Théorie de la mesure !

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Théorie de la mesure !

Messagepar Pedro » Mercredi 14 Novembre 2007, 00:22

Bonsoir :
Soit $ ( \Omega, \sum , \mu ) $ un espace mesuré.
On désignera par $\ \mathcal{L}_{0} $ ( resp. $\ \mathcal{L}_{0}^{+} $ ) l'ensemble des applications mesurables de $\ ( \Omega , \sum ) $[/TEX] dans $\ ( \overline{\mathbb{R}} , \mathbb{B}(\overline{\mathbb{R}}) $ ( resp . dans $\ ( \overline{\mathbb{R}_{+}} , \mathbb{B}(\overline{\mathbb{R}_{+}}) $ ).
Pour tout $\ f \in \mathcal{L}_{0} $et tout $\ t \in \mathbb{R} $, on posera :
$\ U_{f}(t) = \mu( \{ \omega \in \Omega : f(x) > t \} ) $.
$\ 1) $ Soit $\ f \in \mathcal{L}_{0} $.
Montrer que $\ U_{f} $est décroissante et que pour tout $\ t \in \mathbb{R} $, on a :
$\ \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_{f}(t + \frac{1}{n}) = U_{f}(t) $.
$\ 2) $ Soit $\ (f_{n})_{n \geq 0} $ une suite croissante dans $\ \mathcal{L}_{0} $ qui converge simplement vers $\ f $, montrer que la suite $\ (U_{f_{n}} = g_{n} ) _{n \geq 0} $ est croissante et converge simplement vers $\ U_{f} $.
$\ 3) $ Soient $\ n \in \mathbb{N}^{*} $ , $\ \{ A_{1} , A_{2} , ... , A_{n} \} $ une partition de $\ \Omega $ constituée d'éléments de $\ \sum $ et $\ \alpha_{1} , \alpha_{2} , ... , \alpha_{n} $ des rééls vérifiant $\ \alpha_{1} < \alpha_{2} < ... < \alpha_{n} $.
On pose : $\ f = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} . 1_{A_{i}} $.
$\ i) $ Calculer, suivant les valeurs de $\ t $, $\ U_{f}(t) $ en fonction de $\ \alpha_{1} , \alpha_{2} , ... , \alpha_{n} $ et de $\ \mu (A_{1}) , ... \mu (A_{n}) $.
$\ 4) $ Comparer $\ \int_{\mathbb{R}_{+}} U_{f}(t) d \lambda $ et $\ \int f(x) d \mu $$\ \lambda $ est la mesure de Lebesgue sur $\ ( \mathbb{R} , \mathbb{B}(\mathbb{R}) $. ( $\ f = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} . 1_{A_{i}} $ )
Questions :
J'ai resolu $\ 1) $ et $\ 2) $ , $\ 3) $il me reste le $\ 4) $ ... Est ce que vous pouvez m'aider sur cette dernière question ?
Merci d'avance !!
Pedro
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Re: Théorie de la mesure !

Messagepar Cruptos » Mercredi 14 Novembre 2007, 07:41

Bonjour,

pour la question 4) je commencerais par regarder ce qu'il se passe
pour une fonction $f=\alpha \, 1_A$

Il me semble qu'on doit avoir

$\int_{{\mathbb R}^+} U_f(t) dt = \max(0,\alpha) \mu(A)$

et

$\int f(x)d\mu = \alpha \mu(A)$

Il faudrait passer ensuite aux sommes finies de telles fonctions pour des
$A_i$ deux à deux disjoints.

On pourrait peut être avoir quelque chose du type

$\int_{{\mathbb R}^+} U_f(t) dt = \int f^+(x)d\mu$

Mais il faut regarder de plus près.

On doit arriver à dire quelque chose (la même chose) pour $f$ mesurable
par passage à la limite (et en séparant $f^{+}$ et $f^{-}$).
Cruptos
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Re: Théorie de la mesure !

Messagepar Pedro » Mercredi 14 Novembre 2007, 10:02

Oui, mais c'est ça le problème, je sais pas comment faire pour $\ f $ étagée :
Voiçi ce que j'ai trouvé pour $\ U_{f}(t) $ :
Pour $\ t \in [ \alpha_{i} , \alpha_{i+1} [ $ : [$\ U_{f}(t) = \displaystyle \sum_{k=i+1}^{n} \mu (A_{k}) $
Donc pour $\ t \in [ \alpha_{i+1} , \alpha_{i+2} [ $ : $\ U_{f}(t) = \displaystyle \sum_{k=i+2}^{n} \mu (A_{k}) $ ... etc.
Donc : $\ U_{f}(t) = U_{f}(t) . 1_{\mathbb{R}} = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \mu (A_{k}) . 1_{]- \infty , \alpha_{0} [ }(t) + \displaystyle \sum_{i=0}^{n} ( \displaystyle \sum_{k=i+1}^{n} \mu (A_{k}) ) . 1_{[ \alpha_{i} , \alpha_{i+1} [ } (t) $
Après je sais pas comment terminer !!
Je sais même pas comment tu as fait pour trouver : $\ \int_{\mathbb{R}_{+}} U_{f}(t) d \lambda = \max ( 0 , \alpha ) . \mu (A ) $ pour $\ f = \alpha . 1_{A} $.
Merci d'avance pour votre aide !!
Pedro
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Re: Théorie de la mesure !

Messagepar Pedro » Mercredi 14 Novembre 2007, 10:12

Donc :
[5][bad png file dimensions]
C'est ça ?
Pedro
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Re: Théorie de la mesure !

Messagepar Pedro » Mercredi 14 Novembre 2007, 11:15

svp !! comment monter que $\ U_{f_{n}} \longrightarrow U_{f} $, je suis pas sûr du raisonnement !!
Merci d'avance de votre aide !!
Pedro
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Re: Théorie de la mesure !

Messagepar Pedro » Mercredi 14 Novembre 2007, 11:34

Est ce que c'est pas comme ça :
[5][bad png file dimensions]
On a utilisé la proprité de continuité croissante !! c'est bien ça ?
Pedro
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Re: Théorie de la mesure !

Messagepar Cruptos » Jeudi 15 Novembre 2007, 21:45

Pedro a écrit:Est ce que c'est pas comme ça :
[5][bad png file dimensions]
On a utilisé la proprité de continuité croissante !! c'est bien ça ?


Commençons par cette partie :

la formule citée est presque correcte mais il manque à mon sens une preuve de
l'avant dernière égalité.

posons [5][bad png file dimensions].
La suite [5][bad png file dimensions] est croissante (pour l'inclusion).
Posons [5][bad png file dimensions].

Première chose à montrer : [5][bad png file dimensions].
pour cela si [5][bad png file dimensions] alors il existe [5][bad png file dimensions] tel que [5][bad png file dimensions],
c'est-à-dire [5][bad png file dimensions], et donc [5][bad png file dimensions] et donc [5][bad png file dimensions].
Dans l'autre sens, si [5][bad png file dimensions]. alors [5][bad png file dimensions]
et puisque [5][bad png file dimensions] est fixé, il exite [5][bad png file dimensions] tel que [5][bad png file dimensions].
La suite [5][bad png file dimensions] converge vers [5][bad png file dimensions], donc il existe [5][bad png file dimensions]
tel que [5][bad png file dimensions]
Donc [5][bad png file dimensions] et par suite [5][bad png file dimensions].
On peut utiliser maintenant la limite croissante :
[5][bad png file dimensions]
et cette fois-ci grâce à la démo précédente on sait que [5][bad png file dimensions]
ce qui donne le résultat.

(la suite plus tard)
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Re: Théorie de la mesure !

Messagepar Cruptos » Jeudi 15 Novembre 2007, 22:14

Pedro a écrit:Je sais même pas comment tu as fait pour trouver : $\ \int_{\mathbb{R}_{+}} U_{f}(t) d \lambda = \max ( 0 , \alpha ) . \mu (A ) $ pour $\ f = \alpha . 1_{A} $.
Merci d'avance pour votre aide !!


La première intégrale est

$\int_{t \geq 0} U_f(t) dt$
donc on ne va s'intéresser qu'aux $t \geq 0$.

Prenons $f=\alpha 1_A$.
Si $\alpha \leq 0$ alors pour tout $x$ on a $f(x) \leq 0$
donc aucune chance d'être strictement plus grand que $t$ et donc
$\{ x | f(x)> t \}= \emptyset$ et par suite
pour tout $t \geq 0$ on a $U_f(t)=0$.
Dans ce cas l'intégrale est nulle.

Si $\alpha >0$ alors si $t \geq \alpha$ on a pour les mêmes raisons $U_f(t)=0$.
En revanche si $0 \leq t < \alpha$ alors pour tout $x \in A$ on a $f(x)=\alpha >t$.
Si $x \notin A$ on a $f(x)=0 \leq t$. En conclusion dans ce cas, pour tout $0 \leq t <\alpha$
on a $U_f(t)=\mu(A)$ et pour les autres $t$, $U_f(t)=0$.
Donc l'intégrale est
$\int_0^{\alpha}U_f(t)dt = \alpha \mu(A)$.

Si on fait la synthèse des deux cas :
$\int_{t \geq 0} U_f(t) dt = sup(0, \alpha) \mu(A)$.
(quand $\alpha \leq 0$ ça donne $0$ sinon ça donne $\alpha \mu(A)$.

(suite plus tard)
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Re: Théorie de la mesure !

Messagepar Cruptos » Jeudi 15 Novembre 2007, 22:31

Suite :

il faudrait pour simplifier un peu montrer que
si $A_1$ et $A_2$ sont disjoints, et si $f_1=\alpha_1 1_{A_1}$ et $f_2=\alpha_2 1_{A_2}$
alors pour tout $t \geq 0$ on a:

$U_{f_1+f_2}(t) =U_{f_1}(t)+U_{f_2}(t)$.

(ceci se fait en remarquant que quand l'une des fonctions $f_i$ est non nulle
l'autre est forcément nulle)

Donc quand on a $f= \sum_{i=1}^n \alpha_i 1_{A_i}$ avec des $A_i$ deux à deux disjoints on a
$\int_{t \geq 0} U_f(t) dt = \sum_{i=1}^n max(0,\alpha_i) \mu(A_i)= \int f^+ (x) dx$.
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