Suite complexe

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Suite complexe

Messagepar marion.c.21 » Mercredi 14 Décembre 2005, 22:17

Bonjour, j'ai un pb avec cet exo:
Soit z un nb complexe non réel (partie imaginaire non nulle). Pour tout n appartenant à N, on pose:
u(n)=(1+z/n)^n
1) calculer |u(n)|puis lim en +oo de |u(n)|
2) Soit Tn, le réel de [0,2pi] égal à un argument de 1+z/n. Montrer que lim en +oo de Tn=0. Déterminer un équivalent simple de Tn en +oo
3) Calculer lim en +oo de u(n)

1) En posant z=iy, j'ai :
|u(n)|=V(n²+y²)^n/n^n
mais je ne vois pas comment trouver la limite de cette expression

2) soit z=iy, z/n=iy/n or y/n tend vers 0 qd n tend vers +oo donc la partie imaginaire de 1+z/n tend vers zéro et l'argument de 1+z/n tend vers 0. Pour les éqivalents, je ne vois pas trop comment m'y prendre

3) Calculer lim en +oo de u(n)
Je suppose que c'est 1 car 1+z/n tend vers 1 puisque sa partie imaginaire y/n tend vers 0, et en élevant 1 à la puissance n, on obtient 1, est-ce bien ça?

Merci d'avance pour votre aide.

[Edit: MB] Sujet déplacé.
marion.c.21
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Messagepar P.Fradin » Mercredi 14 Décembre 2005, 22:55

Bonsoir,

Tout d'abord pourquoi prenez-vous $z=iy$?, l'énoncé dit $z=x+iy$ avec $y\neq0$.
On a alors $|u_n|=\left(1+\frac{2x}n+\frac{|z|^2}{n^2}\right)^{n/2}$, passez à la forme exponentielle pour calculer la limite (vous devez trouver $e^x$).

Pour l'argument $\theta_n$ de $1+\frac zn$, montrer que son cosinus tend vers $1$ et son sinus vers $0$. Puis montrer que $\tan(\theta_n)=\frac{y}{n+x}$ et vous aurez votre équivalent.

Reste à calculer la limite de $n\theta_n$ et vous aurez celle de $u_n$ (qui ne vaut pas $1$ bien sûr!).
P.Fradin
 

Re: suite complexe

Messagepar sotwafits » Jeudi 15 Décembre 2005, 08:42

marion.c.21 a écrit:3) Calculer lim en +oo de u(n)
Je suppose que c'est 1 car 1+z/n tend vers 1 puisque sa partie imaginaire y/n tend vers 0, et en élevant 1 à la puissance n, on obtient 1, est-ce bien ça?

$1^\infty$ est une forme indéterminée, au même titre que $0\times\infty$
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