X,d)$. On appelle \textbf{composante connexe} de $x$ (et l'on note $\Pi_x$) la réunion de toutes les parties connexes de $X$ contenant $x$.
\end{defi}

\section{Espaces normés et espaces de Banach}
\subsection{Définition des espaces normés et de Banach}
\begin{defi}\cite{JYC}[P45]
Soit $E $ un espace vectoriel sur \K. On dit qu'une application $N$ de $E$ dans $\R^+$ est une norme sur $E$ ssi les trois conditions suivantes sont satisfaites :
\begin{enumerate}
\item $N(x)=0\Longleftrightarrow x=0$.
\item Pour tout $\lambda$ appartenant à \K, on a $N(\lambda x)=|\lambda|N(x)$.
\item $N(x+y)\leqslant N(x)+N(y)$.
\end{enumerate}
Le couple $(E,N)$ est appelé espace normé.
\end{defi}

\enc{Un résultat de base concernant les Banach : $(E,\|\cdot\|)$ est un Banach si et seulement si toute série normalement convergente est convergente.\cite{Mtx}[OG Endomorphisme linéaire continu]}


\begin{defi}\cite{JYC}[P46]

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ un ensemble, on considère l'espace des fonctions bornées de $X$ dans \K. On définit alors l'application :
\[f\mapsto\ds\sup_{x\in X}|f(x)|\]
C'est une norme au sens ci-dessus.

Si $X=\N$, cet espace est l'ensemble des suites bornées à valeurs dans \K. On note cet espace $l^\infty(\N;\K)$ et l'on note un élément $x$ de cet espace $(x(n))_{n\in\N}$.
\item On appelle $l^1(\N;\K)$ l'ensemble des suites à valeurs dans \K telles que la série de terme général $x(n)$ soit absolument convergente.
\item On appelle $l^2(\N;\K)$ l'ensemble des suites à valeurs dans \K telles que la série de terme général $|x(n)|^2$ soit convergente.
\end{enumerate}
\end{defi}

\begin{prop}\cite{JYC}[P46]

Les espaces $l^1(\N;\K)$ et $l^2(\N;\K)$ sont des espaces vectoriels et les applications :
\[ ||x||_1\stackrel{déf}{=}\ds\sum^N_{n=0}|x(n)|\text{ et }||x||_2\stackrel{déf}{=}\Big(\ds\sum^N_{n=0}|x(n)|^2\Big)^{1/2}\]
définissent des normes sur $l^1(\N;\K)$ et $l^2(\N;\K)$ respectivement.
\end{prop}

\begin{prop}\cite{JYC}[P46]

Soit $(E,||\cdot||)$ un espace normé, alors l'application définie par :
\[d\left\{\begin{array}{ccccc}E\times E&\to&\R^+\\(x,y)&\mapsto&||x-y||\end{array}\right.\]
est une distance sur $E$, appelée distance associée à la norme $||\cdot||$.
\end{prop}

\begin{defi}\cite{JYC}[P47]

Soit $(E, ||\cdot||)$ un espace normé. On dit que $(E,||\cdot||)$ est un espace de \textbf{Banach} ssi l'espace métrique $(E,d)$ où $d$ est la distance associée à la norme $||\cdot||$ (i.e. $d(x,y)=||x-y||$) est un espace complet.
\end{defi}

\begin{theo}\cite{JYC}[P48]

L'espace normé $(l^1(\N;\K),||\cdot||_1)$ est un espace de Banach.
\end{theo}

\subsection{Le cas des espaces de dimension finie}
\begin{theo}[de Riesz]\cite{JYC}[P51]

Soit $E$, un espace vectoriel normé ; la dimension de $E$ est finie ssi la boule unité fermé de $E$ est compacte.
\end{theo}

\begin{def}\cite{JYC}[P51]

Soit $E$, un espace vectoriel et $N_1$ et $N_2$ deux normes sur $E$. Elles sont dites équivalentes ssi il existe un réel strictement positif $C$ tel que, pour tout $x$ de $E$, on ait :
\[C^{-1}N_1(x)\leqslant N_2(x)\leqslant CN_1(x).\]
\end{def}

\begin{prop}\cite{JYC}[P52]

Soit $E$, un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les normes sont équivalentes entre elles.
\end{prop}

\subsection{Continuité des applications linéaires}
\begin{theo}\cite{JYC}[P53]

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Si $E$ est de dimension finie, alors toute application linéaire de $E$ dans $F$ est continue.
\end{theo}

\subsection{Les espaces d'applications linéaires continues}
\begin{prop}\cite{JYC}[P53]

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, on désigne par $\mathcal{L}(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $F$. L'application définie par :
\[|| l||_{\mathcal{L}(E,F)}\stackrel{déf}{=}\ds\sup_{||x||_E\leqslant1}||l(x)||_F\]
est une norme sur $\mathcal{L}(E,F)$.
\end{prop}

\begin{prop}\cite{JYC}[P54]

Soient $E$, $F$ et $G$ trois espaces vectoriels normés et $(l_1,l_2)$ un élément de $\mathcal{L}(E,F)\times\mathcal{L}(F,G)$. La composée $l_2\circ l_1$ appartient à $\mathcal{L}(E,G)$ et :
\[||l_2\circ l_1||_{\mathcal{L}(E,G)}\leqslant ||l_1||_{\mathcal{L}(E,F)}||l_2||_{\mathcal{L}(F,G)}.\]
\end{prop}

\subsection{Le cas particulier de $\mathcal{L}(E)$}

\begin{coro}\cite{JYC}[P57]

L'ensemble $U(E)$ des éléments inversibles de $\mathcal{L}(E)$ est un ouvert et l'application $Inv$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{ccccc}U(E)&\to&U(E)\\l&\mapsto l^{-1}\end{array}\right.\]
est continue.
\end{coro}

\subsection{Le théorème de Baire}
\begin{theo}[de Banach-Steinhauss]\cite{JYC}[P59]

Soient $E$ et $F$ deux espaces de normés et $(l_n)_{n\in\N}$ une suite de $\mathcal{L}(E,F)$. Supposons que $E$ soit complet. Supposons que, pour tout $x$ de $E$, la limite de la suite $(l_n(x))_{n\in\N}$ existe ; désignons la par $l(x)$.

alors la suite $(l_n)_{n\in\N}$ est une suite bornée de $\mathcal{L}(E,F)$, ce qui implique en particulier que $l$ appartient à $\mathcal{L}(E,F)$. De plus, on a :
\[||l||_{\mathcal{L}(E,F)}\leqslant \ds\liminf_{n\to\infty}||l||_{\mathcal{L}(E,F)}\]
\end{theo}

\begin{lem}\cite{JYC}[P59]

Soient $E$ et $F$ deux espaces de normés et $(l_n)_{n\in\N}$ une suite de $\mathcal{L}(E,F)$. Supposons que $E$ soit complet. Supposons que pour tout $x$ de $E$, la suite $(l(x))_{n\in\N}$ soit une suite bornée de $F$.

Alors la suite $(l_n)_{n\in\N}$ est une suite bornée de $\mathcal{L}(E,F)$.
\end{lem}

\begin{theo}[de Banach]\cite{JYC}[P60]

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $A$ un élément de $\mathcal{L}(E,F)$.

Si $A$ est bijective, alors $A^{-1}\in\mathcal{L}(F,E)$.
\end{theo}

\section{Calcul différentiels : les bases}
\section{différentielles et dérivées partielles}

\begin{defi}\cite{JYC}[P61]

Soient $f$ une fonction d'un intervalle ouvert $I$ de \R à valeurs dans un espace normé $F$. Soit $t_0$ un point de $I$, on dit que$f$ est dérivable en $t_0$ ssi :
\[\ds\lim_{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}\] existe.
On l'appelle alors le vecteur dérivé de $f$ au point $t_0$ ; ce vecteur est noté $f'(t_0)$.

Si la fonction $f$ est dérivable en tout point $t$ de l'intervalle $I$, on dit alors que la fonction $f$ est dérivable sur $I$.

Si la fonction $f'$ est continue, la fonction $f$ est dite de classe $C^1$ sur $I$ (on note $C^1(I)$ l'ensemble de toutes les fonctions de classes $C^1(I)$).
\end{defi}
Nous allons étendre cette notion aux fonctions dites "de plusieurs variables" (sous entendues réelles).

\enc{
\begin{defi}\cite{JYC}[P61]
Soit $f$ une fonction d'un intervalle ouvert $\Omega$ dans $E$ à valeurs dans $F$ et $a$ un point de $\Omega$. On dit que la fonction $f$ est différentiable au point $a$ si et seulement si, il existe une application linéaire $L$ continue de $E$ dans $F$ telle que, pour tout réel strictement positifs $\varepsilon$, il existe un réel strictement positif $\alpha$ tel que la boule ouverte $B(a,\alpha)$ de centre $a$, et de rayon $\alpha$ soit incluse dans $\Omega$ et tel que :
\[\forall\vv{h}\in B(0,\alpha),\Vert f(a+\vv{h})-f(a)-L\cdot\vv{h}\Vert_F<\varepsilon\Vert\vv{h}\Vert_E\]
Si une fonction est différentiable en tout point d'un ouvert $\Omega$, elle est dite "différentiable sur $\Omega$".
\end{defi}}

\begin{prop}\cite{JYC}[P62]
Soit $f$ une fonction de $\Omega$ dans $\R^N$ et $a$ un point de $\Omega$. Si $f$ est différentiable au point $a$, alors $f$ est continue au point $a$.
\end{prop}


\section{dérivées directionnelles et dérivées partielles}

\begin{prop}\cite{JYC}[P63]

Soit $\Omega$ un ouvert de $(E,\Vert\cdot\Vert_E)$ et $f$ une application de $\omega$ dans $(F,\Vert\cdot\Vert_F)$ différentiable en un point $a$ de $\Omega$. soient $\alpha_0$ un réel strictement positif et $\vv{h_0}$ un vecteur non nul de $E$ tel que le segment $]a-\alpha_0\vv{h_0},a+\alpha_0\vv{h_0}[$ soit inclus dans $\Omega$. alors $f_{a,\vv{h_0}}$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{ccccc}]-\alpha_0,\alpha_0[&\to& F\\t&\mapsto&f(a+t\vv{h_0})\end{array}\right.\]
est dérivable en $0$ et l'on a :
\[\dfrac{d}{dt}f_{a,\vv{h_{0|t=0}}}=Df(a)\vv{h_0}\]
\end{prop}

\section{L'inégalité des accroissements finis}

\begin{theo}\cite{JYC}[P66]

Soit $E$ et $F$ deux espaces normés et $f$ un homéomorphisme entre deux ouverts $\Omega_1$ et $\Omega_2$ de $E$ et $F$ respectivement. Soit $a$ un point de $\Omega_1$. Si la fonction $f$ est différentiable au point $a$ et si $Df(a)$ est une application linéaire inversible de $E$ dans $F$, alors la fonction réciproque $f^{-1}$ l'est au point $f(a)$ et l'on a :
\[Df^{-1}(f(a))=(Df)^{-1}(a).\]
\textit{La démo se fait avec le théorème de composition de fonctions différentiables et le fait que $f^{-1}\circ f=Id_E$.}
\end{theo}


\begin{coro}\cite{JYC}[P67]

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ de \R et dérivable sur $]a,b[$. Alors il existe $c$ dans $]a,b[$ tel que :
\[f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

\textit{Remarquons que ce corollaire entraîne l'inégalité suivante : si la dérivée de $f$ est bornée sur $]a,b[$, alors
\[|f(a)-f(b)|\leqslant\ds\sup_{t\in]a,b[}|f'(t)|(b-a).\]
Cette inégalité se généralise pour les fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé quelconque.}
\end{coro}

\enc{\begin{theo}\cite{JYC}[P67]

Soit $f$ (resp. $g$= une fonction continue d'intervalle $[a,b]$ de \R à valeurs dans un espace normé $(F,\Vert\cdot\Vert_F$) (resp.\R).

Supposons que $f$ et $g$ soient dérivables sur $]a,b[$ et que :
\[\forall t\in]a,b[,\Vert f'(t)\Vert_F\leqslant g'(t).\]
Alors, on a :
\[\Vert f(b)-f(a)\Vert_F\leqslant g(b)-g(a).\]
\end{theo}}

\begin{theo}\cite{JYC}[P68]

Soit $f$ une fonction différentiable sur un ouvert$\Omega$ d'un espace normé $E$ à valeurs dans un espace normé $F$. soient $a$ et $b$ deux points de $\Omega$ tels que le segment $[a,b]$ soit inclus dans $\Omega$, i.e. que, pour tout $t$ dans $[0,1}$, le point $(1-t)a+tb$ est dans $\Omega$. On a alors :
\[\Vert f(a)-f'b)\Vert_F\leqslant\ds\sup_{t\in[0,1]}\Vert Df(1-ta+tb)\Vert_{\mathcal{L}(E,F)}\Vert b-a\Vert_E.\]
ou \[\Vert f(a)-f(b)-Df(a)\cdot(b-a)\Vert_F\leqslant\ds\sup_{t\in[0,1]}\Vert Df((1-t)a+tb)-Df(a)\Vert_{\mathcal{L}(E,F)}\Vert b-a\Vert_E.\]
\end{theo}

\begin{theo}\cite{JYC}[P68]

Soit $f$ une fonction d'un ouvert $\Omega$ de $\R^N$ dans $F$. Supposons que la fonction $f$ admette des dérivées partielles en tout point de $\Omega$. soit $a$ un point de $\Omega$. Si les dérivées partielles de $f$ sont des fonctions continues de $\Omega$, alors la fonction $f$ est différentiable en $a$.
\end{theo}

\part{Autres ressources}

\section{Applications linéaires}\cite{Ps}[P115]
\subsubsection{Rappel} Soient $E$ et $F$ deux \K-espaces vectoriels. Un application $f:E\to F$ est linéaire si, pour tout $\lambda\in\K$ et tout $(x,y)\in E^2$, on a :

\[f(\lambda x+y)=\lambda f(x)+f(y)\]

\subsubsection{Espaces d'applications linéaires continues}
Soient $(E,N_E)$ et $(F,N_F)$ deux \K-espaces normés. On adopte les notations suivantes :
\[L(E,F)=\{f:E\to F, f\text{ linéaire et}\]
\[\mathscr{L}(E,F)=\{f:E\to F, f\text{ linéaire et contibue}\]

\subsubsection{Proposition 7.13}
Soient $(E,N_E)$ et $(F,N_F)$ deux espaces vectoriels normés et $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. Les cinq propriétés suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item \textbf{$f$ est continue.}
\item $f$ est continue au point $0$.
\item $f$ est bornée sur la boule unité fermée de $E$.
\item \textbf{Il existe un réel $\alpha\leqslant 0$ tel que $\Vert f(x)\Vert_F\leqslant a\Vert x\Vert_E$, pour tout $x\in E$.}
\item $f$ est lipschitzienne.
\end{enumerate}

\subsubsection{Méthode}
\textbf{Pour montrer que $f\in L(E,F)$ n'est pas continue.}

Il suffit de trouver une suite $(x_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $E$ telle que la suite $\left(\dfrac{\Vert f(x_n)\Vert_F}{\Vert x_n\Vert_E}\right)_{n\in\N}$ ne soit pas bornée.

\subsubsection{Proposition 7.15}
Soient $(E,N_E)$ et $(F,N_F)$ deux espaces vectoriels normés. L'application $\Vert\cdot\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}$ de $\mathscr{L}(E,F)$ dans $\R^+$, définie par :
\[\Vert f\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}=\ds\sup_{\Vert x\Vert_E\leqslant1}\Vert f(x)\Vert_F,\]
est une norme sur $\mathscr{L}(E,F)$ appelée norme associée = $\Vert\cdot\Vert_E$ et à $\Vert \cdot\Vert_F$.

\subsubsection{Méthode}
\textbf{Pour calculer la norme de $f\in\mathscr{L}(E,F)$}
\begin{enumerate}
\item On majore le rapport $R(x)=\dfrac{\Vert f(x)\Vert_F}{\Vert x\Vert_E}$ par une constante $M\geqslant 0$ (la plus petite possible!) qui ne dépend pas de $x$. Cela montre que $\Vert f\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}\leqslant M$.
\item On cherche si une des situations suivantes est vérifiée :
\begin{enumerate}
\item[-] S'il existe $x_0\in E$ tel que $R(x_0)=M$, alors $\Vert f\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}=M$.
\item[-] S'il existe une suite $(x_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $E$ telle que $\ds\lim_{n\to\infty}R(x_n)=M$, alors $\Vert f\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}=M$.
\end{enumerate}
\item Si on n'arrive pas à vérifier le point 2, il se peut que la majoration du point 1 ne soit pas assez fine. On recommence au point 1 en essayant d'obtenir un majorant $M'<M$, puis on passe au point 2.
\end{enumerate}

\subsubsection{Exemple de calcul de norme}
\textit{Enoncé} : Soit $E$ l'espace vectoriel $\mathscr{C}^0([0,1])$ des fonctions continues sur $[0,1]$.
On le munit de la norme $\Vert\cdot\Vert_\infty$ définie par :

$$\Vert f\Vert_\infty:=\ds\sup_{x\in[0,1]}\big|f(x)\big|,$$


Montrer que chacune des formes linéaires suivantes est continue et calculer sa norme.

\[\delta_0(f)=f(0);\quad I(F)=\ds\int_0^1f(x)dx.\]

\textit{Réponse}

$\Vert\cdot\Vert_E$, c'est la norme $\Vert\cdot\Vert_\infty$ sur l'ensemble des fonctions continues sur [0;1]
$\Vert\cdot\Vert_F$, c'est la valeur absolue sur $\mathbb{R}$
$\delta_0$ et $I$ sont des applications de $\left(\mathscr{C}^0([0,1]),\Vert\cdot\Vert_\infty\right)$ dans $\left(\mathbb{R},|.|\right)$.

Par exemple, pour $\delta_0$, calculer sa norme $\Vert\delta_0\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}$ revient à chercher $\ds\sup_{f\in E*}\,\dfrac{|\delta_0(f)|}{\Vert f\Vert_\infty}$

$\left(\mathbb{R},|.|\right)$ c'est juste l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels avec la valeur absolue comme norme.
Sinon :
$\delta_0$ est une application linéaire et continue de $\left(\mathscr{C}^0([0,1]),\Vert\cdot\Vert_\infty\right)$ dans $\left(\mathbb{R},|.|\right)$, en effet :
Pour la linéarité : si $f$ et $g$ sont dans $E$ et $\lambda$ est un réel alors $\delta_0(\lambda f+g)=\lambda f(0)+g(0)=\lambda\delta_0(f)+\delta_0(g)$.
Pour la continuité : $|\delta_0(f)|=|f(0)|\leqslant\|f\|_\infty$, donc $\delta_0$ est continue et on peut même dire que $\Vert\delta_0\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}\leqslant1$ (on montre très facilement que c'est en fait égal à 1)

Pour la linéarité de $I$ :

$I(\lambda f+g)=\ds\int_0^1\left(\lambda f(x)+g(x)\right)dx$
$=\lambda\ds\int_0^1f(x)dx+\ds\int g(x)dx=\lambda I(f)+I(g)$

La continuité, je pensais que ce que j'avais écrit était juste :
$\big| I(f)\big|=\Big|\ds\int_0^1f(x)dx\Big|\leq\ds\int_0^1\Big|f(x)\Big|dx$
$\leq\ds\int_0^1\ds\sup_{x\in[0,1]}\Big|f(x)\Big|dx=\ds\sup_{x\in[0,1]}\big|f(x)\big|=\Vert f\Vert_\infty$

\enc{
Par exemple, pour $\delta_0$, calculer sa norme $\Vert\delta_0\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}$ revient à chercher $\ds\sup_{f\in E^*}\,\dfrac{|\delta_0(f)|}{\Vert f\Vert_\infty}$}

D’après ce que l'on vient d'écrire $\Vert I\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}\leqslant1$ et $\Vert I\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}=1$ (atteint pour $f(x)=\ds\sup_{x\in[0,1]}\big|f(x)\big|$)

\subsubsection{Autre exemples de calculs de norme \cite{TDS}[TD6-exo3] }

\textit{Enoncé} Montrer que si $l:E\to F$ est une application linéaire continue, alors les quatre nombres suivants sont égaux :
\[\delta_1=\ds\sup_{\Vert x\Vert\leqslant1}\Vert l(x)\Vert; \delta_2=\ds\sup_{\Vert x\Vert=1}\Vert l(x)\Vert;\delta_3=\ds\sup_{x\neq0}\dfrac{\Vert l(x)\Vert}{\Vert x\Vert};\delta_4=\inf\{M\geqslant0|\forall x\in E;\Vert l(x)\Vert\leqslant M\Vert x\Vert\}\]
Ce nombre, noté $\Vert l\Vert$ est appelé norme de l'application linéaire continue $l$ et $\Vert l(x)\Vert_F\leqslant\Vert l\Vert\Vert x\Vert_E$.

\textit{Corrigé}
\[\boxed{\delta_1=\ds\sup_{\Vert x\Vert\leqslant1}\Vert l(x)\Vert; \delta_2=\ds\sup_{\Vert x\Vert=1}\Vert l(x)\Vert}\]
Comme la sphère unité $S(0,1)=\{x\in E,\Vert x\Vert=1\}$ est contenu dans la boule fermée unité $B_f(0,1)$, alors $\delta_2\leqslant\delta_1$.

D'autre part, pour $x\in B_f(0,1)$ non nul, $\dfrac{x}{\Vert x\Vert}\in S(0,1)$ donc $\Big\Vert l\left(\dfrac{x}{\Vert x\Vert}\right)\Big\Vert\leqslant\delta_2$ et comme $l\left(\dfrac{x}{\Vert x\Vert}\right)=\dfrac{l(x)}{\Vert x\Vert}$ (par linéarité de $l$), alors $\Vert l(x)\Vert\leqslant\delta_2\Vert x\Vert\leqslant\delta_2$.

Ceci étant vrai pour tout $x\in B_f(0,1)$ alors $\delta_1=\ds\sup_{\Vert x\Vert\leqslant1}\Vert l(x)\Vert\leqslant\delta_2$.

D'où $\delta_1=\delta_2$

\[\boxed{ \delta_2=\ds\sup_{\Vert x\Vert=1}\Vert l(x)\Vert;\delta_3=\ds\sup_{x\neq0}\dfrac{\Vert l(x)\Vert}{\Vert x\Vert}}\]
Tout $x\in S(0,1)$ est non nul et $\Vert l(x)\Vert=\dfrac{\Vert l(x)\Vert}{\Vert x\Vert}\leqslant\delta_3$.
Par suite $\delta_2=\ds\sup_{\vert x\Vert=1}\Vert l(x)\Vert\leqslant\delta_3$.

D'autre part, pour tout $x\in E$ (soit $\Vert x\Vert=1$) non nul, $\dfrac{x}{\Vert x\Vert}\in S(0,1)$ donc $\Big\Vert l\left(\dfrac{x}{\Vert x\Vert}\right)\Big\Vert\leqslant\delta_2$ donc $\delta_3=\ds\sup_{x\in E;x\neq0}\dfrac{\Vert l(x)\Vert}{\Vert x\Vert}\leqslant\delta_2$. D'où $\delta_2=\delta_3$.

\[\boxed{\delta_3=\ds\sup_{x\neq0}\dfrac{\Vert l(x)\Vert}{\Vert x\Vert};\delta_4=\inf\{M\geqslant0|\forall x\in E;\Vert l(x)\Vert\leqslant M\Vert x\Vert\}}\]

Si $M>0$ vérifie $\forall x\in E,\Vert l(x)\Vert\leqslant M\Vert x\Vert$ alors pour tout $x\neq0,\dfrac{\Vert l(x)\Vert}{\Vert x\Vert}\leqslant M$ donc $\delta_3\leqslant M$.

Comme $\delta_3$ est $\leqslant$ à tout $M$ vérifiant cette propriété, alors $\delta_3\leqslant\delta_4$. D'autre part, $\forall x\neq0,\dfrac{\Vert l(x)\Vert}{\Vert x\Vert}\leqslant\delta_3$ donc $\forall x\in E,\Vert l(x)\Vert\leqslant\delta_3\Vert x\Vert$ et alors $\delta_4\leqslant\delta_3$. D'où $\delta_3=\delta_4$.

\subsubsection{Proposition 7.18}
Soient $(E,N_E), (F,\Vert\cdot\Vert_F)$ et $(G,\Vert\cdot\Vert_G)$ trois espaces vectoriels normés, $f\in\mathscr{L}(E,F)$ et $g\in\mathscr{L}(F,G)$. alors $g\circ f\in\mathscr{L}(E,G)$ et $\boxed{\Vert g\circ f\Vert_{\mathscr{L}(E,G)}\leqslant\Vert g\Vert_{\mathscr{L}(F,G)}\Vert f\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}}$.

\subsubsection{Proposition 7.19}
Soient $(E,N_E)$ un espace normé et $(F,N_F)$ un espace de Banach. L'espace $\mathscr{L}(E,F)$, muni la norme $\Vert\cdot\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}$ associée à $\Vert\cdot\Vert_E$ et $\Vert\cdot\Vert_F$, est un espace de Banach.
\section{Difféomorphisme}
\textit{Un difféomorphisme est une bijection différentiable dont la réciproque est aussi différentiable.}

$f$ est un difféomorphisme si :
\begin{enumerate}
\item $f$ est bijective,
\item $f$ est différentiable sur $U$ (ouvert de $E$ : espace vectoriel normé de dimension finie),
\item Sa réciproque est différentiable sur $V$ (ouvert de $F$...)
\end{enumerate}
($E$ et $F$ sont alors isomorphes de même dimension.

\subsection{Difféomorphisme local}
Un difféomorphisme local est une application $f:M\to N$ d'une variété dans une autre telle que pour tout $m$ de $M$, il existe un voisinage ouvert $U$ de $m$ dans $M$ tel que $f(U)$ soit ouvert dans $N$ et que la restriction de $f$, de $U$ sur $f(U)$, soit un difféomorphisme.

\[\det J_f\neq0\]

Un difféomorphisme local est un difféomorphisme global ssi il est bijectif.

\section{Différentiabilité}\cite{OL}[7.2.]
On dit que $f$ est différentiable en $a$ s'il existe :
\begin{enumerate}
\item une application linéaire continue $l:E\to F$,
\item un voisinage $V$ de $0_E$, avec $a+V\subset O$,
\item une application $\nu:V\to F$ continue en $0_E$ avec $\mu(O_E)=O_F$, tels que :
\[\forall h\in V,f(a+h)=f(a)+l(h)+\Vert h\Vert\mu(h)\]
\end{enumerate}

\begin{defi}\cite{OL}[7.4.]
Cette application linéaire continue $l$ est la différentielle de $f$ en $a$, appelée aussi application linéaire tangente à $f$, en $a$.

Elle est notée $ff_a$ et elle vérifie :

\[f(a+h)=f(a)+df_a(h)+o\left(\Vert h\Vert\right),\quad h\to0_E.\]
\end{defi}

\section{Définitions des hypersurfaces de $\R^N$}
Nous allons définir les hypersurfaces de $\R^N$ comme étant localement, l'ensemble des zéros d'une fonction régulière dont la différentielle est non nulle.

\begin{defi}\cite{JYC}[9.1.1.]
Soit $S$ une partie de $\R^N$ et $k$ un entier supérieur ou égal à $1$ ; on dit que $S$ est une hypersurface $C^k$ de $\R^N$ ssi pour tout point $x_0$ de $S$, il existe un ouvert $U$ de $\R^N$ contenant $x_0$ et une fonction $f$ de classe $C^k$ sur $\Omega$, à valeurs réelles telle que :
\begin{enumerate}
\item on ait $f^{-1}(0)=S\cap U$,
\item pour tout point $x$ de $S\cap U$, on a $Df(x)\neq0$.
\end{enumerate}
\end{defi}

\begin{theo}\cite{JYC}[9.1.3.]
Soit $S$ une partie de $\R^N$. Cette partie $S$ est une hypersurface $C^k$ ssi pour tout point $x_0$ de $S$, il existe un ouvert $\Omega$ de $\R^N$ contenant $0$ et un difféomorphisme $\varphi$ de classe $C^k$ de $\Omega$ sur $U$, ouvert de $\R^N$ contenant $0$ tel que :
\[\varphi(S\cap \Omega)=U\cap\{y\in\R^N,y_1=0\}\]
(Redressement de l'hypersurface $S$)
\end{theo}

\textit{Il existe une autre façon de voir les hypersurfaces, elle consiste à les voir localement comme l'image par des applications suffisamment régulières d'ouverts de $\R^{N-1}$.}
\begin{theo}\cite{JYC}[9.1.5.]
Soit $S$ une partie de $\R^N$ et $k$ un entier supérieur ou égal à $1$ ; $S$ est une hypersurface ssi pour tout $x_0$ de $S$, il existe un ouvert $U_{N-1}$ de $\R^{N-1}$ contenant $0$, un voisinage $\Omega$ de $x_0$ et une fonction $\Gamma$ de classe $C^k$ de $U_{N-1}$ tel que :
\begin{enumerate}
\item on ait $\Gamma(U_{N-1})=S\cap\Omega$,
\item la fonction $\Gamma$ soit injective sur l'ouvert $U_{N-1}$,
\item la fonction $\Gamma^{-1}$ soit continue de $S\cap\Omega$ sur $U_{N-1}$,
\item $\forall x\in U_{N-1}$, la différentielle de $\Gamma$ au point $x$ soit injective.
\end{enumerate}
\end{theo}
\newpage

\part{Démontrer qu'un espace est complet \cite{DATD}[exo II-1]}
\subsection*{Méthode \cite{Ps}[P86]}
On considère une suite de Cauchy.

On construit sa limite éventuelle.

On vérifie qu'elle appartient à l'ensemble de départ.

On vérifie que la suite de Cauchy converge bien vers cette limite.

\section*{Première question}
Soit $\mathscr{B}$ l'ensemble des fonctions bornées : $\R\to\R$ muni de la distance :

$$\forall f, g\in\mathscr{B},d(f,g)=\ds\sup_{x\in\R}\left| f(x)-g(x)\right|$$

Montrer que $\mathscr{B}$ est bornée.
\section*{Solution}
Montrons que $(\mathscr{B},d_\infty)$ est complet. Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de Cauchy dans $(\mathscr{B},d_\infty)$ :

$$\forall\varepsilon>0, \exists N\in\N,\forall q\geqslant p\geqslant N, d_\infty(f_p,f_q)<\varepsilon$$

Ce qui signifie :

$$\forall\varepsilon>0, \exists N\in\N,\forall q\geqslant p\geqslant N, \ds\sup_{x\in\R}\left| f_p(x)-f_q(x)\right|<\varepsilon\quad(1)$$
Donc en particulier, $\forall x\in\R$, la suite $(f_n(x))_{n\in\N}$ est de Cauchy dans $\R$, et comme $\R$ est complet, alors elle converge.
Pour tout $x\in\R$ on note : $f(x)=\ds\lim_{n\to+\infty}f_n(x)$.
Ceci définit une fonction $f$ de $\R$.

Nous allons maintenant démontrer que $f$ est bornée sur $\R$ (i.e. $f\in\mathscr{B}$) et que $d_\infty(f_n,f)$ tend vers zéro, i.e. $(f_n)_{n\in\N}$ converge vers $f$ dans l'espace métrique $(\mathscr{B},d_\infty)$.

Dans (1) on fait tendre $q$ vers $+\infty$, on a alors :

$$\forall\varepsilon>0, \exists N\in\N, \forall p\geqslant N, \ds\sup_{x\in\R}\left|f_p(x)-f(x)\right|<\varepsilon\quad(2)$$

d'où en particulier :

$$\forall x\in\R, \left|f(x)\right|\leqslant\left|f(x)-f_N(x)\right|+\left|f_N(x)\right|\leqslant\varepsilon+\ds\sup_{x\in\R}\left|f_N(x)\right|,$$

(inégalité triangulaire : $\forall x\in\mathbb{R}, |f(x)|= |(f(x)-f_N(x))+f_N(x)| $ $ \leqslant |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x)|$

ce qui prouve que $f$ est bornée sur $\R$.

De plus (2) signifie précisément $\ds\lim_{n\in+\infty}d_\infty (f_p,f)=0$, i.e. la suite $(f_n)$ converge vers $f$ dans $(\mathscr{B},d_\infty)$.

\section*{Seconde question}

Soit $Y$ l'ensemble des fonctions continues : $f:\R\to\R$ telles que $\ds\lim_{\vert x\vert\to+\infty}f(x)=0$.
Montrer que $Y$ est un fermé de $\mathscr{B}$, puis que $Y$ est complet.

\section*{Solution}

Observons d'abord que $Y\subset \mathscr{B}$. en effet, soit $f\in Y$, alors, comme $\ds\lim_{\vert x\vert\to+\infty}f(x)=0$, on peut écrire :

$$\forall\varepsilon>0,\exists B>0,\forall x,\vert x\vert> B\Rightarrow\left| f(x)\right|<\varepsilon,$$


ce qui implique que $f$ est bornée à l'extérieur de $[-B,+B]$, or, comme elle est continue, elle est bornée sur $[-B,+B]$, donc $f$ est bornée sur $\R$.

\begin{rem}
OG : bah, une fonction continue sur un fermé borné de $\R$ est bornée.
tize : bah oui, c'est du cours, une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes (autrement dit l'image d'un compact par une application continue est un compact).
\end{rem}
\begin{prop}
Tout compact est fermé.(3.4 page 66 de 100/100 licence)
Tout compact est borné.(3.7 page 67 de 100/100 licence)
\end{prop}
\begin{theo}
Soit une application continue $f:E\to F$. Alors, pour tout compact $A$ de $E$, $f(A)$ est un compact de $F$. (3.14 page 70 de 100/100 licence)
\end{theo}
\begin{prop}
Soit $A$ un compact non vide de $E$ et $f\in\mathscr{C}(A, \R=$. Alors, $f$ est bornée et atteint ses bornes. (3.16 page 71 de 100/100 licence)
\end{prop}
\begin{coro}3.3.9 du cours Sakaï
Soit $f$ une fonction continue de $(X,d)$ dans $(\R,\vert x-y\vert)$. Si $(X,d)$ est compact, alors la fonction $f$ admet un minimum et un maximum, c.a.d. qu'il existe $x_m$ et $x_M$ dans $X$ tels que :

$$\forall x\in X, f(x_m)\leqslant f(x)\leqslant f(x_M)$$
\end{coro}

\newpage

Montrons que $Y$ est fermé dans $\mathscr{B}$, c.a.d. $Y=\overline{Y}$, ce qui revient à montrer $\overline{Y}\subset Y$ (puisque l'inverse est toujours vrai).
Soit $f\in\overline{Y}$, alors il existe une suite $(f_n)_{n\in\N}$ telle que $f_n\in Y$ et $\ds\lim_{n\to+\infty}d_\infty(f_n,f)=0$. Montrons que $f\in Y$ :

$$\forall\varepsilon>0, \exists N\in\N, \ds\sup_{x\in\R}\left| f_n(x)-f(x)\right|<\dfrac{\varepsilon}{2},$$

alors $f$ est continue sur $\R$ comme limite uniforme d'applications continues sur $\R$. De plus, comme $\ds\lim_{\vert x\vert\to+\infty}f_N(x)=0$, alors :

$$\forall\varepsilon>0, \exists B>0,\vert x\vert>B\Rightarrow\left| f_N(x)\right|<\dfrac{\varepsilon}{2}$$

\begin{rem}
OG : comme les éléments de $Y$ sont continues, il faut montrer que la limite $f$ est continue sur $\R$,
ce qui est une conséquence de "la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue" (sur un intervalle de $\R$, sur $\R$ tout entier). C'est un résultat vu précédemment (cours sur les suites de fonctions)
tize : c'est du cours aussi... si une suite de fonction $(f_n)_n$ converge uniformément vers une fonction $g$ alors $g$ est continue
\end{rem}

\vspace{2cm}

Par suite, comme $\left| f(x)\right|\leqslant\left| f(x)-f_N(x)\right|+\left| f_N(x)\right|$, alors :

$$\forall\varepsilon>0,\exists B>0, \forall x, \vert x \vert>B\Rightarrow\left| f(x)\right|\leqslant\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$


et on en déduit que $\ds\lim_{\vert x\vert\to\infty}f(x)=0$, i.e. $f\in Y$.

Enfin, comme $Y$ est fermé dans un espace complet, alors $Y$ est complet.

\vfill %ressort vertical
\begin{thebibliography}{2}

   \bibitem{JYC} Cours sakaï : J.Y.Chemin 2012-2013
   
   \bibitem{DATD} TD corrigés sakaï : D Achab 2012-2013
   
   \bibitem{JYCb} Cours sakaï : J.Y.Chemin 2011-2012
   
   \bibitem{TDS} TD sakaï : 2012-2013

   \bibitem{topo}Pearson \og Mathématiques Analyses L3 \fg{}.
   
   \bibitem{StR}Cours de LM360 \og Topologie et calcul différentiel\fg{} de Jean \bsc{Saint Raymond}.
   
   \bibitem{Wiki1}Suite de Cauchy :  \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Cauchy}.
   
   \bibitem{Wiki2}Continuité:  \url{http://http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuit%C3%A9}.
   
   \bibitem{Wiki3}Théorème de Borel-Lebesgue :  \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Borel-Lebesgue}
   
   \bibitem{CB}\og Topologie pour la licence\fg{} de Claude \bsc{Berger}.
   
   \bibitem{OL}\og Objectif licence
   
   \bibitem{Ps}\og Pearson Analyse L3
   
   \bibitem{Mtx1} Mathematex : lemme de Lebesgue sur les compacts
   
   \bibitem{Mtx} Mathematex
   
   \end{thebibliography}
\label{LastPage}
\newpage
\end{document}
paspythagore
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Re: Code latex qui refuse de compiler

Messagepar nicolasdec » Lundi 04 Novembre 2013, 21:32

Bonsoir
à la ligne 606 de ton code tu as un intervalle [0;1} forcement ca plante... change l'accolade fermante ca compilera.
nicolasdec
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Re: Code latex qui refuse de compiler

Messagepar paspythagore » Lundi 04 Novembre 2013, 21:53

Oui merci.
Mais il y a aussi des soucis ligne 1027,1039, 1040 et 1042.
J'envoie le code coupé au bon endroit pour parler des mêmes lignes.
Code: Tout sélectionner
\documentclass[a4paper, 12pt]{article}%autres choix : article, book

\usepackage[utf8]{inputenc}%       encodage du fichier source
%\usepackage[utf8x]{inputenc}%      dans mon préambule (le x fait toute la différence
\usepackage[T1]{fontenc}%          gestion des accents (pour les pdf)
\usepackage[francais]{babel}%      rajouter éventuellement english, greek, etc.
\usepackage{textcomp}%             caractères additionnels
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}%pour les maths
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\usepackage{microtype}%            améliorations typographiques
\usepackage{enumerate}%            pour personnaliser enumerate
\usepackage{mathrsfs}%            police pour le B de base : ecrire \mathscr{B}
\usepackage{fancyhdr}
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\usepackage[inline]{asymptote}
\theoremstyle{definition}
\usepackage[colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=violet,urlcolor=blue]{hyperref}%gestion des hyperliens
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%théorèmes

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\newtheorem{theo}{Théorème}
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%notes
%blabla \cite{ref1} re-blabla \cite{ref2}
%\begin{thebibliography}{99}
%\bibitem[1]{ref1} Truc and Machin, 1er article, Journal of Ploum ploum, 2009
%\bibitem[2]{ref2} Pere and Noel, 2e article, {\it Evolution of Chocolate and Sausage}, 2007
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\begin{titlepage}

\begin{center}
\vspace{3cm}
\huge
LM 360

\vspace{1cm}

\Huge
TOPOLOGIE

\vspace{3cm}

{\large 2012-2013}

\vspace{1cm}

\normalsize{version du \today}

\end{center}
\end{titlepage}

\newpage

\tableofcontents

\newpage

\part{Questions de cours}
\begin{theo}(Bolzano-Weiertrass)\cite{JYC}[P29]

Les intervalles $[a ;b]$ de \R muni de la distance usuelle sont des espaces compacts.\end{theo}

\begin{dem}

Soit $(x_n)_{n\in\N}$ une suite de l’intervalle $[a ;b]$. L’ensemble $A_n\stackrel{déf}{=}\{x_m,m\geqslant n\}$ est une partie majorée de réels qui admet donc une borne supérieure que l’on note $L_n$. Comme la suite $A_n$ est une suite décroissante au sens de l’inclusion, la suite $(L_n)_{n\in\N}$ est une suite décroissante qui est minorée par $a$. La suite $(L_n)_{n\in\N}$ est donc convergente. Soit $L$ sa limite.

Démontrons que $L$ est une valeur d'adhérence de la suite $(x_n)_{n\in\N}$.

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif et $m$ un entier positif. Il existe un entier $n_0$, tel que :
\[\forall\varepsilon>0,\forall n\geqslant n_0, 0\leq L_n-L<\dfrac{\varepsilon}{2}\]
Soit $ n_1\stackrel{déf}{=}\max\{m,n_0\}$. Comme $L_{n_1}$ est le plus petit des majorants de $A_{n_1}$, il existe un entier $n$ tel que :
\[\left|x_n-L_{n_1}\right|<\dfrac{\varepsilon}{2 }\]
Donc, pour tout réel strictement positif $\varepsilon$ et tout entier positif $m$, il existe un entier $n\geqslant m$, tel que :
\[\left|x_n-L\right|<\varepsilon\]
D’où le théorème.
\vspace*{0,5cm}
\cite{OL}
Soit $A\subset E$. On dit que $A$ est un compact de $E$ si $A=\varnothing$ ou si toute suite de $A$ contient une sous-suite qui converge dans $A$ ; autrement dit, si toute suite de $A$ admet au moins une valeur d'adhérence dans $A$ (i.e. extraire une sous-suite convergente).\end{dem}
\newpage
\begin{theo}\cite{JYC}[P12]

Soit $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments d'un espace métrique $(X,d)$. Un point $l$ de $X$ appartient à Adh$(x_n)$ si et seulement s'il existe une fonction strictement croissante $\varphi$ de $\N\to\N$ telle que :

\[\boxed{\ds\lim_{n\to+\infty}x_{\varphi(n)}=l}\hspace*{1cm} (\Longleftrightarrow l\in\text{Adh}(x_n)).\]

\end{theo}


\begin{dem}
\begin{rem}
une fonction $\varphi$ strictement croissante de \N dans \N vérifie :

\[\forall n\in\N, \varphi(n)\geqslant n.\]
\end{rem}
Si $l\in\text{Adh}(x_n)$, on définit par récurrence la fonction de la manière suivante : on choisit $\varphi(0)=0$ et puis, on définit $\varphi(n+1)$ à partir de $\varphi(n)$ comme :
\[\varphi(n+1)\stackrel{def}{=}\min\{m>\varphi(n),d(x_m,l)<\dfrac{1}{n+1}\}\]
Le fait que $l$ soit une valeur d'adhérence de la suite garantit que l'ensemble intervenant dans cette définition est non vide.

Par construction, la fonction $\varphi$ est strictement croissante et nous avons pour tout $n\geqslant1$,
\[d(x_{\varphi(n)},l)\leq\dfrac{1}{n}\text{ et donc }\ds\lim_{n\to\infty}x_{\varphi(n)}=l\]
Réciproquement, s'il existe une fonction strictement croissante $\varphi$ telle que $\ds\lim_{n\to+\infty}x_{\varphi(n)}=l$ pour tout $\varepsilon>0$, il existe $n_0$ tel que :
\[\forall n\geqslant n_0,d((x_{\varphi(n)},l)<\varepsilon\]
Comme d'après la remarque, $\varphi(n)\geqslant n$, on en déduit que :
\[\boxed{\forall\varepsilon>0, \forall n\in\N,\exists m\geqslant n, d(x_m,l)<\varepsilon}\]
ce qui signifie exactement que $l$ appartient à Adh$(x_n)$.
\end{dem}

\newpage

\begin{theo}{Caractérisation des applications continues}\cite{JYC}[P10]
Soit $f$ une application entre deux espaces métriques $(X,d)$ et $(Y,\delta)$. Les trois assertions sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item L'application $f$ est continue en tout point de $X$,
\item l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert,
\item l'image réciproque d'un fermé est un fermé.
\end{enumerate}
\end{theo}

\begin{dem}
Remarquons tout d'abord que l'équivalence entre les points 2 et 3 résulte du fait que les complémentaires des ouverts sont les fermés (et réciproquement) et que :

\[\begin{array}{cccccc}f^{-1}(U)&=&\{x\in X\setminus f(x)\in U\}\\&=&\{x\in X\setminus f(x)\in U^c\}^c\\&=&(f^{-1}(U^c))^c\end{array}\]

Démontrons maintenant l'équivalence entre les points 1 et 2. Tout d'abord, faisons une petite digression sur l'image réciproque d'un ensemble.

\begin{lem}\cite{JYC}[P11]
$f(f^{-1}(B))\subset B$ et $A\subset f^{-1}(f(A))$
\end{lem}

Supposons $f$ continue en tout point de $X$ et considérons un ouvert $U$ de $(Y,\delta)$ et un point $x$ de $f^{-1}(U)$. L'ensemble $U$ est un ouvert qui contient $f(x)$, il existe par définition un réel strictement positif $\epsilon_0$ tel que $B(f(x),\epsilon_0)\subset U$. La fonction $f$ étant continue en $x$, il existe $\alpha>0$ tel que :

\[f(B(x,\alpha))\subset B(f(x),\epsilon_0).\]

Ainsi donc :

\[B(x,\alpha)\subset f^{-1}\left(f(B(x),\alpha)\right)\subset f^{-1}(B(f(x),\epsilon_0))\subset f^{-1}(U)\]

ce qui montre que $f^{-1}(U)$ est ouvert.

Réciproquement, supposons que l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert, et montrons que $f$ est continue. Soit $x_0$ un point de $X$, et $\epsilon>0$. La boule $B(f(x_0),\epsilon)$ est un ouvert de $(Y,\delta)$. Par hypothèse, $f^{-1}(B(f(x_0),\epsilon))$ est un ouvert de $(X,d)$ contenant $x_0$. Donc il existe $\alpha>0$ tel que $B(x_0,\alpha)$ soit inclus dans $f^{-1}(B(f(x_0),\epsilon))$ et on a :

\[f(B(x_0),\alpha))\subset f\left(f^{-1}(B(f(x_0),\epsilon))\right)\subset B(f(x_0),\epsilon).\]

ce qui conclut la démonstration.
\end{dem}
\newpage
\begin{theo}\cite{JYC}[P22]
Soient $(X,d)$ et $(Y,\delta)$ deux espaces métriques, désignons par $B(X,Y)$ (resp. $C(X,Y)$) l'espace des fonctions bornées (resp. bornées et continues) de $X$ dans $Y$ et définissons une distance $D$ sur $B(X,Y)$ par :

\[D(f,g)=\ds\sup_{x\in X}\delta(f(x),g(x)).\]

Si l'espace $(Y,\delta)$ est complet, alors les espaces $B(X,Y),D)$ et $(C(X,Y),D)$ le sont aussi. (voir \cite{JYC}[prop.2.1.6])
\end{theo}

\begin{dem}
Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de Cauchy de $(B(X,Y),D)$. Par définition, on a :

\begin{equation}\forall\epsilon,\exists n_0,\forall n\geqslant n_0,\forall p, \forall x\in X,\delta(f_n(x),f_{n+p}(x))<\epsilon.\label{01} \end{equation}

En particulier, pour tout $x$, la suite $(f_n(x))_{n\in \N}$ est une suite de Cauchy de $Y$. Comme cet espace est complet, cette suite est convergence. Donc, pour tout $x$ de $X$, il existe un élément de $Y$, noté $f(x)$, tel que l'on ait :

\[\ds\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\]

Vérifions que $f\in B(X,Y)$.  D'après l'inégalité \eqref{01} appliquée, par exemple, avec $\epsilon=1$, on a :

\[\forall p,\forall x\in X, \delta(f_{n_0}(x),f_{n_0+p}(x))<1\]

Par passage à la limite lorsque $p$ tend vers l'infini, on obtient :

\[\forall x\in X, \delta(f_{n_0}(x),f(x))\leq1\]

La fonction $f_{n_0}$ étant bornée, la fonction $f$ l'est également. En effet, on a :

\[\begin{array}{ccl}\delta(f(x),f(x'))&\leq&\delta(f(x),f_{n_0}(x))+\delta(f_{n_0}(x),f{n_0}(x'))+\delta(f_{n_0}(x'),f(x'))\\&\leq&2+\delta(f_{n_0}(x),f_{n_0}(x'))\end{array}\]

Il faut maintenant vérifier que la suite $(f_n)_{n\in\N}$ converge vers $f$ dans l'espace $(B(X,Y),D)$. Pour ce faire, passons à la limite lorsque $p$ tend vers l'infini dans l'inégalité ~\ref{01}, ce qui donne :

\[\forall\epsilon>0,\exists n_0\in\N,\forall n\geqslant n_0,\forall x\in X,\delta(f_n(x),f(x))\leq\epsilon\]

ce qui démontre que $(B(X,Y),D)$ est complet. Pour démontrer que $(C(X,Y),D)$ est complet, il suffit de démontrer qu'il est fermé grâce à la proposition suivante.
\end{dem}
\newpage
\begin{theo}{du point fixe de Picard}\cite{JYC}[P23]

Soit $f $, une application d'un espace métrique complet $(X,d)$ dans lui-même telle qu'il existe un réel $k$ de l'intervalle $]0,1[$ vérifiant :

\[\forall x,y\in X,d(f(x),f(y))\leq kd(x,y).\]

Il existe alors un unique point $z$ tel que $f(z)=z$.
\end{theo}

\begin{dem}
Etant donné un élément $x_0$ de $X$, on considère la suite $(x_n)_{n\in\N}$ définie par :

\[x_{n+1}=f(x_n).\]

On peut écrire que :

\[\begin{array}{ccl}d(x_{n+1},x_n)&=&d\left(f(x_n),f(x_{n-1})\right)\\&\leq&kd(x_n,x_{n-1}).\end{array}\]

Par itération multiplicative, on trouve que :

\[d(x_{n+1},x_n)\leq k^nd(x_1,x_0).\]

Ainsi, pour tout couple d'entiers $(n,p)$, on a :

\[\begin{array}{ccl}d(x_{n+p},x_n)&\leq&\ds\sum^p_{m=1}d(x_{n+m},x_{n+m-1})\\&\leq&d(x_1,x_0)\ds\sum^p_{m=1}k^{n+m-1}\\&\leq&\dfrac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0)\end{array}\]

Puisque $k<1$, la suite $(k^n)_{n\in\N}$ tend vers $0$, on en déduit que la suite $(x_n)_{n\in\N}$ est de Cauchy. Soit $z$ sa limite. Comme la fonction $f$ est lipschitzienne, donc continue, on obtient, en passant à la limite dans la relation de définition de la suite $(x_n)_{n\in\N}$ que $z=f(z)$.

Il nous reste à démontrer l'unicité. soient $z_1$ et $z_2$ deux solutions de $z=f(z)$. On a d'après l'hypothèse faite sur $f$ que :

\[d(z_1,z_2)\leq kd(z_1,z_2).\]

Le fait que $k$ soit strictement inférieur à $1$ assure que $d(z_1,z_2)=0$, donc $z_1=z_2$. Le théorème est ainsi démontré.
\end{dem}

\begin{prop}\cite{JYC}[P30]
Soit $(X_1, d_1)\cdots (X_N,d_N)$ une famille de $N$ espaces métriques compacts. Posons :

\[X=X_1\times\cdots X_N\text{ et }d_\infty\left((x_1,\cdots, x_N),(y_1,\cdots,y_N)\right)=\ds\max_{1\leq j\leq N}d_j(x_j,y_j).\]

Alors l'espace métrique $(X,d_\infty)$ est compact.
\end{prop}

\begin{dem}
Soit $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $X$. Par définition, il existe pour chaque $j$ une suite $(x^j_n)_{n\in\N}$ de $X_j$ telle que $x_n=(x_n^1, \cdots, x_n^N)$. Par définition, d'une partie compacte, il existe une fonction d'extraction $\phi_1$ et un point $a_1$ de $X_1$ tel que :

\[\lim x_{\phi_1(n)}^1=a_1.\]

De même, il existe une fonction d'extraction $\phi_2$ et un point $a_2$ de $X_2$ tel que :

\[\lim x_{\phi_1\circ\phi_2(n)}^2=a_2.\]

En itérant $N$ fois le processus, on construit une fonction d'extraction $\phi$ en posant :

\[\phi\stackrel{déf}{=}\phi_1\circ\cdots\circ\phi_N\]

telle que, pour tout $j\in\{1,\cdots, N\}$, on ait :

\[\ds\lim_{n\to+\infty}x_{\phi(n)}^j=a_j.\]

Par définition de la distance sur $X$, cela implique que la suite $x_{\phi(n)}$ converge vers $(a_1,\cdots, a_N)$.

D'où le résultat.
\end{dem}
\newpage
\begin{theo}{de Heine}\cite{JYC}[P34]
Soient $(X,d)$ et $(Y,\delta)$ deux espaces métriques et $f$ une application continue de $X$ dans $Y$. Alors, pour toute partie compacte $A$ de $X$, $f(A)$ est une partie de compacte de $Y$. De plus, si $X$ est compact, alors $f$ est une application uniformément continue de $X$ dans $Y$.
\end{theo}

\begin{dem}
Soit $(y_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $f(A)$. Par définition, il existe une suite $(a_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $A$ telle que $y_n=f(a_n)$. Comme $A$ est une partie compacte de $X$, il existe un point $a'$ de $A$ et une fonction d'extraction $\phi$ telle que :

\[\ds\lim_{n\to\infty}a_{\phi(n)}=a'\]

La fonction $f$ étant continue, on a :

\[\ds\lim_{n\to\infty}y_{\phi(n)}=f(a')\in f(A).\]

Ceci démontre le premier point du théorème.

Pour démontrer le second point, observons que, par définition d'une fonction continue, pour tout $\epsilon>0$, pour tout $x\in X$, il existe $\alpha_x$ tel que l'on ait :

\[d(x,x')<\alpha_x\Longrightarrow\delta\left(f(x),f(x')\right)<\dfrac{\epsilon}{2}.\]

L'ensemble des boules $B(x,\alpha_x/2)$ forme un recouvrement de $X$ par des ouverts. Par compacité (th. 3.2.1), on extrait un sous-recouvrement fini $(B(x_j,\alpha_{x_j}/2))_{1\leq j\leq N}$. On pose alors :

\[\alpha=\ds\inf_{1\leq j\leq N}\alpha_{x_j}.\]

Soit $(x,x')\in X^2$ tel que $d(x,x')<\alpha/2$. Comme la famille $(B(x_j,\alpha_{x_j}/2))_{1\leq j\leq N}$ recouvre $X$, il existe un indice $j\in\{1,\cdots,N\}$ tel que $x$ appartienne à la boule $B(x_j,\alpha_{x_j}/2)$, et l'inégalité triangulaire entraîne $B(x,\alpha/2)\subset B(x_j,\alpha_{x_j})$. Mais alors, le point $x'$ appartient à $B(x_j,\alpha_{x_j})$ et l'on a ainsi :

\[\begin{array}{ccl}\delta\left(f(x),f(x')\right)&\leq& \delta\left(f(x),f(x_j)\right)+\delta\left(f(x_j),f(x')\right)\\&<&\epsilon\end{array}\]

D'où le théorème.
\end{dem}
\newpage
\begin{theo}\cite{JYC}[P42]
Soient $(X,d)$ et $(Y,\delta)$ deux espaces métriques, $f$ une application continue de $X$ dans $Y$. Alors, si  $A$ est connexe, $f(A)$ est connexe.
\end{theo}

\begin{dem}
Nous allons à nouveau procéder par contraposition. Soit $A$ une partie de $X$ telle que $f(A)$ ne soit pas connexe. Il existe alors deux ouverts $V_1$ et $V_2$ de $X$ tels que :

\[f(A)\subset V_1\cup V_2, f(A)\cap V_1\cap V_2=\varnothing, f(A)\cap V_1\neq\varnothing\text{ et }f(A)\cap V_2\neq\varnothing.\]

Comme la fonction $f$ est continue, les deux ensembles $U_j\stackrel{déf}{=}f^{-1}(V_j)$ sont ouverts. De plus, on a :

\begin{equation}A\subset f^{-1}(f(A))\subset f^{-1}(V_1\cup V_2)\subset f^{-1}(V_1)\cup f^{-1}(V_2)=U_1\cup U_2.\label{41}\end{equation}

Si $x$ est un point de $A\cap U_1\cap U_2$ alors $f(x)$ appartient à $f(A)\cap V_1\cap V_2$ qui est l'ensemble vide. Donc $A\cap U_1\cap U_2=\varnothing$. Or cet ensemble est supposé être vide. Donc :

\begin{equation}A\cap U_1\cap U_2=\varnothing.\label{42}\end{equation}

De plus $f(A)\cup V_j$ est supposé non vide. Ceci implique l'existence d'un point $x_j$ de $A$ tel que $f(x_j)$ soit dans $V_j$ ce qui signifie exactement que $A\cap f^{-1}(V_j)$ est non vide. Avec \eqref{41} et \eqref{42} ceci signifie que $A$ n'est pas connexe.
\end{dem}
\newpage
\begin{theo}\cite{JYC}[P47]
Soit $E$ un espace de Banach et $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $E$. Alors, si la série $(\Vert x_n\Vert_E)_{n\in\N}$ est convergente, alors la suite :

\[S_N=\ds\sum^N_{n=0}x_n \text{ est convergente.}\]
\end{theo}

\begin{dem}
On a :

\[\begin{array}{ccl}\Vert S_{N+P}-S_N\Vert&=&\Vert\ds\sum^{N+P}_{n=N+1}x_n\Vert\\&\leq&\ds\sum^{N+P}_{n=N+1}\Vert x_n\Vert\end{array}\]

L'hypothèse de sommabilité implique que, pour tout $\epsilon$ strictement positif, il existe un entier $N_0$ tel que :

\[\forall N\geqslant N_0, \forall P, \ds\sum^{N+P}_{n=N+1}\Vert x_n\Vert<\epsilon.\]

La suite $(S_N)_{N\in\N}$ est donc de Cauchy, ce qui, vu que l'espace $E$ est de Banach, assure la proposition.
\end{dem}
\newpage
\begin{theo}\cite{JYC}[P48]
Si $E$ est un espace normé tel que pour toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ on ait :

\[\ds\sum_{n\in\N}\Vert x_n\Vert_E<\infty \Longrightarrow S_N\stackrel{déf}{=}\ds\sum^N_{n=0}x_n\text{ converge},\]

alors l'espace $E$ est de Banach.
\end{theo}

\begin{dem}
Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite de Cauchy de $E$, nous allons extraire de $(a_n)_{n\in\N}$ une suite convergente, ce qui d'après la proposition 2.1.2 assurera le résultat.

On définit l'application $\phi$ de \N dans \N par $\phi(0)=0$ et

\[\phi(n+1)\stackrel{déf}{=}\min\left\lbrace m\geqslant\phi(n)+1, \ds\sup_{p\geqslant0}\Vert a_m -a_{m+p}\Vert\leq\dfrac{1}{(2+n)^2}\right\rbrace.\]

Ainsi donc, on a, pour tout entier $n$,

\[\Vert a_{\phi(n+1)}-a_{\phi(n)}\Vert\leq\dfrac{1}{(1+n)^2}.\]

Posons $x_n\stackrel{déf}{=}a_{\phi(n+1)}-a_{\phi(n)}$. On a :

\[\ds\sum_{n\in\N}\Vert x_n\Vert\leq\ds\sum_{n\in\N}\dfrac{1}{(1+n)^2}<\infty.\]

Donc par hypothèse, la suite :

\[S_N=\ds\sum^N_{n=0}x_n=a_{\phi(N)}-a_0\]

converge, d'où le théorème.
\end{dem}
\newpage
\begin{theo}\cite{JYC}[P52]
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $l$ une application linéaire de $E$ dans $F$. L'application $l$ est lipschitzienne si et seulement si il existe un ouvert $U$ de $E$ tel que $l$ soit bornée sur $U$, c'est à dire tel que :

\[\ds\sup_{x\in U}\Vert l(x)\Vert_F<\infty.\]

\end{theo}

\begin{dem}
Il est clair qu'il existe un ouvert sur lequel une application lipschitzienne est bornée (par exemple n'importe quelle boule). Réciproquement, considérons un ouvert $U$ sur lequel l'application linéaire $l$ est bornée. Soit $x_0$ appartenant à $U$. L'ensemble $U-x_0$ est un ouvert contenant l'origine. Par définition d'un ouvert, il existe une boule ouverte de centre $0$ et de rayon $\alpha$ incluse dans $U-x_0$. On peut alors écrire :

\begin{align*}
M\stackrel{déf}{=}\ds\sup_{x\in B(0,\alpha)}\Vert l(x)\Vert&\leq\ds\sup_{x\in U-x_0}\Vert l(x)\Vert\\
&\leq\ds\sup_{y\in U}\Vert l(y-x_0)\Vert\\
&\leq \ds\sup_{y\in U}\Vert l(y)\Vert +\Vert l(x_0)\Vert.
\end{align*}
Donc l'application $l$ est bornée sur une boule de centre $0$ et de rayon $\alpha$. Pour tout $y$ de $E\setminus\{0\}$, on a :

\[\dfrac{\alpha}{2\Vert y\Vert_E}y\in B(0,\alpha).\]

On en déduit que :

\[\left\| l\left(\dfrac{\alpha}{2\Vert y\Vert_E}y\right)\right\|\leq M.\]

Par linéarité de $l$ et homogénéité de la norme, on trouve que :

\[\forall y\in E, \Vert l(y)\Vert_F\leq\dfrac{2M}{\alpha}\Vert y\Vert_E.\]

Cette inégalité étant vraie pour $y=x-x_0$, la démonstration du théorème est achevée.
\end{dem}
\newpage
\begin{theo}\cite{JYC}[P55]
Soit $E$ un espace de Banach ; l'ensemble des éléments de $\mathcal{L}(E)$ qui sont à distance strictement inférieure à $1$ de $Id$ sont inversibles dans $\mathcal{L}(E)$. Dit autrement,

\[\forall l\in B_{\mathcal{L}(E)}(Id,1), \exists! l^{-1}\in\mathcal{L}(E),l\circ l^{-1}=l^{-1}\circ l=\Id.\]
\end{theo}

\begin{dem}
Posons :

\[ S_N=\ds\sum^N_{n=0}(-1)^n(l-Id)^n.\]

D'après la proposition 5.1.6 page 47, la suite $(S_N)_{N\in\N}$ converge vers un élément $l^{-1}$ de $\mathcal{L}(E)$ dès que $\Vert l-Id\Vert_{\mathcal{L}(E)}<1$. Par ailleurs, on a :

\begin{align*}
S_Nl&=S_N(Id+l-Id)\\
&=Id-(-1)^{N+1}(l-Id)^{N+1}\\
&=lS_N.
\end{align*}

En passant à la limite dans l'égalité ci-dessus, on conclut la démonstration du théorème.
\end{dem}
\cite{Mtx}[OG : Endomorphisme linéaire continu] On peut aussi exprimer ce résultat sous la forme, si $u$ de norme strictement plus petit que 1 alors $Id-u$ est inversible d'inverse $\sum_{n=0}^{+\infty} u^n$.
C'est presque un pur résultat algébrique (avec un zeste de topo) lié à l'identité $(1-u)*(1+u+u^2+\cdots +u^n)=1-u^n$. Ici on est dans un Banach, $\|u\|<1$
donc on passe à la limite et hop.\cite{Mtx}[OG : Endomorphisme linéaire continu]
\newpage
\begin{theo}\cite{JYC}[P65]
Soient $f$ une application d'un ouvert $\Omega$ d'un espace normé $E$ dans un ouvert $\Omega'$ d'un espace normé $F$ et $g$ une application de $\Omega'$ dans un espace normé $G$ et $a$ un point de $\Omega$. Si $f$ est différentiable au point $a$ et su $g$ est différentiable au point $f(a)$, alors l'application $g\circ f$ est différentiable au point $a$ et l'on a :

\[D(g\circ f)(a)=Dg(f(a))\circ Df(a).\]

\end{theo}
\begin{rem}
Avant de démontrer ce théorème, faisons quelques commentaires à son propos. La notion de fonction différentiable en un point peut être comprise de la manière suivante : une fonction différentiable en un point est une fonction qui est bien approximée prés de ce point par une unique application linéaire. Ainsi donc, le théorème ci-dessus affirme que, si deux fonctions possèdent cette propriété, leur composée aussi et l'approximation de la composée est la composée des approximations.
\end{rem}

\begin{dem}
Posons :

\[\Delta_a(\vv{h})\stackrel{déf}{=}g(f(a+\vv{h}))-g(f(a))-Dg(f(a))\cdot(Df(a)\cdot\vv{h})\]

Ecrivons alors que : $\Delta_a(\vv{h})=\Delta_a^{(1)}(\vv{h})+\Delta_a^{(2)}(\vv{h})$ avec :

\begin{align*}
\Delta_a^{(1)}(\vv{h})&\stackrel{déf}{=}g(f(a+\vv{h}))-g(f(a))-Dg(f(a))(f(a+\vv{h})-f(a))\text{ et }\\
\Delta_a^{(2)}(\vv{h})&\stackrel{déf}{=}Dg(f(a))(f(a+\vv{h})-f(a)-Df(a)\cdot\vv{h}).
\end{align*}

Soit $\epsilon$ un réel positif quelconque. il existe un réel $\alpha_0$ strictement positif tel que :

\[\Vert\vv{h}\Vert_E<\alpha_0\Longrightarrow\Vert f(a+\vv{h})-f(a)-Df(a)\cdot\vv{h}\Vert_F<\dfrac{\epsilon\Vert\vv{h}\Vert_E}{2\Vert Dg(f(a))\Vert_{\mathcal{L}(E)}}\]

Par définition de $\Delta_a^{(2)}$, on a :

\begin{equation}\Vert{\vv{h}}\Vert_E<\alpha_0\Longrightarrow\Vert\Delta_a^{(2)}(\vv{h})\Vert_G<\dfrac{\epsilon}{2}\Vert\vv{h}\Vert_E.\label{63} \end{equation}

La fonction $g$ étant différentiable en $f(a)$. Il existe un réel strictement positif $\beta$ tel que :

\[\Vert\vv{k}\Vert_F<\beta\Longrightarrow\Vert g(f(a)+\vv{k})-g(f(a))-Dg(f(a))\cdot\vv{k}\Vert_G<\dfrac{\epsilon\Vert \vv{k}\Vert_F}{2\Vert D(f(a)\Vert_{\mathcal{L}(E)}+2}.\]

La fonction $f$ étant différentiable, il existe un réel strictement positif $\alpha_1$ tel que :

\[\Vert\vv{h}\Vert_E<\alpha_1\Longrightarrow\Vert f(a+\vv{h})-f(a)\Vert_F<(\Vert Df(a)\Vert_{\mathcal{L}(E)}+1)\Vert\vv{h}\Vert_E.\]

On en déduit alors de \eqref{63} que :

\[\Vert\vv{h}\Vert_E<\min\lbrace\alpha_0,\alpha_1,\dfrac{\beta}{\Vert Df(a)\Vert_{\mathcal{L}(E)}+1}\rbrace\Longrightarrow \Vert\Delta_a(\vv{h})\Vert_G<\epsilon\Vert\vv{h}\Vert_E.\]

D'où le théorème.
\end{dem}

\begin{theo}\cite{JYC}[P80]
Soient $f$ une fonction différentiable sur un ouvert $\Omega$ d'un espace vectoriel normé $E$ à valeurs dans \R et $a$ un point de $\Omega$. Supposons que le point $a$ soit un minimum (resp. un maximum) local de la fonction $f$, alors on a :

\[Df(a)=0\text{  et  }\forall\vv{h}\in E, D^2f(a)(\vv{h},\vv{h})\geqslant0 \text{ (resp.}\leq0).\]
\end{theo}

\begin{dem}
Soit $\vv{h}$ un vecteur de $E$. On utilise la fonction $F_a$ définie par 7.10. Pour tout $t$ de l'intervalle $]-\alpha,\alpha[$, on a $F'_a(t)=Df(a+t\vv{h})\cdot\vv{h}$. Comme la fonction $f$ est deux fois dérivable, la fonction $F'_a$ est différentiable sur l'intervalle $]-\alpha,\alpha[$ et l'on a :

\[F_a"(t)=D^2f(a+t\vv{h})(\vv{h},\vv{h}).\]

Si $a$ est un minimum local de la fonction $f$, $0$ est un minimum local de la fonction $F_a$. On sait que pour une fonction réelle $F_a$ d'une variable réelle deux fois dérivable qui a un minimum local en $0$ vérifie $F'_a(0)=0$ et $F_a"(0)\geqslant0$, ce qui assure le résultat.
\end{dem}

\newpage

\begin{theo}\cite{JYC}[P90]
Soient $\Omega$ un ouvert de $\R^N$, $p$ un entier compris entre $1$ et $N-1$ et $f$ une fonction de classe $C^k$ de $\Omega$ dans $\R^{N-p}$. On se donne des espaces vectoriels supplémentaires $E$ et $F$ dans $\R^N$ tels que la dimension de $E$ soit égale à $p$. On considère un point $(a,b)$ de $E\times F$ tels que $X_0=(a,b)\in\Omega$ et $f(X_0)=0$ et on suppose que $Df(X_0)_{|F}$ est une application linéaire bijective de $F$ sur $\R^{N-p}$.

Il existe alors un ouvert $U$ de $E$ contenant $a$ et un ouvert $\omega$ de $\Omega$ contenant $X_0$ et une fonction $g$ de classe $C^k$ sur $U$ tels que :

\[\{(x,y)\in\omega/f(x,y)=0\}=\{(x,g(x)),x\in U\}.\]

\end{theo}

\begin{dem}
Elle consiste à se ramener à appliquer le théorème d'inversion locale. Considérons pour cela l'application $f_1$ définie de la manière suivante :

\[f_1\left \{ \begin{array}{cccc}\Omega &\to &E\times \R^{N-p}\\ (x,y)&\mapsto&(x,f(x,y)). \\ \end{array} \right.\]

Il est clair que l'application $f_1$ est de classe $C^k$. Calculons sa différentielle au point $(a,b)$.

On a :

\[Df_1(a,b)\left\{ \begin{array}{ccl}E\times F&\to& E\times \R^{N-p}\\ (\vv{h},\vv{k})&\mapsto& (\vv{h},Df(a,b)_{|E}\cdot \vv{h}+Df(a,b)_{|F}\cdot \vv{k}). \\ \end{array} \right.\]

Cette application est inversible. En effet, supposons que $Df_1(a,b)(\vv{h},\vv{k})=0$ ; cela implique que :

\[\vv{h}=0\text{ et }Df(a,b)_{|E}\cdot \vv{h}+Df(a,b)_{|F}\cdot\vv{k})=0.\]

Il en résulte que $\vv{h}=0$ et donc que $Df(a,b)_{|F}\cdot\vv{k}=0$. Mais comme $Df(a,b)_{|F}$ est inversible, on a $\vv{k}=0$. Donc l'application $Df_1(a,b)$ est inversible. D'après le théorème d'inversion locale, il existe deux ouverts $\Omega_1$ et $\Omega_2$ tels que $f_1$ soit un difféomorphisme de $\Omega_1$ sur $\Omega_2$ dont on désigne par $g_1$ l'inverse. Posons alors :

\[g(x)=g_1(x,0).\]

Soit $U$ l'ensemble des $x$ de $E$ tels qu'il existe $z$ de $\R^{N-p}$ tel que $(x,z)\in\Omega_2$. Par définition de $g_1$, on a :

\[\{(x,y)\in\Omega_1/f(x,y)=0\}=\{g_1(x,0),(x,0)\in\Omega_2\}=\{(x,g(x)),x\in U\}.\]
\end{dem}
\newpage
\begin{theo}\cite{JYC}[P99]
Soient$g$ une fonction de classe $C^1$ sur un ouvert $\Omega$ de $R^N$ et $S$ une hypersurface de classe $C^1$ de $\Omega$. Considérons un point $x_0$ de $S$; si $x_0$ est un minimum (ou un maximum local), alors :

\[Dg(x_0)_{|Tx_0S}=0.\]
\end{theo}

\begin{dem}
Pour démontrer cette propriété, supposons que le point $x_0$ est un minimum local de la fonction $g$ restreinte à $S$ et considérons un vecteur $\vv{v}$ tangent à $S$ au point $x_0$. par définition, il existe alors une courbe $\gamma$ tracée sur $S$, passant par $x_0$ et telle que :

\[\dfrac{d\gamma}{ds}(0)=\vv{v}.\]

Le point $x_0$ est un minimum local de la fonction $g$ restreinte à $S$, donc, en particulier, le point $0$ est un minimum local de :

\[t\mapsto g\circ\gamma.\]

Ainsi donc, on a :

\[\dfrac{d(g\circ \gamma}{ds}(0)=0.\]

Mais le théorème de composition dit que :

\[\dfrac{d(g\circ\gamma}{ds}(0)=Dg(x_0)\cdot\vv{v}.\]

D'où le théorème.
\end{dem}

\vfill %ressort vertical

\newpage

\part{Important}
\subsection*{Inégalité de Cauchy-Schwartz}\cite{JYC}[P6]

\[\boxed{\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j\leqslant\left(\ds\sum^N_{j=1}a_j^2\right)^{1/2}\left(\ds\sum^N_{j=1}b_j^2\right)^{1/2}}\]

\textit{démonstration}

\[\ds\sum^N_{j=1}(a_j+\lambda_j)^2\geqslant0\]
\[\ds\sum^N_{j=1}a_j^2+2\lambda\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j+\lambda^2\ds\sum^N_{j=1}b_j^2\geqslant0\]
\[\Delta=4\left(\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j\right)^2-4\ds\sum^N_{j=1}a_j^2\ds\sum^N_{j=1}b_j^2\leqslant0\]
\section{Espaces métriques}
\subsection{Définitions des espaces métriques}
\begin{defi}\cite{JYC}[P5]
Soit $X$ un ensemble, on appelle \textbf{distance sur $X$} toute application $d$ de $X\times X$ dans $\R^+$ telle que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y$,
\item $d(x,y)=d(y,x)$,
\item $d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(z,y)$
\end{enumerate}
pour tout élément $x,y,z$ de $X$. Le couple $(X,d)$ est appelé un espace métrique.
\end{defi}
\begin{defi}\cite{JYC}[P6]
Soient $(X,d)$ un espace métrique, $x$ un point de $X$ et $\alpha$ un réel strictement positif. On appelle \textbf{boule ouverte} de centre $x$ et de rayon $\alpha$, et l'on note $B(x,\alpha)$ l'ensemble des points $y$ de $X$ tels que $d(x,y)<\alpha$.
\end{defi}
\begin{defi}\cite{JYC}[P7]
Soit $A$ une partie d'un espace métrique $(X,d)$. On dit que $A$ \textbf{est un ouvert} ssi pour tout point $x$ de $A$, il existe un réel strictement positif $\alpha$ tel que la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $\alpha$ soit incluse dans $A$.
\end{defi}

\subsection{Convergence et continuité}
\begin{defi}\cite{JYCb}[P7](convergence des suites)
Soient $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments d'un espace métrique $(X,d)$ et $l$ un point de $X$. On dit que la suite $(x_n)_{n\in\N}$ converge vers $l$ ssi :
\[\forall\varepsilon>0,\exists n_0/\forall n\geqslant n_0,x_n\in B(l,\varepsilon)\]
\[\Big(\forall\varepsilon>0,\exists n_0/\forall n\geqslant n_0, d(x_n,l)<\varepsilon\Big)\]
\end{defi}
\begin{defi}\cite{JYCb}[P7](continuité des fonctions)
Soient $(X,d)$ et $(Y,\delta)$ deux espaces métriques. On considère une fonction $f$ de $X$ dans $Y$ et un point $x_0$ de $X$. La fonction $f$ est continue en $x_0$ ssi :
\[\forall\varepsilon>0,\exists \alpha>0/f(B(x_0,\alpha))\subset B(f(x_0),\varepsilon)\]
\[\Big(\forall\varepsilon>0,\exists \alpha>0/ \forall x\in X,d(x,x_0)<\alpha\Longrightarrow\delta\big(f(x),f(x_0)\big)<\varepsilon\Big)\]
\end{defi}
\subsubsection{Continuité simple}\cite{JYCb}[P19]
Soient $(X,d)$ et $(Y,\delta)$ deux espaces métriques. On considère une fonction $f$ de $X$ dans $Y$ et un point $x_0$ de $X$. La fonction $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si :
\[\forall \varepsilon > 0, \forall x \in X, \exists \alpha > 0, f(\stackrel{\circ}{B}(x_0,\alpha))\subset B(f(x_0),\varepsilon).\]

On dit que la fonction $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si :
\[\forall \varepsilon > 0, \forall x \in X, \exists \alpha > 0, d(x,x_0)<\alpha\Rightarrow\delta(f(x),f(x_0)<\varepsilon).\]

\enc{$f$ est continue ssi $\ds\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ \cite{Wiki2}}
\subsubsection{Continuité uniforme}
Une application $f:(X,d)\to(Y,\delta)$ est uniformément continue si :

\[\forall\varepsilon>0, \exists\alpha>0, \forall x,x'\in X, \left(d(x,x')<\alpha\Rightarrow\delta(f(x),f(x')<\varepsilon\right)\]
\subsection{Les notions d'ouverts et de fermés}
\begin{defi}\cite{JYCb}[P7]
Soit $A$ une partie d'un espace métrique $(X,d)$. On dit que $A$ est un \textbf{ouvert} ssi pour tout $x$ de $A$, il existe un réel strictement positif $\alpha$ tel que la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $\alpha$ soit incluse dans $A$. Par convention, l'ensemble vide est ouvert.

\[\Big(\forall x\in A, \exists\alpha / B_o(x,\alpha)\subset A\Big)\]
\end{defi}
\begin{prop}\cite{JYCb}[P7]
Soit $((X,d)$ un espace métrique. Toute boule ouverte est un ouvert.
\end{prop}

\begin{defi}\cite{JYCb}[P8]
Soit $A$, une partie d'un espace métriqur $(X,d)$. On dit que $A$ est un \textbf{fermé} si son complémentaire est ouvert, autrement dit si, pour tout $x$ dans $X$,
\[\big(\forall\alpha>0,B(x,\alpha)\cap A\neq\varnothing\big)\Longrightarrow x\in A\big)\]
Par convention, l'ensemble vide est fermé.
\end{defi}

\begin{prop}[critère séquentiel]\cite{JYCb}[P8]

Soit $A$ une partie d'un espace métrique $(X,d)$. Un point $x$ de $X$ appartient à $\overline{A}$ ssi il existe une suite $(a_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $A$ telle que $\ds\lim_{n\to\infty}a_n=x$.

La partie $A$ est fermée ssi pour toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $A$, supposée convergente, la limite de la suite $(x_n)_{n\in\N}$ appartient à $A$.
\end{prop}

\subsection{Produit d'espace métrique}
\begin{defi}\cite{JYCb}[P14]
Une distance $d$ est équivalente à une distance $\delta$ définie sur le même ensemble $X$ s'il existe une constante $k\leqslant 1$ telle que les inégalités :
\[d(x,y)\leqslant k\delta(x,y), \quad\delta(x,y)\leqslant kd(x,y)\]
sont vérifiées pour tout $x,y$ dans $X$. On dira que les distances induisent la même topologie si l'ensemble des parties ouvertes définie à l'aide de $d$ est le même que l'ensemble des parties ouvertes définies à l'aide de $\delta$.
\[\Big(\dfrac{1}{k}d(x,y)\leqslant \delta(x,y)\leqslant kd(x,y)\Big)\]
\end{defi}
\begin{defi}\cite{JYCb}[P15]
Soient $(X,d)$ et $(Y,\delta)$, deux applications métriques, $f$ une fonction de $X$ dans $Y$ et $k$ un réel strictement positif. On dit que $f$ est lipschitzienne de rapport $k$ ssi :
\[\forall(x,x')\in X^2, \delta\big(f(x),f(x')\big)\leqslant kd(x,x')\]
\textit{remarque : une fonction lipschitzienne est continue.}
\end{defi}
\begin{prop}\cite{JYCb}[P15]
Soient $(X,d)$, un espace métrique, $x_0$ un point de $X$ et $A$ une partie de $X$. La fonction $x\mapsto d(x,x_0)$ est lipschitzienne. Définissons :
\[d(x,A)\overset{inf}{=}\ds\inf_{a\in A}d(x,a)\]
L'application $x\mapsto d(x,A)$ est $1$-lipschitzienne.
\end{prop}

\subsection{Notions d'espace topologique}
\enc{\begin{defi}\cite{JYC}[P17]
Soit $X$ un ensemble. On munit $X$ d'une structure d'espace topologique en se donnant un sous-ensemble $\Theta$ de $\mathcal{P}(X)$ l'ensemble de $X$ qui vérifie :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble $X$ et l'ensemble vide appartiennent à $\Theta$.
\item Toute réunion d'éléments de $\Theta$ appartient à $\Theta$.
\item Toute \textbf{intersection finie} d'éléments de $\Theta$ appartient à $\Theta$.
\end{enumerate}
L'ensemble des ouverts munissent l'espace métrique $X$ d'une \textbf{structure d'espace topologique.}
\end{defi}
}
\begin{defi}\cite{JYC}[P17]
Soient $(X,d)$ un espace métrique et $x$ un point de $X$, on appelle voisinage de $x$ tout ensemble qui contient un ouvert contenant $x$. Remarquons aussi que, comme toute intersection finie d'ouverts est un ouvert, toute intersection finie de voisinages de $x$ est un voisinage de $x$.
\end{defi}
\begin{defi}\cite{JYC}[P18]
Soient $(X,\Theta)$ un espace topologique. Soient $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $X$ et $l$ un point de $X$. On dit que la suite $(x_n)_{n\in\N}$ converge vers $l$ ssi pour tout voisinage $V$ de $l$, il existe un entier $n_0$, tel que :
\[\forall n\geqslant n_0,x_n\in V\]
\end{defi}

\section{Espaces complets}
\subsection{définition et exemples}
\begin{defi}\cite{JYC}[P21]
Soit $(X,d)$ un espace métrique, on appelle suite de Cauchy de $X$ toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $X$ telle que :
\[\forall\varepsilon>0,\exists n_0\in\N/\forall m\geqslant n_0,d(x_n,x_m)<\varepsilon\]
Comme l'indique la proposition suivante, la notion de suite de Cauchy est plus générale que celle de suite convergente.
\end{defi}
\begin{prop}\cite{JYC}[P21]
Dans un espace métrique $(X,d)$, toute suite convergente est de Cauchy et toute suite de Cauchy ayant une valeur d'adhérence $l$ converge vers $l$.
\end{prop}
\enc{\begin{defi}\cite{JYC}[P21]
Soit $(X,d)$ un espace métrique, on dit que cet espace est \textbf{complet} ssi toute suite de Cauchy est convergente.
\end{defi}}
\begin{prop}\cite{JYC}[P23]
Soient $(X,d)$ un espace complet et $A$ une partie de $X$. alors l'espace métrique $(A,d_{A\times A})$ est complet ssi $A$ est une partie fermée de $X$.
\end{prop}
\subsection{Propriété de Baire}
Les espaces complets possèdent la propriété suivante : si toute suite $(F_n)_{n\in\N}$ de fermés de $E$ est d'intérieurs vide, la réunion $\ds\bigcup_{n\in\N}F_n$ est encore d'intérieur vide.

\subsection{prop.2.1.6}
Soient $(X,d)$ un espace complet et $A$ une partie de $X$. Alors l'espace métrique $(A,d_{X\times X})$ est complet si et seulement si $A$ est une partie fermée de $X$.

\section{Compact} On considère l'espace métrique $(E,d)$.
\subsection{Définition et propriétés de base}

\enc{\begin{defi}\cite{JYC}[P29]
Soit $(X,d)$ un espace métrique. On dit que $(X,d)$ est un espace compact ssi toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $X$ possède une valeur d'adhérence.
\end{defi}}

\begin{lem}\cite{JYC}[P29]
Soit $(X,d)$ un espace métrique compact. alors, pour tout réel strictement positif $\alpha$, on peut recouvrir $X$ par un nombre fini de boule de rayon $\alpha$.
\end{lem}

\begin{prop}\cite{JYC}[P29]
Soit $(X,d)$ un espace métrique compact, il est complet.
\end{prop}

\subsection{Caractérisation des espaces compacts en termes d'ouverts et de fermés}

\begin{theo}\cite{JYCb}[P31]
Soit $(X,d)$ un espace métrique, les trois propriétés suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item Pour toute famille $(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ d'ouverts de $X$ recouvrant $X$, i.e. telle que :
\[X=\ds\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda,\]
on peut extraire un sous-recouvrement fini, i.e. qu'il existe une famille finie $(\lambda_j)_{1\leqslant j\leqslant N}$ telle que :
\[X=\ds\bigcup^N_{j=1}U_{\lambda_j}\]
\item Pour toute famille de fermés $(F_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$, on a :
\[\forall N, \forall(\lambda_1, \cdots, \lambda_N)\in\Lambda^N/\ds\bigcap^N_{j=1}F_{\lambda_j}\neq\varnothing\Longrightarrow \ds\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda\neq\varnothing..\]
\end{enumerate}
\item Toute suite d'éléments de $X$ admet une valeur d'adhérence.
\end{theo}

\begin{theo}[ de Lebesgue]\cite{JYCb}[P32]
Soit $(X,d)$ un espace métrique compact. Pour toute famille $(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ d'ouverts recouvrant $X$, il existe un nombre réel $\alpha$ strictement positif tel que :
\[\forall x\in X,\exists\lambda\in \Lambda/B(x,\alpha)\subset U_\lambda.\]
\textit{L'énoncé signifie simplement que toute boule de rayon assez petit est entièrement contenue dans un des ouverts de la famille recouvrante, indépendamment du centre de la boule. \cite{Mtx1}}
\end{theo}

\begin{coro}\cite{JYC}[P35]
Soit $f$ une fonction continue de $(X,d)$ dans $(\R,|x-y|)$. Si $(X,d)$ est compact, alors la fonction $f$ admet un minimum et un maximum, i.e. qu'il existe $x_m$ et $x_M$ dans $X$ tels que :
\[\forall x\in X,f(x_m)\leqslant f(x)\leqslant f(x_M).\]
\end{coro}

\subsection{Autres sources}
\enc{\begin{defi}\cite{OL}[3.1]
Soit $A\subset E$. On dit que $A$ est un compact, ou partie compacte, de $E$ si $A=\varnothing$ ou si toute suite de $A$ contient une sous-suite qui converge dans $A$ ; autrement dit, si toute suite de $A$ admet au moins une valeur d'adhérence dans $A$ (c'est à dire une sous-suite convergente).
\end{defi}}

\begin{theo}\cite{OL}[3.2]
Tout segment $[a,b]$ est un compact de \R.
\end{theo}

\begin{prop}\cite{OL}[3.3]
soit $A\subset E, A\neq\varnothing$. Pour que $A$ soit compact, il faut et il suffit qu'il vérifie l'une des conditions suivantes :
\begin{enumerate}
\item Toute partie infinie de $A$ possède au moins un point d'accumulation dans $A$.
\item Toute partie de $A$ qui a tous ses points isolés est une partie finie ($\Longleftrightarrow$ Bolzano-Weirestrass)
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{prop}\cite{OL}[3.4]
Tout compact est fermé.
\end{prop}

\begin{prop}\cite{OL}[3.7]
Tout compact est borné.
\end{prop}

\begin{theo}\cite{OL}[3.8]
Tout espace métrique compact est complet.
\end{theo}

\begin{theo}\cite{OL}[3.9]
Soit \textit{$E$ un espace métrique compact} et $A\subset E,A\neq\varnothing$. On a les équivalences :
\[A \text{ fermé }\Longleftrightarrow A\text{ compact }\Longleftrightarrow A\text{ complet}.\]
\end{theo}

\begin{coro}\cite{OL}[3.10]
Dans un espace métrique quelconque, on a :
\begin{enumerate}
\item Toute intersection de compacts est compacte.
\item L'intersection d'un fermé et d'un compact est compacte.
\end{enumerate}
\end{coro}

\begin{prop}\cite{OL}[3.11]
Toute \textit{réunion finie} de compacts est compacte.
\end{prop}

\begin{prop}\cite{OL}[2.17]
\[\begin{array}{rcl}f \text{ est continue }&\Longleftrightarrow&\text{ l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert}\\
&\Longleftrightarrow&\text{ l'image réciproque de tout fermé est un fermé}
\end{array}\]
\end{prop}

\begin{defi}
\textbf{L'adhérence} ou fermeture d'une partie d'un espace topologique est \textit{le plus petit fermé contenant celle-ci}. Un point est dit adhérent à une partie s'il appartient à son adhérence.

\textit{Une valeur d'adhérence d'une suite} de points d'un espace topologique est un point dont tout voisinage contient une infinité de termes de la suite.

Si tout point admet une base dénombrable de voisinages, une valeur d'adhérence est la limite d'une sous-suite.
\end{defi}

\begin{defi}\cite{OL}[1.52]
On dit qu'une partie $A$ d'un espace métrique $E$ est \textbf{dense} dans $E$ (ou plus simplement dense) lorsque :
\[\bar{A}=E\]
\end{defi}

\begin{prop}\cite{OL}[1.52]
Soit $A\subset E$. La partie $A$ est dense dans $E$ ssi tout point de $E$ est limite d'une suite de points de $A$.
\end{prop}

\begin{theo}\cite{Wiki3}
En topologie de $\R^n$, le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble A de vecteurs :

\begin{enumerate}
\item $A$ est fermé et borné ($A$ est borné s'il existe une constante positive majorant la norme de tous les éléments de $A$) ;
\item $A$ est compact, c'est-à-dire qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de $A$ par des ouverts de $\R^n$ on peut extraire un sous-recouvrement fini.
\end{enumerate}
L'essentiel du théorème est : tout fermé borné de $\R^n$ est compact car la réciproque est immédiate.
\end{theo}

\section{Espaces connexes}

\subsection{Notion de connexité par arcs}
\begin{defi}\cite{JYCb}[P39]
Soit $A$ une partie d'un espace métrique $(X,d)$. On dit que $A$ est connexe par arcs ssi pour tout couple $(x_0,x_1)$ de points de $X$, il existe une application continue $\gamma$ de $[0,1]$ dans $A$ telle que $\gamma(j)=x_j$. Si la partie $X$ est connexe par arcs, on dit alors que l'espace métrique $(X,d)$ est connexe parc arcs.
\end{defi}

\begin{prop}\cite{JYC}[P39]
Les parties connexes par arcs de $(\R,|\cdot|)$ sont les intervalles.
\end{prop}

\subsection{Notion de connexité}
\begin{defi}\cite{JYC}[P42]
Soit $(X,d)$ un espace métrique. On dit qu'une partie $A$ de $X$ est connexe ssi, pour tout couple d'ouverts $U_0$ et $U_1$ de $X$, tels que $A\subset U_0\cup U_1$, on a :
\[(A\cap U_0\neq\varnothing\text{ et }A\cap U_1\neq\varnothing)\Longrightarrow A\cap U_0\cap U_1\neq\varnothing.\]
Lorsque la propriété est vérifiée pour $A=X$, on dit que l'espace $X$ est connexe.
\end{defi}

\begin{defi}\cite{OL}[P77]
Un espace métrique $E$ est connexe s'il n'existe pas de partition de $E$ en deux ouverts (ou deux fermés).

soit $A\subset E$. Si le sous-espace métrique $A$ est connexe, on dit que c'est un connexe (ou partie connexe) de $E$.
\end{defi}

\begin{prop}\cite{OL}[P83]
Si $E$ est connexe par arcs, alors $E$ est connexe.
\end{prop}

\begin{theo}\cite{JYC}[P42]
Les parties connexes de $(\R,|\cdot|)$ sont les intervalles.
\end{theo}

\begin{prop}\cite{JYC}[P43]
Soit $A$ une partie connexe d'un espace métrique $(X,d)$. alors si $A$ est connexe, alors $\bar{A}$ est connexe.
\end{prop}

\begin{prop}\cite{JYC}[P43]
Soit $A$ une partie d'un espace métrique $(X,d)$. Cette partie est connexe ssi pour toute partie $B$ de $A$,
\[\big(B\text{ ouverte et fermée de }A\big)\Longrightarrow \big(B=A\text{ ou }B=\varnothing\big)\]
\end{prop}

\begin{theo}\cite{JYC}[P44]
Soit $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ une famille de parties connexes d'un espace métrique $(X,d)$. On a :
\[\ds\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\neq\varnothing\Longrightarrow\ds\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda \text{ est connexe.}\]
\end{theo}

\begin{defi}\cite{JYC}[P44]
Soit $x$ un point d'un espace métrique $(X,d)$. On appelle \textbf{composante connexe} de $x$ (et l'on note $\Pi_x$) la réunion de toutes les parties connexes de $X$ contenant $x$.
\end{defi}

\section{Espaces normés et espaces de Banach}
\subsection{Définition des espaces normés et de Banach}
\begin{defi}\cite{JYC}[P45]
Soit $E $ un espace vectoriel sur \K. On dit qu'une application $N$ de $E$ dans $\R^+$ est une norme sur $E$ ssi les trois conditions suivantes sont satisfaites :
\begin{enumerate}
\item $N(x)=0\Longleftrightarrow x=0$.
\item Pour tout $\lambda$ appartenant à \K, on a $N(\lambda x)=|\lambda|N(x)$.
\item $N(x+y)\leqslant N(x)+N(y)$.
\end{enumerate}
Le couple $(E,N)$ est appelé espace normé.
\end{defi}

\enc{Un résultat de base concernant les Banach : $(E,\|\cdot\|)$ est un Banach si et seulement si toute série normalement convergente est convergente.\cite{Mtx}[OG Endomorphisme linéaire continu]}


\begin{defi}\cite{JYC}[P46]

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ un ensemble, on considère l'espace des fonctions bornées de $X$ dans \K. On définit alors l'application :
\[f\mapsto\ds\sup_{x\in X}|f(x)|\]
C'est une norme au sens ci-dessus.

Si $X=\N$, cet espace est l'ensemble des suites bornées à valeurs dans \K. On note cet espace $l^\infty(\N;\K)$ et l'on note un élément $x$ de cet espace $(x(n))_{n\in\N}$.
\item On appelle $l^1(\N;\K)$ l'ensemble des suites à valeurs dans \K telles que la série de terme général $x(n)$ soit absolument convergente.
\item On appelle $l^2(\N;\K)$ l'ensemble des suites à valeurs dans \K telles que la série de terme général $|x(n)|^2$ soit convergente.
\end{enumerate}
\end{defi}

\begin{prop}\cite{JYC}[P46]

Les espaces $l^1(\N;\K)$ et $l^2(\N;\K)$ sont des espaces vectoriels et les applications :
\[ ||x||_1\stackrel{déf}{=}\ds\sum^N_{n=0}|x(n)|\text{ et }||x||_2\stackrel{déf}{=}\Big(\ds\sum^N_{n=0}|x(n)|^2\Big)^{1/2}\]
définissent des normes sur $l^1(\N;\K)$ et $l^2(\N;\K)$ respectivement.
\end{prop}

\begin{prop}\cite{JYC}[P46]

Soit $(E,||\cdot||)$ un espace normé, alors l'application définie par :
\[d\left\{\begin{array}{ccccc}E\times E&\to&\R^+\\(x,y)&\mapsto&||x-y||\end{array}\right.\]
est une distance sur $E$, appelée distance associée à la norme $||\cdot||$.
\end{prop}

\begin{defi}\cite{JYC}[P47]

Soit $(E, ||\cdot||)$ un espace normé. On dit que $(E,||\cdot||)$ est un espace de \textbf{Banach} ssi l'espace métrique $(E,d)$ où $d$ est la distance associée à la norme $||\cdot||$ (i.e. $d(x,y)=||x-y||$) est un espace complet.
\end{defi}

\begin{theo}\cite{JYC}[P48]

L'espace normé $(l^1(\N;\K),||\cdot||_1)$ est un espace de Banach.
\end{theo}

\subsection{Le cas des espaces de dimension finie}
\begin{theo}[de Riesz]\cite{JYC}[P51]

Soit $E$, un espace vectoriel normé ; la dimension de $E$ est finie ssi la boule unité fermé de $E$ est compacte.
\end{theo}

\begin{def}\cite{JYC}[P51]

Soit $E$, un espace vectoriel et $N_1$ et $N_2$ deux normes sur $E$. Elles sont dites équivalentes ssi il existe un réel strictement positif $C$ tel que, pour tout $x$ de $E$, on ait :
\[C^{-1}N_1(x)\leqslant N_2(x)\leqslant CN_1(x).\]
\end{def}

\begin{prop}\cite{JYC}[P52]

Soit $E$, un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les normes sont équivalentes entre elles.
\end{prop}

\subsection{Continuité des applications linéaires}
\begin{theo}\cite{JYC}[P53]

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Si $E$ est de dimension finie, alors toute application linéaire de $E$ dans $F$ est continue.
\end{theo}

\subsection{Les espaces d'applications linéaires continues}
\begin{prop}\cite{JYC}[P53]

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, on désigne par $\mathcal{L}(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $F$. L'application définie par :
\[|| l||_{\mathcal{L}(E,F)}\stackrel{déf}{=}\ds\sup_{||x||_E\leqslant1}||l(x)||_F\]
est une norme sur $\mathcal{L}(E,F)$.
\end{prop}

\begin{prop}\cite{JYC}[P54]

Soient $E$, $F$ et $G$ trois espaces vectoriels normés et $(l_1,l_2)$ un élément de $\mathcal{L}(E,F)\times\mathcal{L}(F,G)$. La composée $l_2\circ l_1$ appartient à $\mathcal{L}(E,G)$ et :
\[||l_2\circ l_1||_{\mathcal{L}(E,G)}\leqslant ||l_1||_{\mathcal{L}(E,F)}||l_2||_{\mathcal{L}(F,G)}.\]
\end{prop}

\subsection{Le cas particulier de $\mathcal{L}(E)$}

\begin{coro}\cite{JYC}[P57]

L'ensemble $U(E)$ des éléments inversibles de $\mathcal{L}(E)$ est un ouvert et l'application $Inv$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{ccccc}U(E)&\to&U(E)\\l&\mapsto l^{-1}\end{array}\right.\]
est continue.
\end{coro}

\subsection{Le théorème de Baire}
\begin{theo}[de Banach-Steinhauss]\cite{JYC}[P59]

Soient $E$ et $F$ deux espaces de normés et $(l_n)_{n\in\N}$ une suite de $\mathcal{L}(E,F)$. Supposons que $E$ soit complet. Supposons que, pour tout $x$ de $E$, la limite de la suite $(l_n(x))_{n\in\N}$ existe ; désignons la par $l(x)$.

alors la suite $(l_n)_{n\in\N}$ est une suite bornée de $\mathcal{L}(E,F)$, ce qui implique en particulier que $l$ appartient à $\mathcal{L}(E,F)$. De plus, on a :
\[||l||_{\mathcal{L}(E,F)}\leqslant \ds\liminf_{n\to\infty}||l||_{\mathcal{L}(E,F)}\]
\end{theo}

\begin{lem}\cite{JYC}[P59]

Soient $E$ et $F$ deux espaces de normés et $(l_n)_{n\in\N}$ une suite de $\mathcal{L}(E,F)$. Supposons que $E$ soit complet. Supposons que pour tout $x$ de $E$, la suite $(l(x))_{n\in\N}$ soit une suite bornée de $F$.

Alors la suite $(l_n)_{n\in\N}$ est une suite bornée de $\mathcal{L}(E,F)$.
\end{lem}

\begin{theo}[de Banach]\cite{JYC}[P60]

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $A$ un élément de $\mathcal{L}(E,F)$.

Si $A$ est bijective, alors $A^{-1}\in\mathcal{L}(F,E)$.
\end{theo}

\section{Calcul différentiels : les bases}
\section{différentielles et dérivées partielles}

\begin{defi}\cite{JYC}[P61]

Soient $f$ une fonction d'un intervalle ouvert $I$ de \R à valeurs dans un espace normé $F$. Soit $t_0$ un point de $I$, on dit que$f$ est dérivable en $t_0$ ssi :
\[\ds\lim_{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}\] existe.
On l'appelle alors le vecteur dérivé de $f$ au point $t_0$ ; ce vecteur est noté $f'(t_0)$.

Si la fonction $f$ est dérivable en tout point $t$ de l'intervalle $I$, on dit alors que la fonction $f$ est dérivable sur $I$.

Si la fonction $f'$ est continue, la fonction $f$ est dite de classe $C^1$ sur $I$ (on note $C^1(I)$ l'ensemble de toutes les fonctions de classes $C^1(I)$).
\end{defi}
Nous allons étendre cette notion aux fonctions dites "de plusieurs variables" (sous entendues réelles).

\enc{
\begin{defi}\cite{JYC}[P61]
Soit $f$ une fonction d'un intervalle ouvert $\Omega$ dans $E$ à valeurs dans $F$ et $a$ un point de $\Omega$. On dit que la fonction $f$ est différentiable au point $a$ si et seulement si, il existe une application linéaire $L$ continue de $E$ dans $F$ telle que, pour tout réel strictement positifs $\varepsilon$, il existe un réel strictement positif $\alpha$ tel que la boule ouverte $B(a,\alpha)$ de centre $a$, et de rayon $\alpha$ soit incluse dans $\Omega$ et tel que :
\[\forall\vv{h}\in B(0,\alpha),\Vert f(a+\vv{h})-f(a)-L\cdot\vv{h}\Vert_F<\varepsilon\Vert\vv{h}\Vert_E\]
Si une fonction est différentiable en tout point d'un ouvert $\Omega$, elle est dite "différentiable sur $\Omega$".
\end{defi}}

\begin{prop}\cite{JYC}[P62]
Soit $f$ une fonction de $\Omega$ dans $\R^N$ et $a$ un point de $\Omega$. Si $f$ est différentiable au point $a$, alors $f$ est continue au point $a$.
\end{prop}


\section{dérivées directionnelles et dérivées partielles}

\begin{prop}\cite{JYC}[P63]

Soit $\Omega$ un ouvert de $(E,\Vert\cdot\Vert_E)$ et $f$ une application de $\omega$ dans $(F,\Vert\cdot\Vert_F)$ différentiable en un point $a$ de $\Omega$. soient $\alpha_0$ un réel strictement positif et $\vv{h_0}$ un vecteur non nul de $E$ tel que le segment $]a-\alpha_0\vv{h_0},a+\alpha_0\vv{h_0}[$ soit inclus dans $\Omega$. alors $f_{a,\vv{h_0}}$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{ccccc}]-\alpha_0,\alpha_0[&\to& F\\t&\mapsto&f(a+t\vv{h_0})\end{array}\right.\]
est dérivable en $0$ et l'on a :
\[\dfrac{d}{dt}f_{a,\vv{h_{0|t=0}}}=Df(a)\vv{h_0}\]
\end{prop}

\section{L'inégalité des accroissements finis}

\begin{theo}\cite{JYC}[P66]

Soit $E$ et $F$ deux espaces normés et $f$ un homéomorphisme entre deux ouverts $\Omega_1$ et $\Omega_2$ de $E$ et $F$ respectivement. Soit $a$ un point de $\Omega_1$. Si la fonction $f$ est différentiable au point $a$ et si $Df(a)$ est une application linéaire inversible de $E$ dans $F$, alors la fonction réciproque $f^{-1}$ l'est au point $f(a)$ et l'on a :
\[Df^{-1}(f(a))=(Df)^{-1}(a).\]
\textit{La démo se fait avec le théorème de composition de fonctions différentiables et le fait que $f^{-1}\circ f=Id_E$.}
\end{theo}


\begin{coro}\cite{JYC}[P67]

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ de \R et dérivable sur $]a,b[$. Alors il existe $c$ dans $]a,b[$ tel que :
\[f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

\textit{Remarquons que ce corollaire entraîne l'inégalité suivante : si la dérivée de $f$ est bornée sur $]a,b[$, alors
\[|f(a)-f(b)|\leqslant\ds\sup_{t\in]a,b[}|f'(t)|(b-a).\]
Cette inégalité se généralise pour les fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé quelconque.}
\end{coro}

\enc{\begin{theo}\cite{JYC}[P67]

Soit $f$ (resp. $g$= une fonction continue d'intervalle $[a,b]$ de \R à valeurs dans un espace normé $(F,\Vert\cdot\Vert_F$) (resp.\R).

Supposons que $f$ et $g$ soient dérivables sur $]a,b[$ et que :
\[\forall t\in]a,b[,\Vert f'(t)\Vert_F\leqslant g'(t).\]
Alors, on a :
\[\Vert f(b)-f(a)\Vert_F\leqslant g(b)-g(a).\]
\end{theo}}

\begin{theo}\cite{JYC}[P68]

Soit $f$ une fonction différentiable sur un ouvert$\Omega$ d'un espace normé $E$ à valeurs dans un espace normé $F$. soient $a$ et $b$ deux points de $\Omega$ tels que le segment $[a,b]$ soit inclus dans $\Omega$, i.e. que, pour tout $t$ dans $[0,1]$, le point $(1-t)a+tb$ est dans $\Omega$. On a alors :
\[\Vert f(a)-f'b)\Vert_F\leqslant\ds\sup_{t\in[0,1]}\Vert Df(1-ta+tb)\Vert_{\mathcal{L}(E,F)}\Vert b-a\Vert_E.\]
ou \[\Vert f(a)-f(b)-Df(a)\cdot(b-a)\Vert_F\leqslant\ds\sup_{t\in[0,1]}\Vert Df((1-t)a+tb)-Df(a)\Vert_{\mathcal{L}(E,F)}\Vert b-a\Vert_E.\]
\end{theo}

\begin{theo}\cite{JYC}[P68]

Soit $f$ une fonction d'un ouvert $\Omega$ de $\R^N$ dans $F$. Supposons que la fonction $f$ admette des dérivées partielles en tout point de $\Omega$. soit $a$ un point de $\Omega$. Si les dérivées partielles de $f$ sont des fonctions continues de $\Omega$, alors la fonction $f$ est différentiable en $a$.
\end{theo}

\part{Autres ressources}

\section{Applications linéaires}\cite{Ps}[P115]
\subsubsection{Rappel} Soient $E$ et $F$ deux \K-espaces vectoriels. Un application $f:E\to F$ est linéaire si, pour tout $\lambda\in\K$ et tout $(x,y)\in E^2$, on a :

\[f(\lambda x+y)=\lambda f(x)+f(y)\]

\subsubsection{Espaces d'applications linéaires continues}
Soient $(E,N_E)$ et $(F,N_F)$ deux \K-espaces normés. On adopte les notations suivantes :
\[L(E,F)=\{f:E\to F, f\text{ linéaire et}\]
\[\mathscr{L}(E,F)=\{f:E\to F, f\text{ linéaire et contibue}\]

\subsubsection{Proposition 7.13}
Soient $(E,N_E)$ et $(F,N_F)$ deux espaces vectoriels normés et $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. Les cinq propriétés suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item \textbf{$f$ est continue.}
\item $f$ est continue au point $0$.
\item $f$ est bornée sur la boule unité fermée de $E$.
\item \textbf{Il existe un réel $\alpha\leqslant 0$ tel que $\Vert f(x)\Vert_F\leqslant a\Vert x\Vert_E$, pour tout $x\in E$.}
\item $f$ est lipschitzienne.
\end{enumerate}

\subsubsection{Méthode}
\textbf{Pour montrer que $f\in L(E,F)$ n'est pas continue.}

Il suffit de trouver une suite $(x_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $E$ telle que la suite $\left(\dfrac{\Vert f(x_n)\Vert_F}{\Vert x_n\Vert_E}\right)_{n\in\N}$ ne soit pas bornée.

\subsubsection{Proposition 7.15}
Soient $(E,N_E)$ et $(F,N_F)$ deux espaces vectoriels normés. L'application $\Vert\cdot\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}$ de $\mathscr{L}(E,F)$ dans $\R^+$, définie par :
\[\Vert f\Vert_{\mathscr{L}(E,F)}=\ds\sup_{\Vert x\Vert_E\leqslant1}\Vert f(x)\Vert_F,\]
est une norme sur $\mathscr{L}(E,F)$ appelée norme associée = $\Vert\cdot\Vert_E$ et à $\Vert \cdot\Vert_F$.

\vfill %ressort vertical
\begin{thebibliography}{2}

   \bibitem{JYC} Cours sakaï : J.Y.Chemin 2012-2013
   
   \bibitem{DATD} TD corrigés sakaï : D Achab 2012-2013
   
   \bibitem{JYCb} Cours sakaï : J.Y.Chemin 2011-2012
   
   \bibitem{TDS} TD sakaï : 2012-2013

   \bibitem{topo}Pearson \og Mathématiques Analyses L3 \fg{}.
   
   \bibitem{StR}Cours de LM360 \og Topologie et calcul différentiel\fg{} de Jean \bsc{Saint Raymond}.
   
   \bibitem{Wiki1}Suite de Cauchy :  \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Cauchy}.
   
   \bibitem{Wiki2}Continuité:  \url{http://http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuit%C3%A9}.
   
   \bibitem{Wiki3}Théorème de Borel-Lebesgue :  \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Borel-Lebesgue}
   
   \bibitem{CB}\og Topologie pour la licence\fg{} de Claude \bsc{Berger}.
   
   \bibitem{OL}\og Objectif licence
   
   \bibitem{Ps}\og Pearson Analyse L3
   
   \bibitem{Mtx1} Mathematex : lemme de Lebesgue sur les compacts
   
   \bibitem{Mtx} Mathematex
   
   \end{thebibliography}
\label{LastPage}
\newpage
\end{document}
paspythagore
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Re: Code latex qui refuse de compiler

Messagepar balf » Lundi 04 Novembre 2013, 23:32

Le problème vient peut-être d'un conflit entre l'extension asymptote et une autre extension : ne disposant pas de cette extension, je l'ai commentée dans le préambule, et le fichier a compilé sans problème.

B.A.
balf
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Re: Code latex qui refuse de compiler

Messagepar paspythagore » Mardi 05 Novembre 2013, 22:04

Merci.
J'ai essayé avec
Code: Tout sélectionner
%\usepackage[inline]{asymptote}
mais ça ne marche toujours pas, le compilateur m'indique des erreurs sur ce passage
Code: Tout sélectionner
\begin{prop}\cite{JYC}[P62]
Soit $f$ une fonction de $\Omega$ dans $\R^N$ et $a$ un point de $\Omega$. Si $f$ est différentiable au point $a$, alors $f$ est continue au point $a$.
\end{prop}


\section{dérivées directionnelles et dérivées partielles}

\begin{prop}\cite{JYC}[P63]

Soit $\Omega$ un ouvert de $(E,\Vert\cdot\Vert_E)$ et $f$ une application de $\omega$ dans $(F,\Vert\cdot\Vert_F)$ différentiable en un point $a$ de $\Omega$. soient $\alpha_0$ un réel strictement positif et $\vv{h_0}$ un vecteur non nul de $E$ tel que le segment $]a-\alpha_0\vv{h_0},a+\alpha_0\vv{h_0}[$ soit inclus dans $\Omega$. alors $f_{a,\vv{h_0}}$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{ccccc}]-\alpha_0,\alpha_0[&\to& F\\t&\mapsto&f(a+t\vv{h_0})\end{array}\right.\]
est dérivable en $0$ et l'on a :
\[\dfrac{d}{dt}f_{a,\vv{h_{0|t=0}}}=Df(a)\vv{h_0}\]
\end{prop}

\section{L'inégalité des accroissements finis}

\begin{theo}\cite{JYC}[P66]

Soit $E$ et $F$ deux espaces normés et $f$ un homéomorphisme entre deux ouverts $\Omega_1$ et $\Omega_2$ de $E$ et $F$ respectivement. Soit $a$ un point de $\Omega_1$. Si la fonction $f$ est différentiable au point $a$ et si $Df(a)$ est une application linéaire inversible de $E$ dans $F$, alors la fonction réciproque $f^{-1}$ l'est au point $f(a)$ et l'on a :
\[Df^{-1}(f(a))=(Df)^{-1}(a).\]
\textit{La démo se fait avec le théorème de composition de fonctions différentiables et le fait que $f^{-1}\circ f=Id_E$.}
\end{theo}


\begin{coro}\cite{JYC}[P67]

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ de \R et dérivable sur $]a,b[$. Alors il existe $c$ dans $]a,b[$ tel que :
\[f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

\textit{Remarquons que ce corollaire entraîne l'inégalité suivante : si la dérivée de $f$ est bornée sur $]a,b[$, alors
\[|f(a)-f(b)|\leqslant\ds\sup_{t\in]a,b[}|f'(t)|(b-a).\]
Cette inégalité se généralise pour les fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé quelconque.}
\end{coro}

\enc{\begin{theo}\cite{JYC}[P67]

Soit $f$ (resp. $g$= une fonction continue d'intervalle $[a,b]$ de \R à valeurs dans un espace normé $(F,\Vert\cdot\Vert_F$) (resp.\R).

Supposons que $f$ et $g$ soient dérivables sur $]a,b[$ et que :
\[\forall t\in]a,b[,\Vert f'(t)\Vert_F\leqslant g'(t).\]
Alors, on a :
\[\Vert f(b)-f(a)\Vert_F\leqslant g(b)-g(a).\]
\end{theo}}

\begin{theo}\cite{JYC}[P68]

Soit $f$ une fonction différentiable sur un ouvert$\Omega$ d'un espace normé $E$ à valeurs dans un espace normé $F$. soient $a$ et $b$ deux points de $\Omega$ tels que le segment $[a,b]$ soit inclus dans $\Omega$, i.e. que, pour tout $t$ dans $[0,1]$, le point $(1-t)a+tb$ est dans $\Omega$. On a alors :
\[\Vert f(a)-f'b)\Vert_F\leqslant\ds\sup_{t\in[0,1]}\Vert Df(1-ta+tb)\Vert_{\mathcal{L}(E,F)}\Vert b-a\Vert_E.\]
ou \[\Vert f(a)-f(b)-Df(a)\cdot(b-a)\Vert_F\leqslant\ds\sup_{t\in[0,1]}\Vert Df((1-t)a+tb)-Df(a)\Vert_{\mathcal{L}(E,F)}\Vert b-a\Vert_E.\]
\end{theo}

Pour être précis, sur ces lignes
Code: Tout sélectionner
Soit $f$ une fonction de $\Omega$ dans $\R^N$ et $a$ un point de $\Omega$. Si $f$ est[/quote][quote]\end{prop}
la ligne vide qui suit puis la ligne vide qui suit
Code: Tout sélectionner
\section{L'inégalité des accroissements finis}
la ligne
Code: Tout sélectionner
\section{L'inégalité des accroissements finis}
et enfin la ligne vide entre ces deux là
Code: Tout sélectionner
\end{theo}

\begin{theo}\cite{JYC}[P68]


Pour les erreurs :
Code: Tout sélectionner
! Undefined control sequence.
<argument> ...$ et tel que : \par \[\forall \vect
{h}\in B(0,\alpha ),\Vert ...
l.1027 \end{defi}}
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.
! Undefined control sequence.
<argument> ...{h}\in B(0,\alpha ),\Vert f(a+\vect
{h})-f(a)-L\cdot \vect {h}...
l.1027 \end{defi}}
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.
! Undefined control sequence.
<argument> ...rt f(a+\vect {h})-f(a)-L\cdot \vect
{h}\Vert _F<\varepsilon \V...
l.1027 \end{defi}}
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.
! Undefined control sequence.
<argument> ...{h}\Vert _F<\varepsilon \Vert \vect
{h}\Vert _E\] \par Si une ...
l.1027 \end{defi}}
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.
Overfull \hbox (24.4248pt too wide) in paragraph at lines 1027--1028
[][]
[]
! Undefined control sequence.
<recently read> \vect
l.1039 ...$ un réel strictement positif et $\vect
{h_0}$ un vecteur non nul ...
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.
! Undefined control sequence.
l.1039 ...$E$ tel que le segment $]a-\alpha_0\vect
{h_0},a+\alpha_0\vect{h_0}...
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.
! Undefined control sequence.
l.1039 ...t $]a-\alpha_0\vect{h_0},a+\alpha_0\vect
{h_0}[$ soit inclus dans $...
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.
! Undefined control sequence.
l.1039 ... inclus dans $\Omega$. alors $f_{a,\vect
{h_0}}$ définie par :
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.
! Undefined control sequence.
l.1040 ...0,\alpha_0[&\to& F\\t&\mapsto&f(a+t\vect
{h_0})\end{array}\right.\]
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.
[30]
! Undefined control sequence.
<argument> h_{0|t=0}=Df(a)\vect
{h_0}\]
l.1042 ...t}f\{a,\vec{h_{0|t=0}=Df(a)\vect{h_0}\]}
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.
! Missing $ inserted.
<inserted text>
$
l.1042 ...t}f\{a,\vec{h_{0|t=0}=Df(a)\vect{h_0}\]}
I've inserted something that you may have forgotten.
(See the <inserted text> above.)
With luck, this will get me unwedged. But if you
really didn't forget anything, try typing `2' now; then
my insertion and my current dilemma will both disappear.
! Missing } inserted.
<inserted text>
}
l.1042 ...t}f\{a,\vec{h_{0|t=0}=Df(a)\vect{h_0}\]}
I've inserted something that you may have forgotten.
(See the <inserted text> above.)
With luck, this will get me unwedged. But if you
really didn't forget anything, try typing `2' now; then
my insertion and my current dilemma will both disappear.
! Missing $ inserted.
<inserted text>
$
l.1042 ...t}f\{a,\vec{h_{0|t=0}=Df(a)\vect{h_0}\]}
I've inserted something that you may have forgotten.
(See the <inserted text> above.)
With luck, this will get me unwedged. But if you
really didn't forget anything, try typing `2' now; then
my insertion and my current dilemma will both disappear.
! Display math should end with $$.
<to be read again>
\endgroup
l.1042 ...t}f\{a,\vec{h_{0|t=0}=Df(a)\vect{h_0}\]}
The `$' that I just saw supposedly matches a previous `$$'.
So I shall assume that you typed `$$' both times.
! Extra }, or forgotten $.
<recently read> }
l.1042 ...t}f\{a,\vec{h_{0|t=0}=Df(a)\vect{h_0}\]}
I've deleted a group-closing symbol because it seems to be
spurious, as in `$x}$'. But perhaps the } is legitimate and
you forgot something else, as in `\hbox{$x}'. In such cases
the way to recover is to insert both the forgotten and the
deleted material, e.g., by typing `I$}'.
! Undefined control sequence.
<argument> h_{0|t=0}=Df(a)\vect
{h_0}\]
l.1042 ...t}f\{a,\vec{h_{0|t=0}=Df(a)\vect{h_0}\]}
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.
! Missing } inserted.
<inserted text>
}
l.1042 ...t}f\{a,\vec{h_{0|t=0}=Df(a)\vect{h_0}\]}
I've inserted something that you may have forgotten.
(See the <inserted text> above.)
With luck, this will get me unwedged. But if you
really didn't forget anything, try typing `2' now; then
my insertion and my current dilemma will both disappear.
! LaTeX Error: \begin{prop} on input line 1037 ended by \end{equation*}.
See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation.
Type H <return> for immediate help.
...
l.1042 ...t}f\{a,\vec{h_{0|t=0}=Df(a)\vect{h_0}\]}
Your command was ignored.
Type I <command> <return> to replace it with another command,
or <return> to continue without it.
! Missing $ inserted.
<inserted text>
$
l.1042 ...t}f\{a,\vec{h_{0|t=0}=Df(a)\vect{h_0}\]}
I've inserted something that you may have forgotten.
(See the <inserted text> above.)
With luck, this will get me unwedged. But if you
really didn't forget anything, try typing `2' now; then
my insertion and my current dilemma will both disappear.
! Too many }'s.
\mathaccentV ...e \@xp \macc@nested \fi #2#3#4{#5}
\macc@nucleus \else \@xp \...
l.1042 ...t}f\{a,\vec{h_{0|t=0}=Df(a)\vect{h_0}\]}
You've closed more groups than you opened.
Such booboos are generally harmless, so keep going.
! LaTeX Error: \begin{document} ended by \end{prop}.
See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation.
Type H <return> for immediate help.
...
l.1043 \end{prop}
Your command was ignored.
Type I <command> <return> to replace it with another command,
or <return> to continue without it.
! Extra \endgroup.
<recently read> \endgroup
l.1043 \end{prop}
Things are pretty mixed up, but I think the worst is over.
Overfull \hbox (24.4248pt too wide) in paragraph at lines 1073--1074
[][]
[]
[31]
! Extra }, or forgotten $.
l.1077 ...ga$, i.e. que, pour tout $t$ dans $[0,1}
$, le point $(1-t)a+tb$ es...
I've deleted a group-closing symbol because it seems to be
spurious, as in `$x}$'. But perhaps the } is legitimate and
you forgot something else, as in `\hbox{$x}'. In such cases
the way to recover is to insert both the forgotten and the
deleted material, e.g., by typing `I$}'.
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Re: Code latex qui refuse de compiler

Messagepar balf » Mercredi 06 Novembre 2013, 01:32

Chez moi, ça compile parfaitement. En plus, le dernier message d'erreur cvité signale que la commande \vect n'est pas défini. Or il n'y a pas trace de cette commande dans le fichier que vous avez fourni.

Mais les emplacements à problème signalés par LaTeX ne sont pas toujours exacts. Le mieux que vous ayez à faire est de commenter tout depuis le début du corps du document (avec l'extension comment) puis de déplacer \begin{comment} section par section, pour repérer de façon fiable dans quelle section se trouve l'erreur, puis de réduire peu à peu le champ non commenté jusqu'à localiser l'erreur de façon précise.

Au passage, je signale une erreur de syntaxe avec \DeclareMathOperator : le second argument n'est pas censé contenir des commandes de mise en forme, mais uniquement le texte ; il est mis en romain automatiquement, avec les bons espacements. Par exemple, on ne déclare pas :
\DeclareMathOperator{\Ker}{\mathrm{Ker}}
mais simplement :
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

B.A.
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Re: Code latex qui refuse de compiler

Messagepar paspythagore » Mercredi 06 Novembre 2013, 17:45

Bonjour.
Je ne sais pas ce qui s'est passé. Je n'avais les \vect qui m'étaient signalés. Du coup j'ai supprimé les fichiers .aux, .out et .toc et recompiler et ça marche. Je note les autres remarques, merci.
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