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de **pihro** le Mercredi 17 Mars 2010, 10:52

Bonjour,

On sait que, pour $0<\delta<1$ , $|\tau| \leq (1-\delta)2\pi x$ et $y\geq x$ , on a

$\ds \sum_{x<n\leq y} n^{-i\tau} = \int_x^y t^{-i\tau}dt+ O(1)$

On doit en déduire, en utilisant l'égalité

$\ds m^{-\sigma-i\tau} = m^{-i\tau} \int_m^\infty \frac{\sigma dt}{t^{1+\sigma}}$

que pour $\x\geq 1$ , $\delta\geq\delta_0>0$ , on a

$\ds \sum_{x<m\leq n} m^{-s}=\frac{n^{1-s}-x^{1-s}}{1-s}+O(1)$

(on note $s=\sigma+i\tau$ )

J'ai commencé par faire une sommation d'Abel comme suit (je ne sais pas si cette méthode marche, mais c'est la seule piste vraisemblable que j'ai trouvé..)
$\ds \sum_{x<m\leq n} m^{-s} = \sum_{x<m\leq n} m^{-i\tau} \int_m^\infty \frac{\sigma dt}{t^{1+\sigma}}$
$\ds = \sum_{x<m\leq n} m^{-i\tau}\int_{m+1}^\infty \frac{\sigma dt}{t^{1+\sigma}} + \sum_{x<m\leq n}\sum_{x<k\leq m} k^{-i\tau} \left( \int_{m}^\infty \frac{\sigma dt}{t^{1+\sigma}} - \int_{m+1}^\infty \frac{\sigma dt}{t^{1+\sigma}}\right)$
$\ds = \left(\frac{n^{-i\tau +1}-x^{-i\tau +1}}{-i\tau +1} + O(1)\right)n^{-\sigma} + \sum_{x<m\leq n}\left( m^{-\sigma}-(m+1)^{-\sigma}\right) \left(\dfrac{m^{-i\tau+1}-x^{-i\tau+1}}{-i\tau+1} + O(1)\right)$

Arrivé ici, j'ai quelques problèmes pour calculer la somme de droite, puisqu'en la développant je trouve un résultat que je n'arrive plus à simplifier :
$\ds \sum_{x<m\leq n}\left( m^{-\sigma}-(m+1)^{-\sigma}\right) \left(\dfrac{m^{-i\tau+1}-x^{-i\tau+1}}{-i\tau+1} + O(1)\right) = \sum_{x<m\leq n} \frac{m^{-s+1}}{-i\tau +1}- \sum_{x<m\leq n} \frac{(m+1)^{-\sigma}m^{-i\tau +1}}{-i\tau +1} - \frac{x^{-i\tau+1}}{-i\tau +1}\left( (x+1)^{-\sigma}-(n+1)^{-\sigma}\right) + O(1)$

Quelqu'un a-t-il une idée pour conclure (sachant qu'on n'a pas encore fait grand chose dans cette matière : on a juste rappelé la formule d'Euler MacLaurin et la sommation d'Abel, donc pas de méthode de Van Der Corput :-(

...)

Merci à ceux qui auront le courage de me relire et de me répondre !

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Sommation d'Abel

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