Variété différentielle et cartes

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Variété différentielle et cartes

Messagepar paspythagore » Dimanche 06 Mai 2012, 15:39

Bonjour,

finalement, j'ouvre un nouveau sujet pour ces questions de cours qui lorsque je les aurai comprises m'aideront à faire le dernier exercice de ce devoir.

Question 1 :Soient $V$ et $W$ deux variétés différentielles et $f$ une application $V$ dans $W$ différentiable en $x_0\in V$.
Donner la définition de la différentiabilité $Df_{x_0}$ en utilisant la définition de l'espace tangent donnée en cours.
Lorsque $g$ est une application de $W$ dans une variété différentielle $Z$, différentiable en $f(x_0)\in W$, montrer que : $d(g\circ f)_{x_0}=dg_{f(x_0)}\circ df_{x_0}$.

Question 2 Soit $(U,\varphi)$ une carte en $x_0$ d'une variété différentielle $V$ de dimension $n$.
Montrer que l'image par $d\varphi_{x_0}$ de la base $(\partial_{i_{x_0}})$ associé à la carte est la base canonique de $\R^n$ (via l'identification classique que l'on précisera).

Question 1) Une variété c'est :
une variété topologique : espace localement homéomorphe à l'espace $\R^n$ (c'est à dire l'espace tangent ?)
la structure différentielle est définie en exigent certaines propriétés de régularité des applications de transition entre les cartes.
Les homéomorphismes locaux sont appelés cartes et défissent des systèmes de coordonnées locales. (Pour un point de la surface régulière, on a un plan tangent qui une carte ou une coordonnée locale ?
Espace tangent Soit $S$ une surface régulière et $p\in S$. Un \textbf{vecteur tangent} à $S$ en $p$ est un vecteur de la forme $\alpha'(m)\in\R^3$, où $\alpha:(a,A)\to\R^3$ est une courbe différentielle dont l'image est contenu en $S$ et qui passe par $p$ en $t=m$. Le sous-ensemble de $\R^3$ constitué par les vecteurs tangents est appelé \textbf{espace tangent à $S$} en $p$ et est noté $T_pS$.

N'ayant pas compris tout ce qui précède, je ne peux pas répondre à la question 1, ni même à sa première partie :
Donner la définition de la différentiabilité $Df_{x_0}$ en utilisant la définition de l'espace tangent donnée en cour


Pour la question 2, je n'ai pas compris ce qu'était une carte (ni l'identification classique).

Merci de votre aide.
paspythagore
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar balf » Mardi 08 Mai 2012, 12:03

La notion de carte locale est en effet essentielle.

Il ne s'agit pas nécessairement de l'espace tangent dans une variété topologique, ne serait-ce que parce que, s'il n'y a pas de structure différentiable, il n'y a pas d'espace tangent. Pour cette notion de carte, il suffit d'avoir en tête la projection stéréographique de la sphère privée du pôle nord sur le plan équatorial (E) : à un point M de la sphère (S) (sauf le pôle nord A, on fait correspondre l'intersection de la droite (AM) et du plan (E). C'est une carte locale pour tous les points de la sphère, sauf A. De même la projection à partir du pôle sud B est une carte locale pour tous les points de (S), sauf B. De plus, sur l'intersection des deux domaines (la sphère, moins les deux pôles), on passe d'une représentation à l'autre par une application de R² dans R² qui est différentiable, au sens élémentaire.

Les cartes locales sont simplement un système de coordonnées locales. Leur utilité vient de ce qu'elles permettent de définir la différentiabilité d'une application(abstraite) d'une variété (abstraite) dans une autre en se ramenant au cas classique d'une application (d'un ouvert) de R$^n$ dans R$^p$ .

B.A.
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar paspythagore » Mercredi 09 Mai 2012, 16:02

Bonjour.

Avec la projection stéréographique de la sphère, je comprends mieux la notion de carte. Un atlas est une famille de cartes qui recouvre complétement une sous variété topologique. Une carte recouvre complétement la sphère (aux deux pôles prés). Est ce dans ce cas là un atlas ou faut il adjoindre une autre carte (projection stéréographique de la sphère ne passant pas par les pôles) pour avoir un atlas de la sphère.

Pour revenir à ma première question.
Donner la définition de la différentiabilité $Df_{x_0}$ en utilisant la définition de l'espace tangent donnée en cours

J'ai cherché dans mon cours tout ce qui pourrait m'aider à répondre à cette question. En vain.
$f$ est différentiable ssi il existe une application linéaire continue $L$ telle que : $\forall h \in E\quad f(a+h)=f(a)+L(h)+o\left(\|h\|\right)$

Différentiabilité entre deux surfaces Soit $f:S\to S'$ une fonction entre deux surfaces régulières. Nous dirons que $f$ est différentiable si la fonction évidente $F:S\to \R^3$ déduite de $f$ l'est.

Différentiabilité entre deux surfaces (bis) Soient $S$ et $S'$ des surfaces régulières et soit $f:S\to S'$ une fonction. Nous disons que $f$ est différentiable si, pour chaque point $p\in S$, il existe des voisinages paramétrés $\varphi:U\to U\subseteq S$ et $\varphi'\to U'\subseteq S'$ tels que :
1) $p\in U$
2) $f(U)\subseteq U'$ et,
3) $\varphi'^{-1}\circ f\circ \varphi :U_0`\to U'_0$ est différentiable.

Espace tangent Soit $S$ une surface régulière et $p\in S$. Un vecteur tangent à $S$ en $p$ est un vecteur de la forme $\alpha'(m)\in\R^3$, où $\alpha:(a,A)\to\R^3$ est une courbe différentielle dont l'image est contenu en $S$ et qui passe par $p$ en $t=m$. Le sous-ensemble de $\R^3$ constitué par les vecteurs tangents est appelé espace tangent à $S$ en $p$ et est noté $T_pS$.

lemme Soit $\varphi: U_0\to U$ un paramétrage de $S$ et soit $p=\varphi(p_0)$. Alors

$$T_pS=D\varphi(p_0)\cdot\R^2$$


En particulier, $T_pS$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$ et $\{\partial_u\varphi(p_0), \partial_v\varphi(p_0)\}$ est une base.


Bien que je n'ai pas bien compris ce dernier lemme, est ce à partir de lui qu'il faut sonner la définition de la différentiabilité $Df_{x_0}$ en utilisant la définition de l'espace tangent donnée en cours.
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar Frédéric Testard » Mercredi 09 Mai 2012, 22:29

paspythagore a écrit:Avec la projection stéréographique de la sphère, je comprends mieux la notion de carte. Un atlas est une famille de cartes qui recouvre complétement une sous variété topologique. Une carte recouvre complétement la sphère (aux deux pôles prés). Est ce dans ce cas là un atlas ou faut il adjoindre une autre carte (projection stéréographique de la sphère ne passant pas par les pôles) pour avoir un atlas de la sphère.

Oui, il faut au moins deux cartes pour la sphère. Tout point de la sphère doit appartenir à l'une des cartes, donc un atlas à une seule carte ne peut convenir, car la sphère n'est pas homéomorphe à une partie de $\mathbb R^2$ (théorème assez difficile).

Donner la définition de la différentiabilité $Df_{x_0}$ en utilisant la définition de l'espace tangent donnée en cours

Cette question me paraît curieuse, je pense que ce qui est demandé est plutôt la différentielle $Df(x_0)$, sinon on dirait simplement la différentiabilité en $x_0$.

$f$ est différentiable ssi il existe une application linéaire continue $L$ telle que : $\forall h \in E\quad f(a+h)=f(a)+L(h)+o\left(\|h\|\right)$

Cette définition a du sens pour une application définie sur un ouvert de $\mathbb R^n$ car on peut alors additionner les vecteurs. Mais si par exemple, $f$ est définie sur une sphère, cette addition n'a pas de sens. Elle n'en a pas au départ, et pas forcément non plus à l'arrivée si l'espace d'arrivée est abstrait et pas plongé dans un espace vectoriel (par exemple, l'application qui à un point $M$ de la sphère de centre $O$ associe la droite $(OM)$ est à valeurs dans un espace projectif, sur lequel il n'y a pas a priori d'addition et où on ne peut donc pas écrire $f(a)+L(h)+o\left(\|h\|\right)$.

Différentiabilité entre deux surfaces (bis) Soient $S$ et $S'$ des surfaces régulières et soit $f:S\to S'$ une fonction. Nous disons que $f$ est différentiable si, pour chaque point $p\in S$, il existe des voisinages paramétrés $\varphi:U\to U\subseteq S$ et $\varphi'\to U'\subseteq S'$ tels que :
1) $p\in U$
2) $f(U)\subseteq U'$ et,
3) $\varphi'^{-1}\circ f\circ \varphi :U_0`\to U'_0$ est différentiable.

C'est ceci qu'il faut utiliser. Puisque l'on sait différencier les fonctions définies sur un espace vectoriel (et à valeurs dans un espace vectoriel : cf. ce que je disais au dessus), on se ramène à cela grâce aux cartes locales : par composition, on transforme

$$ f : S \to S' $$


en

$$ f_1 : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 $$


et on étudie si $f_1$ est différentiable. Il faut noter que si un point appartient à plusieurs cartes, la définition doit fonctionner quelle que soit la carte choisie : c'est pour cela que l'on demande que les changements de carte soient des difféomorphismes.

Espace tangent Soit $S$ une surface régulière et $p\in S$. Un vecteur tangent à $S$ en $p$ est un vecteur de la forme $\alpha'(m)\in\R^3$, où $\alpha:(a,A)\to\R^3$ est une courbe différentielle dont l'image est contenu en $S$ et qui passe par $p$ en $t=m$. Le sous-ensemble de $\R^3$ constitué par les vecteurs tangents est appelé espace tangent à $S$ en $p$ et est noté $T_pS$.

lemme Soit $\varphi: U_0\to U$ un paramétrage de $S$ et soit $p=\varphi(p_0)$. Alors

$$T_pS=D\varphi(p_0)\cdot\R^2$$


En particulier, $T_pS$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$ et $\{\partial_u\varphi(p_0), \partial_v\varphi(p_0)\}$ est une base.

Ce dernier lemme traduit par des formules la définition de l'espace tangent vue l'autre jour : si $\psi : \mathbb R \to S$ est une courbe tracée sur $S$ passant par $p$ à l'instant $t = 0$, on peut toujours grâce à l'inverse $\varphi^{-1}$ du paramétrage local la transformer en une courbe tracée dans $\mathbb R^2$ passant par $p_0$ à l'instant $0$. Le vecteur dérivé $(\varphi^{-1} \circ \psi)'(0)$ est alors une combinaison de $(1,0)$ et $(0,1)$, et les images de ces vecteurs par $d\varphi(p_0)$ sont justement ceux indiqués dans le lemme.
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar paspythagore » Samedi 12 Mai 2012, 13:44

Bonjour,

c'est bien
Donner la définition de la différentielle $Df_{x_0}$ en utilisant la définition de l'espace tangent donnée en cours



Frédéric Testard a écrit:
Différentiabilité entre deux surfaces (bis) Soient $S$ et $S'$ des surfaces régulières et soit $f:S\to S'$ une fonction. Nous disons que $f$ est différentiable si, pour chaque point $p\in S$, il existe des voisinages paramétrés $\varphi:U\to U\subseteq S$ et $\varphi'\to U'\subseteq S'$ tels que :
1) $p\in U$
2) $f(U)\subseteq U'$ et,
3) $\varphi'^{-1}\circ f\circ \varphi :U_0`\to U'_0$ est différentiable.

C'est ceci qu'il faut utiliser. Puisque l'on sait différencier les fonctions définies sur un espace vectoriel (et à valeurs dans un espace vectoriel : cf. ce que je disais au dessus), on se ramène à cela grâce aux cartes locales : par composition, on transforme

$$ f : S \to S' $$


en

$$ f_1 : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 $$


et on étudie si $f_1$ est différentiable. Il faut noter que si un point appartient à plusieurs cartes, la définition doit fonctionner quelle que soit la carte choisie : c'est pour cela que l'on demande que les changements de carte soient des difféomorphismes.


$\varphi$ et $\varphi'$ sont des paramétrages locaux de $S$ et $S'$ ?
Ce sont deux cartes de $S$ et $S'$ ?
A partir de là, on peut définir l'application $f$ à partir des plans tangents de $S$ et $S'$ : $f:T_S\to T_{S'}$ et sa différentielle aussi ?
Qui dit carte, dit paramétrage dans $\R^2$ ?
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar Frédéric Testard » Dimanche 13 Mai 2012, 19:48

Il faut bien comprendre que parler de sous-variété et de variété n'est pas la même chose.

Une sous-variété vit dans $\mathbb R^n$. Elle hérite donc des propriétés de l'espace qui la contient. De manière naturelle par exemple, une courbe dérivable tracée sur la sous-variété admet une tangente en chaque point M, mais cette tangente est une droite qui n'est pas contenue dans la variété. Si je ne connais comme seuls points que ceux de la variété, cette tangente ne peut pas être définie. Exemple : la tangente au cercle est la droite passant perpendiculaire au rayon vecteur. Cette phrase n'a de sens que parce que je vois le cercle comme une partie de $\mathbb R^2$.

(Penser à e : il est limite d'une suite de rationnels, mais il n'est pas rationnel. Si les seuls nombres que je connais sont les rationnels, la suite de terme général

$$ 1 + \frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{n!} $$


ne converge pas. Si je connais les réels, elle converge mais hors de $\Q$).

Une variété est un objet abstrait, qui existe en tant que tel et n'est plongé dans rien du tout. Exemple : l'espace projectif $\mathbb P^1(\mathbb R)$, ensemble des droites de $\mathbb R^2$. Ce n'est un sous-ensemble de rien de très évident. On peut l'identifier au quotient de $S^1$ par la relation d'équivalence $x {\cal R} y$ si et seulement si $x = \pm y$ (car une droite est déterminée par un vecteur unitaire, mais deux vecteurs opposés déterminent la même droite). Maintenant, si je considère toutes les droites non horizontales, je peux décider qu'elles ont un vecteur directeur unitaire privilégié, qui est celui dont la composante $y$ est strictement positive. Ceci me fournit un homéomorphisme entre $\mathbb P^1(\mathbb R)$ et le demi-cercle supérieur ouvert : c'est une carte locale. Je peux en fabriquer une deuxième en considérant cette fois toutes les droites qui ne sont pas verticales et en leur associant le vecteur directeur unitaire dont la composante $x$ est positive (le demi-cercle de droite). Ces deux demi-cercles s'identifiant facilement à des intervalles ouverts de $\R$ (par l'exponentielle complexe $t \mapsto e^{it}$ par exemple, ou simplement par projection) et cette identification étant un homéomorphisme, ces deux cartes définissent un atlas de l'espace projectif. Et cet atlas est différentiable car l'application qui à un paramètre de la première carte associe le paramètre correspondant de la deuxième carte est $t \mapsto t$ pour les droites passant dans le quadrant supérieur droit et $t \mapsto t-\pi$ pour celles qui passent dans le quadrant inférieur droit.

Peut-on pour autant parler de paramétrage local : je ne suis pas sûr du vocabulaire officiel mais il me semble qu'on dit plutôt paramétrage dans le cas d'une sous-variété. Donc dans ce cas il faudrait s'en tenir au vocabulaire des cartes.

Considérons l'application qui à une droite associe sa symétrique orthogonale par rapport à la première bissectrice. Elle consiste essentiellement à transformer l'angle $t$ en $\pi/2 - t$. Cette application est clairement différentiable de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, donc on dira par définition qu'elle l'est de $\mathbb P^1(\mathbb R)$ dans $\mathbb P^1(\mathbb R)$. (Il faut juste faire attention à la manière de choisir l'angle $t$ suivant la droite de départ et la droite d'arrivée).
Dernière édition par guiguiche le Dimanche 13 Mai 2012, 20:58, édité 1 fois.
Raison: les commandes \rr et \qq ne sont pas définies sur le site
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar paspythagore » Dimanche 13 Mai 2012, 21:48

Merci... :down:

C'est pas gagné. Je comprends encore mal la notion de variété et je ne vois pas du tout ce qui m'est demandé dans l'exercice.

Ceci me fournit un homéomorphisme entre $\mathbb P^1(\mathbb R)$ et le demi-cercle supérieur ouvert : c'est une carte locale.

Le demi-cercle est la carte locale de l'ensemble des droites non horizontales dont le vecteur directeur est tourné vers le haut (= la variété) ?
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar Frédéric Testard » Dimanche 13 Mai 2012, 22:24

paspythagore a écrit:Merci... :down:
C'est pas gagné. Je comprends encore mal la notion de variété et je ne vois pas du tout ce qui m'est demandé dans l'exercice.

Il me semble qu'il serait plus sage, pour un retour à ce genre de connaissances, de se limiter aux sou-variétés, pour lesquelles on a une intuition géométrique avec les courbes du plan et de l'espace, ou les surfaces dans l'espace.
paspythagore a écrit: l'ensemble des droites non horizontales dont le vecteur directeur est tourné vers le haut (= la variété) ?

C'est une partie de la variété (en fait, presque tout, on n'a retiré qu'une droite).
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar projetmbc » Dimanche 13 Mai 2012, 22:45

Bonsoir.

Frédéric Testard a écrit:
paspythagore a écrit:Merci... :down:
C'est pas gagné. Je comprends encore mal la notion de variété et je ne vois pas du tout ce qui m'est demandé dans l'exercice.

Il me semble qu'il serait plus sage, pour un retour à ce genre de connaissances, de se limiter aux sou-variétés, pour lesquelles on a une intuition géométrique avec les courbes du plan et de l'espace, ou les surfaces dans l'espace.

Je "plussoie". Commencer par les sous-variétés de $R^n$ est ce qu'il y a de mieux à faire. Après le passage aux atlas devient un jeu d'enfant ou presque.
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar paspythagore » Lundi 14 Mai 2012, 17:06

Bon,
je repars sur un exercice sur les sous variétés : exo7

Pour $\lambda\in\R^2$ soit $\S_\lambda=\{(x_1,x_2x_3)\in\R^3;x_1^2+x_2^2-x_3^2=\lambda\}$

1. Déterminez les $\lambda\in\R$ pour lesquels $S_\lambda$ est une sous-variété de $\R^3$. Dessiner $S_\lambda$ en fonction de $\lambda$.
2. Pour $x,y\in\R^3$, soit $B(x;y) = x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3$. Soit $x\in S_\lambda$, exprimer $T_xS_\lambda$ à l’aide de $B$.

1) Si $\lambda\neq0$, $S$ est une sous-variété mais je n'ai pas compris le cas $\lambda=0$
Si $\lambda=0$, $T_0(S_\lambda)=\{$vecteurs tangents à $S_n$ en $0\}$. Alors $T_0S_0$ est un cône et donc $S_0$ n’est pas une sous-variété.
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar paspythagore » Lundi 14 Mai 2012, 17:08

Bon,
je repars sur un exercice sur les sous variétés : exo7

Pour $\lambda\in\R^2$ soit $S_\lambda=\{(x_1,x_2x_3)\in\R^3;x_1^2+x_2^2-x_3^2=\lambda\}$

1. Déterminez les $\lambda\in\R$ pour lesquels $S_\lambda$ est une sous-variété de $\R^3$. Dessiner $S_\lambda$ en fonction de $\lambda$.
2. Pour $x,y\in\R^3$, soit $B(x;y) = x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3$. Soit $x\in S_\lambda$, exprimer $T_xS_\lambda$ à l’aide de $B$.

1) Si $\lambda\neq0$, $S$ est une sous-variété mais je n'ai pas compris le cas $\lambda=0$
Si $\lambda=0$, $T_0(S_\lambda)=\{$vecteurs tangents à $S_n$ en $0\}$. Alors $T_0S_0$ est un cône et donc $S_0$ n’est pas une sous-variété.
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar Frédéric Testard » Lundi 14 Mai 2012, 19:01

Comment fais-tu pour montrer que $S_\lambda$ est une sous-variété quand $\lambda \neq 0$?

Pourquoi est-ce que l'argument ne marche pas quand $\lambda = 0$?

Vérifie qu'en fait, $S_0$ est une sous-variété sauf au voisinage d'un point. Essaie de voir géométriquement pourquoi cela ne marche pas en ce point.

Pour une preuve rigoureuse, le plus simple est de montrer que les vecteurs tangents en ce point aux courbes tracées sur $S_0$ engendrent non pas un plan (ce qui se passerait si $S_0$ était une sous-variété de dimension $2$) mais en fait l'espace $\mathbb R^3$ tout entier. Et que peut-on dire d'une sous-variété de $\mathbb R^3$ dont l'espace tangent en un point est de dimension $3$?
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar paspythagore » Lundi 14 Mai 2012, 20:39

Frédéric Testard a écrit:(1) Comment fais-tu pour montrer que $S_\lambda$ est une sous-variété quand $\lambda \neq 0$?

(2) Pourquoi est-ce que l'argument ne marche pas quand $\lambda = 0$?

(3) Vérifie qu'en fait, $S_0$ est une sous-variété sauf au voisinage d'un point. Essaie de voir géométriquement pourquoi cela ne marche pas en ce point.

Pour une preuve rigoureuse, le plus simple est de montrer que les vecteurs tangents en ce point aux courbes tracées sur $S_0$ engendrent non pas un plan (ce qui se passerait si $S_0$ était une sous-variété de dimension $2$(4)) mais en fait l'espace $\mathbb R^3$ tout entier.
(5) Et que peut-on dire d'une sous-variété de $\mathbb R^3$ dont l'espace tangent en un point est de dimension $3$?


(1) Le jacobien est de maximal, c'est à dire de dimension 1 et $S_\lambda$ est de dimension $3-1=2$

(2) Parce que le jacobien n'est pas non nul en tout point.

(3) Ce point, c'est $(0,0,0)$ qui doit être la pointe d'un cône.

(4) Ca, je ne l'avais pas compris.

(5) Elle est de dimension 0 ?
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar Frédéric Testard » Lundi 14 Mai 2012, 22:07

(1) à (4) : OK
(5) : l'espace tangent à une courbe est de dimension 1, à une surface il est de dimension 2, ... Donc?
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar paspythagore » Mardi 15 Mai 2012, 12:48

C'est un volume.
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar paspythagore » Mardi 15 Mai 2012, 19:48

Bonjour,

j'ai peur de dire de grosses bêtises mais tant pis...

2. Pour $x,y\in\R^3$, soit $B(x;y) = x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3$. Soit $x\in S_\lambda$, exprimer $T_xS_\lambda$ à l’aide de $B$.


Un vecteur $x$ appartient au plan tangent si $\nabla S_\lambda\cdot x = 0$; c.a.d. $x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3=0$ ?
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar paspythagore » Jeudi 17 Mai 2012, 10:59

Bonjour.

Je n'avance pas trop sur ma question de cours.

La projection stéréographique de la sphère est un paramétrage et c'est aussi une carte. Est ce que cela veut dire qu'une carte est un paramétrage local dans tous les cas.

Donner la définition de la différentielle $Df_{x_0}$ en utilisant la définition de l'espace tangent donnée en cours

Espace tangent Soit $S$ une surface régulière et $p\in S$. Un vecteur tangent à $S$ en $p$ est un vecteur de la forme $\alpha'(m)\in\R^3$, où $\alpha:(a,A)\to\R^3$ est une courbe différentielle dont l'image est contenu en $S$ et qui passe par $p$ en $t=m$. Le sous-ensemble de $\R^3$ constitué par les vecteurs tangents est appelé espace tangent à $S$ en $p$ et est noté $T_pS$.

Différentiabilité entre deux surfaces (bis) Soient $S$ et $S'$ des surfaces régulières et soit $f:S\to S'$ une fonction. Nous disons que $f$ est différentiable si, pour chaque point $p\in S$, il existe des voisinages paramétrés $\varphi:U\to U\subseteq S$ et $\varphi'\to U'\subseteq S'$ tels que :
1) $p\in U$
2) $f(U)\subseteq U'$ et,
3) $\varphi'^{-1}\circ f\circ \varphi :U_0`\to U'_0$ est différentiable.

Espace tangent Soit $S$ une surface régulière et $p\in S$ et $p\in U$ (avec les notations précédente. Un vecteur tangent à $S$ en $p$ est un vecteur de la forme $\alpha'(m)\in\R^3$, où $\alpha:(a,A)\to\R^3$ est une courbe différentielle dont l'image est contenu en $\varphi(U)$ et qui passe par $p$ en $t=m$. Le sous-ensemble de $\R^3$ constitué par les vecteurs tangents est appelé espace tangent à $S$ en $p$ et est noté $T_pS$.

Juste remplacer "une courbe différentielle dont l'image est contenu en $S$" par "une courbe différentielle dont l'image est contenu en $\varphi(U)$" ?

En fait, je ne comprends toujours pas ce qui est demandé.
paspythagore
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar Frédéric Testard » Jeudi 17 Mai 2012, 11:28

Comme je te le disais un peu plus haut :
Peut-on pour autant parler de paramétrage local : je ne suis pas sûr du vocabulaire officiel mais il me semble qu'on dit plutôt paramétrage dans le cas d'une sous-variété. Donc dans ce cas il faudrait s'en tenir au vocabulaire des cartes.

Dans le cas de la sphère qui est une sous-variété de $\mathbb R^3$, cela ne pose pas de problème particulier.

En ce qui concerne la différentielle : l'espace tangent au départ est l'ensemble des vecteurs vitesse en 0 de courbes dérivables $t \mapsto \varphi(t)$ tracées sur la surface de départ et passant par $x_0$ en $t=0$. Une telle courbe est transformée par $f$ en $(f \circ \varphi)(t)$ et passe par $f(x_0)$ en $t = 0$. La différentielle de $f$ en $x_0$ est alors simplement l'application qui au vecteur vitesse de la courbe de départ associe le vecteur vitesse de la courbe d'arrivée (on démontre que le vecteur vitesse à l'arrivée ne dépend que du vecteur vitesse au départ et pas de la courbe particulière ayant ce vecteur vitesse). Dans le cas des variétés c'est plus compliqué, mais pour des sous-variétés, cela correspond simplement à la restriction de $df(x_0)$ à l'espace tangent à l'espace de départ.
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Re: Variété différentielle et cartes

Messagepar Tonn83 » Jeudi 28 Juin 2012, 09:57

Frédéric Testard a écrit:Exemple : l'espace projectif $\mathbb P^1(\mathbb R)$, ensemble des droites de $\mathbb R^2$. Ce n'est un sous-ensemble de rien de très évident

Dans l'espace $S_n(\R)$ des matrices symétriques réelles de taille $n$, les matrices représentant des projecteurs orthogonaux de rang $1$ forment une sous-variété de $S_n(\R)$ difféomorphe à l'espace projectif réel $P^n\R$. Il s'agit donc d'un mauvais exemple pour illustrer les propos de Testard, néanmoins tout à fait pertinents :D Oui je sais, je pinaille :D Le théorème de Withney affirme que toute variété de dimension $n$ est difféomorphe à une sous-variété fermée de $\R^{2n}$, et en pratique, pour les premiers exemples de variétés, on sait les plonger dans un espace vectoriel de manière explicite. La notion de variété abstraite est intéressante 1) pour se débarasser de l'espace ambiant et du surplus d'information qu'il apporte, comme par exemple la codimension, 2) pour mieux appréhender la notion de difféomorphisme et attaquer les problèmes de classification 3) pour pouvoir définir facilement les quotients par action de groupes et les recollements 4) pour obtenir une catégorie 5) pour ajouter facilement des structures supplémentaires, à commencer par les métriques riemanniennes, sans souci 6) pour l'honneur de l'esprit humain dixit Dieudonné (le mathématicien, pas l'humoriste) :mrgreen:
paspythagore a écrit:j'ai peur de dire de grosses bêtises mais tant pis...
Un vecteur $x$ appartient au plan tangent si $\nabla S_\lambda\cdot x = 0$; c.a.d. $x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3=0$ ?

Mieux vaut risquer de dire une grosse bêtise plutôt que de ne rien dire. L'application $f:(x,y,z)\mapsto x^2+y^2-z^2$ est une forme quadratique sur $\R^3$ et $B$ est la forme bilinéaire symétrique qui lui est naturellement associée. Donc $f$ est différentiable en tout point, et $df(x)$ qui désigne la différentielle de $f$ en $x$ est la forme linéaire donnée par $v\mapsto 2B(x,v)$. (Pourquoi?) Dans l'énoncé, on a défini $S_{\lambda}=f^{-1}(\lambda)$. La notation $\nabla S_{\lambda}$ n'a aucun sens. De plus, l'espace tangent d'une sous-varité de $\R^n$ en un point est un sous-espace vectoriel, donc ne vaut pas le cône isotrope d'une forme non dégénérée... Que dit le théorème des fonctions implicites ? Comment le reformuler en termes de sous-variétés ? Peux-tu faire un dessin ? :roll: Ne pas oublier que la géométrie différentielle, c'est de la géomtrie... si, si... :D
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